1. Dạng 1: Xác định chu kì, tần số của mạch dao động
- Tần số góc: \[\omega = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}{\rm{ }} \to T = 2\pi \sqrt {LC} ;{\rm{ }}f = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\]
- Lập tỉ số, ta có: \[\dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{{{f_2}}}{{{f_1}}} = \dfrac{{{\omega _1}}}{{{\omega _2}}} = \sqrt {\dfrac{{{L_2}}}{{{L_1}}}} .\sqrt {\dfrac{{{C_2}}}{{{C_1}}}} \]
- \[{\omega _0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} = \dfrac{{{I_0}}}{{{Q_0}}},{\rm{ }} \to {\rm{T = 2}}\pi \dfrac{{{Q_0}}}{{{I_0}}},{\rm{ f = }}\dfrac{{{I_0}}}{{2\pi {Q_0}}}\]
- Bài toán ghép tụ điện nối tiếp và song song
Mạch gồm L và C1 có tần số f1 - Mạch gồm L và C2 có tần số f2
- Bài toán ghép cuộn cảm nối tiếp và song song
Mạch gồm L1 và C có tần số f1 - Mạch gồm L2 và C có tần số f2
a] Hai tụ \[{C_1}\] và \[{C_2}\] mắc song song
b] Hai tụ \[{C_1}\] và \[{C_2}\] mắc nối tiếp
Hướng dẫn giải
a] \[{C_1}//{C_2}\]
=> \[\frac{1}{{{f^2}}} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}} = \frac{1}{{{{60}^2}}} + \frac{1}{{{{80}^2}}} \Rightarrow f = 48kHz\]
b] \[{C_1}nt{C_2}\]
=> \[{f^2} = f_1^2 + f_2^2 = {60^2} + {80^2} \Rightarrow f = 100kHz\]
2. Dạng 2: Xác định I0, Q0, U0, u, i
- Từ phương trình dao động: \[q = {Q_0}cos\left[ {\omega t + \varphi } \right],i = q' = - \omega {Q_0}sin[\omega t + \varphi ] = {I_0}cos[\omega t + \varphi + \dfrac{\pi }{2}]\]
\[u = \dfrac{q}{C} = \dfrac{{{Q_0}}}{C}{\rm{cos[}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{] = }}{{\rm{U}}_0}{\rm{cos[}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{]}}\]
=> Mối liên hệ giữa các đại lượng:
\[{I_0} = \omega {Q_0} = \dfrac{{{Q_0}}}{{\sqrt {LC} }}\] , \[{U_0} = \dfrac{{{Q_0}}}{C} = \dfrac{{{I_0}}}{{\omega C}} = \omega L{I_0} = {I_0}\sqrt {\dfrac{L}{C}} \]
- Điện áp tức thời:
- Cách 1: Thay vào phương trình: \[u = \dfrac{q}{C} = \dfrac{{{Q_0}}}{C}{\rm{cos[}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{] = }}{{\rm{U}}_0}{\rm{cos[}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{]}}\]
- Cách 2: \[{u^2} = U_0^2 - \dfrac{L}{C}{i^2} = \dfrac{L}{C}[I_0^2 - {i^2}]\]
- Dòng điện tức thời:
- Cách 1: Thay vào phương trình:\[i = q = - \omega {Q_0}sin[\omega t + \varphi ] = {I_0}cos[\omega t + \varphi + \dfrac{\pi }{2}]\]
- Cách 2: \[{i^2} = I_0^2 - \dfrac{C}{L}{u^2} = \dfrac{C}{L}[U_0^2 - {u^2}]\]
- Điện tích tức thời:
- Cách 1: Thay vào phương trình: \[q = {Q_0}cos\left[ {\omega t + \varphi } \right]\]
- Cách 2: \[{q^2} = {[Cu]^2} = Q_0^2 - \dfrac{{{i^2}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{1}{{{\omega ^2}}}[I_0^2 - {i^2}]\]
Điện áp và cường độ dòng điện hiệu dụng: \[U = \dfrac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 }};I = \dfrac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }}\]
3. Dạng 3. Năng lượng của mạch dao động LC
a. Phương pháp
- Năng lượng điện trường tập trung ở trong tụ điện: \[{W_d} = \dfrac{1}{2}C{u^2} = \dfrac{1}{2}qu = \dfrac{{{q^2}}}{{2C}} = \dfrac{{Q_0^2}}{{2C}}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}[\omega t + \varphi ]\]
- Năng lượng từ trường tập trung trong cuộn cảm: \[{W_t} = \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{{Q_0^2}}{{2C}}{\sin ^2}\left[ {\omega t + \varphi } \right]\]
- Trong quá trình dao động của mạch, năng lượng từ và năng lượng điện trường luôn chuyển hóa cho nhau, nhưng tổng năng lượng điện từ là không đổi.
- Năng lượng điện từ: \[W = {W_d} + {W_t} = \dfrac{1}{2}C{u^2} + \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{{Q_0^2}}{{2C}} = \dfrac{1}{2}LI_0^2\]
- Vị trí năng lượng điện trường gấp $n$ lần năng từ điện trường:
\[\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = n{W_t}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}i = \pm \dfrac{{{I_0}}}{{\sqrt {n + 1} }}\\u = \pm {U_0}\sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \\q = \pm {Q_0}\sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \end{array} \right.\]
- Mạch có cuộn dây không thuần cảm [r0]:
Công suất tỏa nhiệt trên r hay công suất cần phải cung câp thêm cho mạch để duy trì dao động:
\[P = {I^2}r = \dfrac{{I_0^2}}{2}r\]
- Mạch dao động có tần số góc ω, tần số f và chu kì T thì Wđ và Wt biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f và chu kì T/2.
- Khi tụ phóng điện thì q và u giảm và ngược lại khi tụ tích điện thì q và u tăng.
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Một mạch dao động điều hòa, biết phương trình hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện là \[u = 60cos[{10^4}\pi t]{\rm{ }}\left[ V \right],\] điện dung của tụ điện \[C = 1\mu F\] . Tính năng lượng điện từ trong khung dao động? |
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức tính năng lượng của mạch dao động: \[W = \dfrac{1}{2}CU_0^2\]
Thay U0=60 V, C=1μF vào, ta được: \[W = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{1}{2}{10^{ - 6}}{60^2} = {1,8.10^{ - 3}}[J]\]
Ví dụ 2: Mạch dao động LC, với cuộn dây có \[L = 5\mu F\] . Cường độ dòng điện cực đại trong mạch là 2A. Khi cường độ dòng điện tức thời trong mạch là 1A thì năng lượng điện trường trong mạch là? |
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức tính năng lượng của mạch dao động: \[W = {W_d} + {W_t}\]
Ta có: \[W = {W_d} + {W_t} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 \to {W_d} = W - {W_t} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 - \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{L}{2}[I_0^2 - {i^2}] = \dfrac{{{{5.10}^{ - 6}}}}{2}[{2^2} - {1^2}] = {7,5.10^{ - 6}}[J]\]
4. Dạng 4. Viết phương trình dao động
Ta có:
- Phương trình điện tích trên hai bản tụ điện: \[q{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_0}cos\left[ {\omega t + {\varphi _q}} \right]\]
- Phương trình điện áp giữa hai bản tụ điện: \[u = \frac{{{Q_0}}}{C}cos\left[ {\omega t + {\varphi _u}} \right]{\rm{ }} = {U_0}cos\left[ {\omega t + {\varphi _u}} \right]\]
- Phương trình điện áp dòng điện chạy trong mạch: \[i = q' = - {Q_0}\omega sin{\varphi _q} = {I_0}cos\left[ {\omega t + {\varphi _i}} \right]\]
Trong đó:
- Dòng điện, điện áp và điện tích luôn dao động cùng tần số với nhau
- Điện áp và điện tích luôn dao động cùng pha: \[{\varphi _q} = {\varphi _u}\]
- Dòng điện trong mạch dao động nhanh pha\[\frac{\pi }{2}\] so với điện tích [điện áp] trong mạch: \[{\varphi _i} = {\varphi _q} + \frac{\pi }{2} = {\varphi _u} + \frac{\pi }{2}\]
Các bước viết phương trình dao động:
- Bước 1: Xác định biên Q0, U0, I0 [tùy yêu cầu của đề bài]
- Bước 2: Xác định tần số góc: \[\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f = \frac{{{I_0}}}{{{Q_0}}}\]
- Bước 3: Xác định pha ban đầu φ
tại t = 0: \[\left\{ \begin{array}{l}q = {Q_0}{\rm{cos}}\varphi \\i = - {I_0}\omega {\rm{sin}}\varphi \\u = {U_0}{\rm{cos}}\varphi \end{array} \right. \to \varphi \]
[Ta chỉ cần 2 dữ kiện q và i hoặc i và u để xác định φ]
- Bước 4: Viết phương trình dao động
Lưu ý: Các bước có thể đổi vị trí cho nhau
Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong một mạch dao động, điện tích trên tụ biến thiên theo quy luật\[q = 2,5c{\rm{os[2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^3}\pi t + \frac{\pi }{3}]{\rm{ }}\mu {\rm{C}}\]. Biểu thức cường độ dòng điện qua cuộn dây là: |
Hướng dẫn:
Cường độ dòng điện cực đại: \[{I_0} = {Q_0}\omega = {2,5.10^{ - 6}}{.2.10^3}\pi = {5.10^{ - 3}}\pi A = 5\pi {\rm{ }}mA\]
\[{\varphi _i} = {\varphi _q} + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6}\]
\[ \to i = 5\pi c{\rm{os[2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^3}\pi t + \frac{{5\pi }}{6}]{\rm{ mA}}\]
Ví dụ 2: Một mạch dao động LC có tụ điện với điện dung \[C = {\rm{ }}25{\rm{ }}pF\] và cuộn cảm có độ tự cảm \[L = {\rm{ }}{4.10^{ - 4}}H\] . Lúc t=0, dòng điện trong mạch có giá trị cực đại và bằng \[20{\rm{ }}mA\] . Biểu thức của điện tích trên bản cực của tụ điện là: |
Tần số góc của mạch dao động: \[\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{4.10}^{ - 4}}{{.5.10}^{ - 12}}} }} = {10^7}rad/s\]Hướng dẫn:
Điện tích cực đại giữa hai bản tụ điện: \[{Q_0} = \frac{{{I_0}}}{\omega } = \frac{{{{20.10}^{ - 3}}}}{{{{10}^7}}} = {2.10^{ - 9}}C = 2{\rm{ }}nC\]
Tại \[t = 0,{\rm{ }}i = {I_0}cos{\varphi _i} = {I_0} = > {\rm{ }}{\varphi _i} = {\rm{ }}0\]
=>\[{\varphi _u} = {\varphi _i} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{2}\]\[\]
\[ \to q = 2c{\rm{os[1}}{{\rm{0}}^7}t - \frac{\pi }{2}]{\rm{ }}nC\]
5. Dạng 5. Thời điểm điện tích trện tụ biến thiên từ q1 đến q2
[Tương tự bài toán xác định thời gian vật chuyển động từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có li độ x2 trong dao động điều hòa]
Phương pháp: Sử dụng vòng tròn lượng giác và công thức \[\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega }\]
- Bước 1: Xác định vị trí q1 và q2 trên vòng tròn lượng giác
- Bước 2: Xác định vị trí góc quay khi điện tích biến thiên từ giá trị q1 đến giá trị q2
- Bước 3: Áp dụng công thức: \[\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{T\Delta \varphi }}{{2\pi }}\]