2 cực trị cách đều đường thẳng

Bài toán tổng quát:

Cho hàm số $y=f\left[ x;m \right]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước?

Phương pháp:

• Bước 1:

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
• Đạo hàm: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c=A{{x}^{2}}+Bx+C$

• Bước 2:

Hàm số có cực trị [hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu]

$\Leftrightarrow {y}'=0$có hai nghiệm phân biệt và${y}'$đổi dấu qua 2 nghiệm đó

$\Leftrightarrow $phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = 3a \ne 0\\
{\Delta _{y'}} = {B^2} - 4AC = 4{b^2} - 12ac > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
{b^2} - 3ac > 0
\end{array} \right. \Rightarrow m \in {D_1}.$

• Bước 3:

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${y}'=0.$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right..$

• Bước 4:

Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$. Từ đó giải ra tìm được $m\in {{D}_{2}}.$

• Bước 5:

Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$

* Chú ý: Hàm số bậc ba:$\text{ }y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left[ a\ne 0 \right].$

Ta có: $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

• Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

• Hàm số có 2 cực trị trái dấu

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

$\Leftrightarrow A.C=3ac 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} > 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} < 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:

$\left\langle \begin{array}{l}
{x_1} < \alpha < {x_2}\\
{x_1} < {x_2} < \alpha \\
\alpha < {x_1} < {x_2}
\end{array} \right.$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}} 0\\
  {y_C} + {y_{CT}} > 0
  \end{array} \right.$
  • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

  $\Leftrightarrow $phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và$\left\{ \begin{array}{l}
  {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\\
  {y_{CD}} + {y_{CT}} < 0
  \end{array} \right.$

  • Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

  $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$[áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số]

  Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

  $\Leftrightarrow $đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

  $\Leftrightarrow $phương trình hoành độ giao điểm $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm phân biệt [áp dụng khi nhẩm được nghiệm]