Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàm
Bài 03.04.
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
3 2 2
2 1
n n n
n
n x n n
Lời giải:
Có
2/3 1/2 2/3 1/ 1 1 lim lim lim 1 1 2 2 1 2 1 2 2
n n
n n n n n n n n
n n n n
a
Vậy bán kính hội tụ là
1
2
R
Bài 03.04.
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
#######
#######
#######
1
0
1 2 2 !!
n
n
n x n
Lời giải:
Có
1
1 2 2 !! 1 lim lim. lim. 2 2 2 !!
n
n n n n
a n n n n a n n n
Vậy bán kính hội tụ là R
Bài 03.04.
####### Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
1
2 1 1
n n
n
x n
Lời giải:
Có
1
2 1 lim lim. 1 1
n n n n
a n n
a n n
Vậy bán kính hội tụ là R 1
Bài 03.04.
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1 3.
n
n n
x
n
Lời giải:
Có
2 2
1 3. 1
n n n n n n
x a x n
,ta xét:
1 lim lim3 n 3 3 n n n n
n R a
Vậy bán kính hội tụ là R 3
Bài 03.04.
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1 2 8 31ln
n n n
n x n
Lời giải:
Có
1/
1 0
2 2
ln 8 8 3 1 8 3ln 8 8. lim lim lim 8 1
n
n n n
n n n n n n n
n
n
a n n
Vậy bán kính hội tụ là R 8.
Bài 03.04.
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
2 2 3 1
2
1
2
n n n
n
n x n
Lời giải:
2 2
2
2 3 1 2 3 1
- 2 3 1 1 3
1 2 3 lim lim lim 1 1 1
3 lim 1 1
n n n n n n
n n n n n
n n n n n
n
n
a n n
e n
Miền hội tụ 3;3
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
0 1
n
n
x
n
Lời giải:
1 1
1 1 2 : lim 1 1 2 1
n n n n n
a n a
a n n n a
R 1,chuỗi hội tụ với x 1, phân kỳ với x 1.
Khi x 1 có
1
1
n n 1
phân kỳ.
Khi x 1 có
#######
1
1
1
n
n n
là chuỗi đan dấu hội tụ.
Miền hội tụ là [ 1; 1].
Bài 03.04.
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
#######
2
0
1 2!
n n
n
x
n
Lời giải:
Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: a 2 n 1 0.
Đặt
2 y x có chuỗi lũy thừa:
0
1
2!
n n
n
y n
Có
#######
#######
#######
#######
#######
1
1
1 1 2 1! : 2 1 2 2 2! 2 1! 2!
n n n
n
a n n n a n n n
1
lim n n n
a
a
Miền hội tụ ;
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
#######
####### 3
1
2 * 5 3 1
n
n n
x
n
Lời giải:
Ta đặt 3
1 2, 5 3 1
X x a n n n
chuỗi [*] trở thành 1
n n n
a X
Ta có:
1 3 1/3 1/ 5 3 1 5 3 5
n n n n n n n
n n a
Nên bán kính hội tụ là R = 5
X 5;5 x 2 5;5 x 3;7
Xét x 3 chuỗi [*] trở thành
#######
3 3 1 0
5 1
5 3 1 3 1
n n
n n n n n
hội tụ theo Leibniz
Xét x 7 chuỗi [*] trở thành
#######
3 3 1 0
5
5 3 1 3 1
n
n n n n n
phân kỳ do
3 3 1/
1 1
3 1 3
a n n n
[
1 1 3
]
Vậy miền hội tụ là [ 3, 7]
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
#######
#######
1
5 * 3!
n
n n
x
n
Lời giải:
Ta đặt
1 5, 3!
X x a n n n
chuỗi [*] trở thành 1
n n n
a X
####### Xét [2] có
0 0
2 2X
n n n
n n
S x X
#######
#######
#######
#######
#######
1 1
1
2 2
1 2X 1 2X .... 2X 1 2X
1 2X 1 lim lim 1 2X 1 2X
1 * 1 2X
n n
n
n n n
S x
S x S x
S x a b
[Vì
1 1 , 2 2
X
]
Xét [1]: Thay
1
2
X x
vào [*]:
#######
1 1 2
1 2X 1 1 2 2
x S x x
x
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
- 3
n n
n
n x n
Lời giải:
Xét 3
n
n a n
Ta có:
3 3 3
1 1 lim lim lim 3
n n n n n n
n a R e n n e
n
Tại
2 2 2 3 3 3
1 1 1
1 3 3 3
n n n n n n n
n n n
n n n x e x e e n n n
lim n n 1 0 n
a
Vậy miền hội tụ của chuỗi là D e 3 ,e 3
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi
2 2
0
1 2 * 2 3
n n
n
n x n
Lời giải:
####### Đặt
2 X x 2 , X0.
Ta tìm miền hội tụ của chuỗi
0
1
2 3
n n
n
n X n
Xét
1
2 3
n
n a n
có
1 1 lim lim 2 2 3 2
n n n n
n a R n
####### Tại X 2 chuỗi [*] thành
0 0
1 2 2 1 2 1 2 3 2 3
n n n n n
n n
n n
n n
2 2 lim lim 1 0 2 3
n n n n
n u n
nên chuỗi phân kỳ.
Vậy miền hội tụ theo X là 2, 2
miền hội tụ x 2 2 2 2 x 2 2
Bài 03.04.
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
2 *
n n
n
n x
Lời giải:
Ta đặt 2, a
n X x n n chuỗi [*] thành 1
n n n
a X
Ta có
1 1 1 lim lim 1 1
n n n an n e R n e
Tại
#######
1 1
1 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1
n n n n n n n
n n
n x e n e n e
1 1 1 1 lim lim 1.. 1 0 1
n n n an n e n e e
Vậy miền hội tụ là
1 1 D , e e
Bài 03.04.
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
1 2 * 3 2
n n
n
n x n
Lời giải:
Đặt
1 2, 3 2
n
n X x a n
chuỗi [*] trở thành 1
n n n
a X
[**]
Xét
1 1 lim lim 3 3 2 3
n n n n
n a R n
####### Tại X 3 ta được
1 1
1 3 3 3 1 3 2 3 2
n n n n
n n
n n
n n
Có
3 3 lim lim 1 0 3 2
n n n n
n u n
nên tại X 3 chuỗi không hội tụ.
Vậy miền hội tụ của chuỗi [**] là 3, 3do đó miền hội tụ của chuỗi [*] là 1, 5
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
#######
####### 2
2
1 1 1 ln
n
n
x n n
Lời giải:
Đặt
#######
2
1 1, ln
X x a n n n
chuỗi [1] thành 2
n n n
a X
[2]
Ta có:
#######
2 tan 1 2
1 2ln. ln lim lim lim 1 ln 1 1 2ln 1. 1
Lopi n n n n n
n a n n n
a n n n n
Với
#######
tan
1 ln lim lim 1 1 ln 1 1
1
Lopi
n n
n n R n
n
Tại X 1 ta được chuỗi
#######
####### 2
2
1 1 ln
n
n n n
[*]
Từ đó ta có:
#######
2 1 2
ln lim lim 1 1 ln 1
n n n n
a n n
a n n
chuỗi [*] phân kỳ.
Vậy miền hội tụ của [2] là 1, 1 nên miền hội tụ của [1] là 2, 0
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi
#######
1
2
1 1 * 1
n n n
n
n x n
Lời giải:
Ta đặt
1 1 1, 1
n n
n
n X x a n
chuỗi [*] thành 2
n n n
a X
Xét x 3 [*] trở thành
0 1
1 3
2 5 .3 2 5
n n
n n n n n
Chuỗi đan dấu với
1 0 2 5
a n n
và giảm nên hội tụ theo Leibnitz.
Vậy miền hội tụ là D [ 3, 3]
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
3 1 * 2 1
n n
n
n x n
Lời giải:
Có R 2 x 1 2, 2 x 1, 3
Xét x 1 [*] trở thành
1 1 1
3 2 6 2 1 2 1 2 1
n n n n n n n n
n n a n n
Mà
5 2 1. 2 1 2 6 5 55 5/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1
n n n n n n n e n n n
a n 0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.
Xét x 3 [*] trở thành
1 1 1
3 2 6 2 2 1 2 1
n n n n n n n
n n a n n
a n 0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.
Vậy miền hội tụ là D 1, 3
Bài 03.04.
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
0
2 5 *
n n
n
x
Lời giải:
Có 2
1 1 1 lim lim lim 0 2 2
n n n n n n n an
Khi đó bán kính hội tụ R 0
Vậy chuỗi chỉ hội tụ tại 5
Bài 03.04.
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2
1
2 3 * 3
n n n n n
x n
Lời giải:
Có
1 1 1 , 3 3 3
R x
Xét
1
3
x [*] trở thành
#######
2
2 2 1 1
- 9 1 2 1
- 3 9
n n n n n
n n n
n
n n
Do chuỗi
1
2
9
n
n
và
#######
2 1
1
n
n n
hội tụ nên
2
2 1
- 9 1
- 3
n n n
n n
n
n
hội tụ.
Xét
1
3
x [*] trở thành
2
2 2 1 1
- 9 1 2 1
- 3 9
n n n n
n n n
n
n n
Do chuỗi
1
2
9
n
n
và 2
1
1
n n
hội tụ nên
2
2 1
- 9 1
- 3
n n n
n n
n
n
hội tụ.
Vậy miền hội tụ là
1 1 , 3 3
D
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2
1
2 3
n
n
n x n
Lời giải:
Có 2
2 [ 3]
n n
n U x n
, ta xét: 2
2 lim lim [ 3] 0 [ 3]
n n n n
n U x x n
Nhận thấy
2 3 2
2 3 2
1 [ 3][ 3]. [ 3 ][ 3]
[ 1] [ 2][ 3] 4 5 2
n n n n
U n x n n n x
U n n x n n n
Theo dấu hiệu D’lambe có:
1
n n
U
là hội tụ 4 x 2
1
n n
U
là phân kỳ
2
4
x
x
Vậy miền hội tụ của
1
n n
U
là [-4,-2]
Bài 03.04.
####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
1 1 2 1
n n
n
n x n
Lời giải:
Có
1 [ ] [ 1] 2 1
n n n
n U x n
Xét
1 1 1 1 2 1 2 1
n n n n n
n n U x x n n
Theo dấu hiệu cosi ta có
1
n n
U
là hội tụ
1 lim 1 lim 1 1 2 1
1 2 1 2
n n n n
n U x n
x x
Vậy miền hội tụ của
1
n n
U
là [-1,2]
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
3
n
n n
x
n
Lời giải:
Có
3
.
n
n n
x U n
Mà:
3 1 3
.4.
n n n n
x U x n n
Theo dấu hiệu cosi ta có
1
n n
U
là hội tụ
3 x 4 x 4
vậy miền hội tụ của
1
n n
U
là
3 3 [ 4, 4]
Bài 03.04.
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2 1
0
[ 2]
2 1
n
n
x
n
Lời giải:
Có:
2 1 [ 2]
2 1
n
n
x U n
Với
#######
3
1
n n
n
x a n
xét:
#######
#######
#######
1 1 1 3 3
1 1 lim lim. lim lim 1 1 1 1 1 /
n n n n n n n n n n n
a x n x n x x a n x n n
Chuỗi
#######
3 1
1
n n
n
x
n
hội tụ khi x 1 , bán kính hội tụ R 1.
Tại x 1 chuỗi
#######
3 1
1
n
n n
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
Tại x 1 chuỗi 3 1
1
n n
phân kì do
1 1 3
Vậy miền hội tụ là [ 1, 1]
Bài 03.04.1.034
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
1 2 1
n
n
x
n
Lời giải:
Với 2 1
n
n
x a n
xét:
1 lim 1 lim. 2 1 lim 2 2 1 2 1
n n n n n n n
a x n n x x a n x n
Chuỗi
1 2 1
n
n
x
n
hội tụ khi x 1 , bán kính hội tụ R 1.
Tại x 1 chuỗi
1
1
n 2 n 1
phân kỳ do
1 1
2 n 1 2 n
mà 1
1 1
2 n n
phân kỳ.
Tại x 1 chuỗi
#######
1
1
2 1
n
n n
hội tụ theo chuẩn Leibnitz.
Vậy miền hội tụ là [ 1, 1].
Bài 03.04.1.035
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
#######
2 1
1
n n
n
x
n
Lời giải:
Với
2
1
n n
n
x a n
xét:
#######
#######
1 1 1 2 2
1 lim lim. lim 1 1 1 1
n n n n n n n n n
a x n n x x x a n x n
Tại x 1 chuỗi
#######
2 1
1
n
n n
hội tụ theo chuẩn Leibnitz.
Tại x 1 chuỗi 2
1
1
n n
hội tụ [do 2 1 ]
Vậy miền hội tụ là 1, 1
Bài 03.04.1.036
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
0!
n
n
x
n
Lời giải:
Với !
n
n
x a n
xét:
1 1! 1 lim lim. lim lim .0 0 1 1! 1 1
n n n n n n n n
a x n x x x a n x n n
Nên bán kính hội tụ là R
Vậy miền hội tụ là ,