Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

  • Mỗi biểu thức có dạng a+bi với $a,b \in \mathbb{R}, i^{2}=-1$ được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là $\mathbb{C}$.
  • Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi.
  • a+bi=c+di $\Leftrightarrow$ a=c và b=d.

2. Các phép toán

Với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $c+di \neq 0$, $ z=a+bi$

  • $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)$
  • $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+i(b-d)$
  • $(a+bi).(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
  • $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi).(c-di)}{(c+di).(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+i.\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$
  • $|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ được gọi là môđun của số phức
  • $\overline{z}=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp

Chú ý: $z+\overline{z}=2a$ và $z. \overline{z}=|z|^{2}$

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức

Phương pháp

 Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có $i^{2}$ thay bằng -1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp.

 Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX 

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức $z=(3+2i)(\overline{2+5i}) -(3+i)^{3}$

Giải:$z=(3+2i)(2-5i)-( 27+27i+9i^{2}+i^{3})=16-11i-18-26i=-2-37i$

Vậy $Re(z)=-2, Im(z)=-37$, $|z|= \sqrt{(-2)^{2}+(-37)^{2}}=1373$

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho số phức $z+1=i^{2017}+i^{2018}$ . Tìm $|z'|$ biết $z'=\overline{z}+iz$.

Câu 2:  Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

  1. $z=(2-5i)(3+i)$
  2. $(1+i)z+3=2i-4z$
  3. $z=\frac{2+3i}{(4+i)(2-3i)}$

Câu 3: Cho $z_{1}=4-3i+(1-i)^{3}$, $z_{2}=\frac{1+2i-(1-i)^{2}}{1+i}$. Tìm môđun của số phức $z=z_{1}.\overline{z_{2}}$.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

Thay $z=a+bi$ vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: $f(x,y)=0$.

$f(x,y)=0$ là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó.

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=(z+i)(2+i)$  trong đó z là số phức thỏa $|z - 2| = 3$

Giải: Gọi số phức $w=x+yi$

$w=(z+i)(2+i)=x+yi \Leftrightarrow z=\frac{x+yi}{2+i}-i=\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}$

Mà $|z-2|=3$ nên $|\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}-2|=3 \Leftrightarrow  (2x+y-10)^{2}  + (2x-y-5)^{2}  = 225$ 

Vậy $ (2x+y-10)^{2}  + (2x-y-5)^{2}  = 225$  là phương trình biểu diễn tập số phức w.

Bài tập áp dụng


Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn

  1. $|z+\overline{z}+3|=4$
  2. $(2-z)(i+ \overline{z})$ là số thực
  3. $|z-4i|+|z+4i|=10$

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $w=(1+i \sqrt{3})z+2$ trong đó $|z-1| \leq 2$

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với $z$ là ẩn số  $\left\{\begin{matrix} |z-1-4i|=3\\ \left| \frac{z+3+2i}{z+\frac{3}{2}-i} \right|=2\\ \end{matrix}\right.$

Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu $w^{2}=z$ hay $(x+yi)^{2}=a+bi$

 Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :

+ TH1 : a> 0 $\Rightarrow $ $w = \pm \sqrt{a}$

+ TH2 : a < 0 $\Rightarrow $ $w=\pm i\sqrt{-a}$

Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:

$(x + yi) ^{2}  = a + bi$ hay $ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a\\ 2xy=b\\ \end{matrix}\right.$

b) Phương trình phức bậc hai

Phương pháp
Xét với phương trình phức bậc hai $Az^{2}+Bz+C=0$

TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính $\Delta=B^{2}-4AC$

+ Nếu $\Delta \geq 0$ thì phương trình có nghiệm thực $z=\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$

+ Nếu $\Delta<0$ thì phương trình có nghiệm phức $z=\frac{-B \pm i .\sqrt{\Delta}}{2A}$

Hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình.

TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính $\Delta=B^{2}-4AC=a+bi=(x+yi)^{2}$

Khi đó phương trình có nghiệm $z=\frac{-B \pm (x+yi)}{2A}$

Chú ý: Nếu phương trình bậc cao hơn, ta nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình tích (bằng cách sử dụng máy tính)

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau $z=-5-12i$

Giải: Gọi $w=x+yi (x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của số phức $z$

Ta có $w^{2}=(x+yi)^{2}=-5-12i \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-5\\ 2xy=-12\\ \end{matrix}\right.$

Với $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.

Với $y \neq 0$ ta có $x=\frac{-6}{y}$ nên $(\frac{-6}{y})^{2}-y^{2}=-5 \Leftrightarrow  \left[ \matrix{y^{2}=9\hfill \cr y^{2}=-4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y=\pm 3$

Nếu $y=3$ thì $x=-2$ ta có $w=-2+3i$

Nếu $y=-3$ thì $x=2$ ta có $w=2-3i$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 

  1. $z^{2}+2z+5=0$
  2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$
  3. $z^{3}-8=0$

Giải

1. Ta có $\Delta'=-4=4i^{2}$ nên $z=-1 \pm 2i$

2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$ $\Leftrightarrow z^{2}+i=0$ hoặc $z^{2}-2iz-1=0$

TH1: $z^{2}=-i=(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.$

TH2: $z^{2}-2iz-1=0 \Leftrightarrow z^{2}-2iz+i^{2}=0 \Leftrightarrow (z-i)^{2}=0 \Leftrightarrow z=i$

3. Nhẩm nghiệm ta thấy có một nghiệm $z=2$. Ta có 

$z^{3}-8=0 \Leftrightarrow (z-2)(z^{2}+2z+4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{z-2 \hfill \cr z^{2}+2z+4=0  \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow  \left[ \matrix{ z=2 \hfill \cr z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\hfill \cr  z=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \hfill \cr } \right.$

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,102,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,275,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,217,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,191,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,356,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,65,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,14,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,139,Toán 11,176,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,37,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

11 Tháng 01, 2019

Để đạt điểm tối đa môn Toán em phải ôn luyện kỹ các dạng bài tập số phức luyện thi đại học. Tuy nội dung này chỉ chiếm 1 – 2 câu trong đề thi nhưng em tuyệt đối không được bỏ qua để không bị mất điểm đáng tiếc. Em hãy đọc bài viết sau của CCBook – Đọc là đỗ để nắm vững 6 dạng bài tập số phức luyện thi đại học để giúp em đạt điểm 9,10.

Em có thể tham khảo thêm kiến thức về 7 dạng bài tập trắc nghiệm số phức hay và khó không thể bỏ qua (Phần 2)

Các nội dung lý thuyết cơ bản em cần nắm để làm tốt bài tập số phức luyện thi đại học.

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Để làm tốt các bài tập số phức trắc nghiệm và các dạng bài tập số phức khó em cần phải nắm được những nội dung quan trọng về lý thuyết sau:

  • Các phép toán trên tập số phức
  • Tập hợp điểm biểu diễn của số phức
  • Phương trình trên tập số phức

Những kiến thức về lý thuyết trọng tâm này sẽ giúp em “xử gọn” các dạng bài tập số phức luyện thi đại học dù có khó đến đâu.

Theo kinh nghiệm của các anh chị thi khóa trước. Teen 2k1 nên tham khảo các tài liệu bài tập số phức hay có lời giải. Để giúp em có thể ôn luyện đầy đủ các dạng bài tập số phức luyện thi đại học vừa không tốn thời gian lại mang lại hiệu quả tốt.

Em cần nắm vững 6 dạng bài tập số phức luyện thi đại học sau đây:

  • Dạng 1: Các phép toán trên tập số phức
  • Dạng 2: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
  • Dạng 3: Biểu diễn hình học của số phức
  • Dạng 4: Tập hợp điểm biểu diễn số phức
  • Dạng 5: Cực trị số phức
  • Dạng 6: Tìm căn bậc hai của số phức
  • Dạng 7: Phương trình trên tập số phức

Trong bài viết này CCBook – Đọc là đỗ sẽ hướng dẫn em 4 dạng đầu tiên của các bài tập số phức luyện thi đại học. Em hãy theo dõi 3 dạng còn lại ở bài viết tiếp theo.

Xem thêm: MẸO GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC 12 SIÊU NHANH GIÚP EM ĐẠT ĐIỂM CAO MÔN TOÁN

Các bài tập số phức luyện thi đại học giúp em “gạ gục” mọi dạng đề thi khó để đạt điểm 9,10

Để làm tốt các dạng bài tập số phức toán cao cấp. Trước tiên em phải ôn luyện kỹ các nội dung về lý thuyết. Sau đó chọn những tài liệu chuyên sâu về số phức. Chẳng hạn như bài tập số phức nâng cao. Qua đó em vừa kết hợp học lý thuyết và bài tập. Phương pháp học này sẽ mang lại hiệu quả cao.

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Dạng 1: Các phép toán trên tập số phức

Ví dụ minh họa:

Cho số phức z thỏa mãn (3+2i)z + (2 – i)² = 20 + 3i. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A.1                                B.0                            C.4                                        D.6

Hướng dẫn giải chi tiết:

Cách 1: (3 + 2i)z + (2 – i)² = 20 + 3i ⇔ (3 + 2i)z + 4 – 4i + i² = 20 + 3i

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Có phần thực là 5, phần ảo là -1

Vậy hiệu phần thực và phần ảo của z = 5 – (-1) = 6.

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2

Bước 2: Nhập   ta được kết quả là 5 – i.

Vậy hiệu phần thực và phần ảo của z bằng 5 – (-1) = 6

Chọn đáp án D.

Dạng 2: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ minh họa:

Cho số phức z thỏa mãn (3 – 2i) 

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học
 – 1 11i = (2 + 2i)z. Môđun của số phức là:

A. 

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học
                      B. 
Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học
                           C. 
Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học
                             D. 
Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Hướng dẫn giải chi tiết: 

Cách 1: Gọi z = x + yi (x,y ∈ ℜ).

Ta có: (3- 2i) – 1 – 11i = (2 + 2i)z

⇔ (3 – 2i)( x – yi) – 1 – 11i = (2 + 2i)(x + yi)

⇔ 3x – 3yi – 2xi + 2yi² – 1  11i = 2x + 2yi + 2xi + 2yi²

⇔ 3x – 3yi – 2xi – 2y – 1 – 11i – 2x – 2yi – 2xi + 2y = 0

⇔ (3x – 2y – 1 – 2x + 2y) + (-3y – 2x – 11 – 2y – 2x)i = 0

⇔ (x – 1) + (-4x – 5y – 11)i = 0

Ta có hệ:

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Vậy z = 1 – 3i nên

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức MODE 2.

Bước 2: Nhập (3 – 2i)(X-Yi) – 1 – 11i – (2_2i)(X+Yi)

Bước 3: Gán giá trị X = 0, Y = 0: CACL X? 0 = Y?0 =; ta được kết quả là -1 – 11i, điền vào giá trị cột c trong bảng ở bước 7.

Bước 4: Nhập (3 – 2i)(X – Yi) – 1 – 11i – (2 + 2i)(X+Yi) – (- 11i).

Bước 5: Gán giá trị X = 0, Y = 1: CACL X?0 Y?1 =, ta được kết quả là – 5i, điền vào giá trị cột b trong bảng ở bước 7.

Bước 6: Gán giá trị X = 1, Y = 0: CACL X?1 = Y?0 =; ta được kết quả là 1 – 4i, điền vào giá trị cột a trong bảng ở bước 7.

Bước 7: Ta có bảng:

Bước 8: Giả hệ phương trình:

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Do đó số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài là z = 1 – 3i. Vậy |z| = 

Chọn đáp án A.

Dạng 3: Biểu diễn hình học của số phức

Ví dụ minh họa:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | – 2 – i| = 3 là:

A. (x – 2)² + (y+ 1)² = 9

B. (x + 2)² + (y – 1)² = 9

C. (x – 2)² + (y+ 1)² = 4

(x – 2)² + (y+ 1)² = 1

Hướng dẫn giả chi tiết:

Cách 1: Gọi z = x + yi (x, y ∈ ℜ), khi đó  = x – yi. Theo bài ra ta có:

|x – yi – 2 – i| = 3 ⇔ |x – 2 + (- y – 1)i| = 3 ⇔ 

⇔ (x – 2)² + (y + 1)² = 9.

Cách 2: Áp dụng chú ý ở phần phương pháp giải ta có:

| – 2 – i|  = 3 ⇔ | – (2+i)| = 3 ⇔ |z – (2-i)| 3 có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; – 1), bán kính R = 3.

Phương trình đường tròn tâm I(2; – 1), bán kính R = 3 có dạng (x – 2)² + (y + 1)² = 9.

Chọn đáp án A

Dạng 4: Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Để có thể ôn luyện tốt dạng bài tập này em có thể tham khảo thêm các bài đại cương số phức. Thông qua đại cương em sẽ nắm được chi tiết những nội dung quan trọng cần học. Và không bị bỏ sót những nội dung quan trọng nào.

Ví dụ minh họa: 

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z – 3 – i| = | + 2i| là đường thẳng có phương trình:

A. 3x + y + 3 = 0

B. 3x – y + 3 = 0

C. 3x + y – 3 = 0

D. 3x – y – 3 = 0

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi z = x + yi (x, y ∈ ℜ), khi đó  = x – yi. Theo bài ra ta có:

|x + yi – 3 – i| = |x – yi + 2i| ⇔ |x – 3 + (y – 1)i| = |x + (2 – y)i| ⇔ (x – 3)² + (y – 1)² = x² + (2 – y)² ⇔ x² – 6x + 9 + y² – 2y + 1 = x² + y² – 4y + 4 ⇔ – 6x – 2y + 10 = – 4y + 4 ⇔ – 6x + 2y + 6 = 0.

Do đó tập hợp biểu diễn số phức z là đường thẳng – 6x + 2y + 6 = 0 ⇔ 3x – y – 3 = 0.

Chọn đáp án D

Để ôn tập tốt em nên học kỹ và làm nhiều bài tập số phức 12. Tham khảo thêm tài liệu bài tập số phức khó có lời giải và bài tập số phức luyện thi đại học để đạt được kết quả tốt nhất.

Tài liệu chuẩn để em ôn tập và luyện nhuần nhuyễn bài tập số phức luyện thi đại học

Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019 sắp đến gần, đây là thời gian vô cùng quan trọng đối với teen 2k1. Môn Toán là môn học khó và em phải học tổng hợp kiến thức khổng lồ của cả 3 năm lớp 10, 11 và 12. Đề thi ngày càng khó và đòi hỏi em phải có kỹ năng làm bài mới đạt được điểm cao.

Thấu hiểu được những khó khăn đó của các em, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội và thương hiệu CCBook đã biên soạn sách Ôn luyện thi trắc nghiệm THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán để đồng hành cùng em trên con đường chinh phục tấm vé vào trường đại học mơ ước.

Bài tập chuyên đề số phức ôn thi đại học

Ưu điểm nổi bật của cuốn sách:

–  Sách đầy đủ kiến thức của cả 3 năm học lớp 10, 11 và 12. Trong đó chủ yếu đi sâu vào kiến thức trọng tâm của lớp 12. Bao gồm cả phần Đại số và giải tích – Hình học giúp em ôn luyện nhẹ nhàng mà không cần tốn thời gian học cả “núi” sách.

Về lý thuyết:

Sách tận dụng triệt để ưu điểm của phương pháp học bằng SƠ ĐỒ KHỐI giúp những kiến thức lý thuyết phức tạp sẽ được tổng hợp đầy đủ, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ.

Về bài tập:

Các bài tập đều được trích từ các đề thi THPT QG các năm, đề thi của các trường chuyên… chuẩn định hướng thi của Bộ GD & ĐT. Mỗi bài tập đều có đáp án và lời giải chi tiết giúp em hiểu sâu, nhớ lâu kiến thức đã học.

Có các hệ thống phương pháp giải nhanh các bài tập đi kèm ví dụ minh họa từ dễ đến khó từ dễ đến khó giúp em vận dụng những phương pháp vừa học để giải nhanh mọi dạng bài và tối ưu điểm số.

Bài tập có đầy đủ các dạng từ nhận biết – thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao. Nhưng chủ yếu phân bổ ở vận dụng và vận dụng cao giúp em dễ dàng đạt điểm 9,10.

Những tiện ích đi kèm hỗ trợ em học tập hiệu quả:

  • Hệ thống video bài giảng chữa các bài tập khó
  • Hệ thống thi thử CCTest
  • Nhóm kín hỗ trợ học tập trên Facebook.

Xem thêm: CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC KHÓ CÓ LỜI GIẢI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI

CCBOOK – ĐỌC LÀ ĐỖ

 Điện thoại: 024.3399.2266

 Email: [email protected]

 Website: http://www.ccbook.vn

 Địa chỉ: Số 10 Dương Quảng Hàm – Cầu Giấy – Hà Nội