Với cách giải các dạng toán về Hàm số liên tục môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Hàm số liên tục lớp 11. Mời các bạn đón xem:
Hàm số liên tục và cách giải bài tập - Toán lớp 11
1. Lý thuyết
- Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f[x] xác định trên K và x0∈K.
- Hàm số y = f[x] liên tục tại x0 khi và chỉ khi limx→x0f[x]=f[x0].
- Hàm số y = f[x] không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.
- Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số y = f[x] liên tục trên một khoảng [a; b] nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó.
- Hàm số y = f[x] liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên [a; b] và limx→a+f[x]=f[a], limx→b−f[x]=f[b]
- Các định lý cơ bản
Định lý 1:
- Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập R.
- Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 2: Cho các hàm số y = f[x] và y = g[x] liên tục tại x0. Khi đó:
- Các hàm số: y = f[x] + g[x]; y = f[x] - g[x]; y = f[x].g[x] liên tục tại x0.
- Hàm số y=fxgx liên tục tại x0 nếu gx0≠0.
Định lý 3: Cho hàm số y = f[x] liên tục trên [a; b] và f[a].f[b] < 0. Khi đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm trên [a; b].
2. Các dạng toán
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0 tại x = x0.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính f[x0] = f2[x0].
Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.
Bước 3: Nếu f2[x0] = L thì hàm số f[x] liên tục tại x0.
Nếu f2x0≠L thì hàm số f[x] không liên tục tại x0.
[Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2[x0], tìm m]
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = - 1.
fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1
Lời giải
Hàm đã cho xác định trên R.
Ta có: f[-1] = 3
limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3
Ta thấy limx→−1fx=f−1
Vậy hàm số liên tục tại x = - 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x−1x−1khi x≠1m2xkhi x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.
Lời giải
Hàm đã cho xác định trên 0;+∞
Ta có
f[1] = m2.
limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.
Vậy m=±22.
Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi x−1 2x+3 , khi x≤−1.
Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.
Lời giải
Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1
Lời giải
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x