Giới hạn của dãy số là một điểm lý thuyết phổ biến thường có trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy việc nắm rõ khái niệm cũng như cách giải bài tập sẽ giúp ích hơn cho các em trong lúc thi. Hãy cùng Marathon Education tìm hiểu kỹ hơn trong bài viết sau đây!
Lý thuyết giới hạn của dãy số
Dãy số có giới hạn 0
Định nghĩa 1:
Dãy số [un ] có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu giá trị tuyệt đối của n có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng của dãy số và kể từ số hạng bất kỳ nào đó trở đi.
Định nghĩa 2:
Dãy số [vn] có giới hạn là a [hay vn dần tới a] khi n → +∞ nếu:
Tính chất:
Dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số có giới hạn +∞
Dãy số có giới hạn [un ] nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó.
Ký hiệu: lim un = + ∞.
Dãy số có giới hạn – ∞
Dãy số có giới hạn [un ] nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó.
Ký hiệu: lim un = – ∞.
Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Quy tắc nhân
- Quy tắc chia
Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa:
Các định lý:
- Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:
- lim [un + vn] = a + b.
- lim [un – vn] = a – b.
- lim [un.vn] = ab.
- Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a > 0 và
Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giải
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, kết hợp tính chất và những định lý về giới hạn của một dãy số
Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tại
Phương pháp giải: Sử dụng định lý
- Dãy số [un ] tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
- Dãy số [vn ] giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Như vậy, các em đã được tìm hiểu về lý thuyết giới hạn của dãy số cũng như cách giải bài tập đơn giản, chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được team Marathon truyền tải, các em có thể dễ dàng ôn luyện và giải bài hiệu quả hơn.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
Đầy đủ các dạng toán về giới hạn của dãy số và kho tàng bài tập trắc nghiệm có đáp án vô cùng phong phú. Nguồn: ST
GIỚI HẠN DÃY SỐ
- LÝ THUYẾT
- DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] có giới hạn 0 [hay có giới hạn là 0] nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu \[\lim {u_n} = 0\]
Nói một cách ngắn gọn, \[\lim {u_n} = 0\] nếu \[\left| {{u_n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Từ định nghĩa ta suy ra rằng:
- \[\lim {u_n} = 0 \Leftrightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0\]
- Dãy số không đổi \[\left[ {{u_n}} \right]\], với \[{u_n} = 0\] có giới hạn là 0.
- Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] có giới hạn 0 nếu \[{u_n}\] có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.