Bài tập giới hạn dãy số Toán 11
|
Chúng tôi là Giáo viên môn Toán, biết thêm chút đỉnh về tin học, mạng internet nữa nên lập ra trang web này. Bên cạnh đó chúng tôi còn làm YouTube để giúp các em tiếp cận Toán dễ dàng hơn. Show
Tài liệu Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số với những hướng dẫn giải bài tập toán cụ thể các em học sinh có thể ứng dụng cho việc làm bài tập tại nhà cũng như tự mình làm và so sánh kết quả và đánh giá khả năng học tập của mình tốt nhất. Việc sử dụng tài liệu tham khảo giải toán lớp 11 còn hỗ trợ quá trình nắm bắt được những phương pháp giải toán, lựa chọn cho mình cách giải nhanh chóng và cho kết quả chính xác nhất. Để học tốt Toán lớp 11 các bạn hãy cùng tham khảo chi tiết tài liệu giải bài tập Toán lớp 11 hay những tài liệu giải bài tập hình học 11 để ứng dụng cho quá trình học tập đạt kết quả tốt hơn. Sau bài Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số ở bài sau chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về giải Toán lớp 11: Giới hạn của hàm số, các bạn hãy cùng theo dõi nhé. Hãy chú ý ôn luyện thêm phần Giải Toán 11 trang 36, 37 của Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp để rèn luyên tư duy tính toán cũng như đạt được kết quả học tập Toán lớp 11 tốt hơn. Để đạt được kết quả học tập tốt hơn, các em cũng cần đặc biệt quan tâm tới nội dung Giải Toán 11 trang 40, 41 của Ôn tập chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác một bài học rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Hơn nữa, Giải bài tập trang 97, 98 SGK Đại Số và Giải Tích 11 là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 mà các em cần phải đặc biệt lưu tâm. Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số là tài liệu hữu ích hỗ trợ giải bài tập Toán lớp 11 dễ dàng và hiệu quả nhất. Tài liệu Giải Toán lớp 11 : Giới hạn của dãy số được trình bày đầy đủ nội dung là hệ thống danh sách các bài giải bài tập toán lớp 11 chi tiết, ngắn gọn, dễ hiểu bám sát theo nội dung chương trình học của sách giáo khoa cũng như sách bài tập toán 11. Các bạn học sinh hoàn toàn có thể tham khảo tài liệu giải toán 11 để làm bài tập, củng cố kiến thức và ôn luyện để chuẩn bị kiến thức tốt nhất cho các kì thi. Giải toán lớp 6 tập 1 trang 121, 122, bài 40, 41, 42, 43, 44, 45 SGK Giải Toán 11 trang 40, 41 Giải Toán lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 132, 133 SGK Đại Số - Giới hạn của hàm số Giải bài tập trang 106, 107 SGK Đại Số 10 Giải Toán lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 168, 169 SGK Đại Số - Đạo hàm của hàm số lượng giác Giải bài tập trang 57, 58 SGK Đại Số và Giải Tích 11
Xin chào các em đã đến với lớp học Toán của iToan! Ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng học bài : Giới hạn của dãy số nhé! Bài giảng dược biên soạn dựa theo chương trình sách giáo khoa, có bổ sung và sửa đổi theo phương pháp dạy học mới, từ lý thuyết đến thực hành, giúp các em nắm bài tốt hơn và thấy môn Toán không còn khó nhằn như tưởng tượng! Lý thuyết cần nắm: Giới hạn của dãy sốGiới hạn hữu hạn của dãy số Bài toán 1: Cho dãy số (un) với un=1n.Viết dạng khai triển của dãy số và biểu diễn hình học dãy số trên trục số ? a) Nhận xét xem khoảng cách từ (un) tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn? b) Bắt đầu từ số hạng (un) nào của dãy số thì khoảng cách từ (un) đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001? Giải Biểu diễn un dưới dạng khai triển 1/2,1/3,1/4,1/5,…,1/100… Kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số Dựa vào kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số ta thấy: a) Khoảng cách từ (un) tới 0 càng nhỏ khi n càng lớn. b) Từ số hạng thứ 101 trở đi thì khoảng cách từ (un)đến 0 nhỏ hơn 0,01. Từ số hạng thứ 1001 trở đi thì khoảng cách từ (un) đến 0 nhỏ hơn 0,001. Từ đó ta thấy |un|=1/n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta nói dãy số (un) với un=1/n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực. a. Định nghĩa 1Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu: hay un→0 khi n→∞ (Dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cùng). Ví dụ: Xét dãy số (un) với un=(−1)^n/ n^2. Kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì ta có |un|<1/100. a) Tìm n0? b) Kết luận về giới hạn của dãy số (un)? Giải a) Vì kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì |un|<1/100, nên b) Theo phần a) ta thấy, kể từ số hạng thứ 11 trở đi |un|<1100, nên theo định nghĩa ta có b. Định nghĩa 2 Định lý về giới hạn hữu hạnĐịnh lý 1: a) Nếu limun=a và limvn=b thì lim(un+vn)=a+b lim(un−vn)=a−b lim(un.vn)=a⋅b lim (un/vn)=a/b(b≠0) b) Nếu un≥0 với mọi n và lim un=a thì a≥0 và lim√un=√a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q với |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Ví dụ: Cấp số nhân có công bội q=1/2;u1=1/2 có năm số hạng đầu tiên u1=1/2;u2=1/4,u3=1/8,u4=1/16,u5=1/32, là một cấp số nhân lùi vô hạn. Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Kí hiệu: S=u1+u2+u3+…+un+… Giới hạn vô cựcTa nói dãy số (un) có giới hạn +∞ nếu (un) có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: limun=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞ Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞ khi n→+∞ nếu lim(−un)=+∞ Kí hiệu: limun=−∞ hay un→−∞ khi n→+∞ Chú ý: limun=+∞⇔lim(−un)=−∞ Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=n2. Biểu diễn của (un) trên trục số như sau: Theo biểu diễn hình học này ta thấy rằng un>10000 kể từ số hạng 101 trở đi. un>10^20 kể từ số hạng 10^10+1 trở đi. Điều đó có nghĩa là un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó limun=+∞. limnk=+∞ với k nguyên dương; limqn=+∞ nếu q>1. Định lí 2: a) Nếu limun=a≠0 và limvn=±∞ thì limunv0=0. b) Nếu limun=a>0,limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvv=+∞ c) Nếu limun=+∞ và limvn=a>0 thì lim(un.vn)=+∞ Giải bài tập SGK Đại số 11 Giới hạn của dãy sốBài 1 (trang 121 SGK Đại số 11):Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã). a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0. c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g. Lời giải:
a. Sau 1 chu kì bán rã: Sau 2 chu kì bán rã: Sau 3 chu kì bán rã: … Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10-6 g = 10-9 kg Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa. Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11):Biết dãy số (un) thỏa mãn Lời giải: Đặt vn = un – 1. Lấy số dương d > 0 bé tùy ý ⇒ luôn tồn tại ⇒ ⇒ Theo định nghĩa ta có: Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):Tìm các giới hạn sau: Lời giải: Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11):Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn. a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Lời giải: a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2 Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó ⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.
Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là Từ đó , ta có:
Tính tổng: Dãy Tổng của cấp số nhân đó là Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11):Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số: Lời giải: Ta có: a= 1,02020202… ( chu kì 2) = 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 + ….. Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11):Tính các giới hạn sau: Lời giải: Bài 8 (trang 122 SGK Đại số 11):Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn: Lời giải: Lời kếtVậy là bài giảng: Giới hạn của dãy số đã kết thúc tại đây. Các em hãy chăm chỉ ôn luyện, nghe bài giảng của thầy cô giáo trên Toppy và làm thêm thật nhiều bài tập trắc nghiệm do Toppy biên soạn. Hãy để hành trình học của các em trở nên thú vị và hiệu quả cùng Toppy! >> Xem thêm: |
