2. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
Chọn khẳng định đúng.
- DE > BD + CE
- DE = BD + CE
- DE < BD + CE
- BC = BD + CE
Lời giải
Suy ra tam giác EIC cân đỉnh E
Do đó EI = EC [2]
Cộng [1] và [2] vế theo vế ta được: DI + EI = BD + CE
⇒ DE = BD + CE
Đáp án cần chọn là: B
Bài 15: Cho hình thang cân MNPQ [MN // PQ] có góc \= 450 và hai đáy có độ dài 12cm, 40cm. Diện tích của hình thang cân là:
- 728 cm2
- 346 cm2
- 364 cm2
- 362 cm2
Lời giải:
Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK
Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK
⇒ MN = HK; MH = NK
[Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau]
Lại có
MQ = NP [vì MNPQ là hình thang cân] suy ra ΔMQH = ΔNKP [ch – cgv]
Mà HK = MN = 12 cm nên QH = KP = \= 14 cm
Mà \= 450 ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm
Diện tích hình thang cân MNPQ là
SMNPQ \= \= 364 cm2
Đáp án cần chọn là: C
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Một hình thang có hiệu của đáy lớn và đáy bé bằng 21cm, đáy bé bằng đáy lớn, chiều cao bằng đáy bé. Hãy tìm diện tích của hình thang nói trên.
Lời giải: Đáp số: 539cm2
Bài 2: Một hình thang vuông có đáy bé bằng đáy lớn và chiều cao bằng 23cm, người ta mở rộng hình thang để được một hình chữ nhật thì diện tích của nó tăng thêm lên . Hãy tính diện tích hình thang lúc đầu.
Lời giải:
Gợi ý: Phần mở rộng là một tam giác vuông, có cạnh góc vuông bằng chiều cao của hình thang. Số đo cạnh góc vuông còn lại bằng
18cm chính là hiệu số đo hai đáy của hình thang. Coi đáy bé hình thang gồm ba phần bằng nhau thì đáy lớn gồm 5 phần. Hiệu số phần bằng nhau là:
5 – 3 = 2 [phần]
Đáy lớn của hình thang bằng:
[18 : 2] x 5 = 45 [cm]
Đáy bé của hình thang bằng
45 – 18 = 27 [cm]
Diện tích hình thang lúc đầu là:
Đáp số:
Bài 3: Một miếng đất hình thang có diện tích , đáy lớn hơn đáy bé 12m. Người ta mở rộng miếng đất bằng cách tăng đáy lớn thêm 5m thì được miếng đất hình thang có diện tích bằng . Tìm độ dài đáy lớn, đáy bé của miếng đất hình thang lúc chưa mở rộng.
Lời giải:
Sau khi mở rộng, diện tích đất tăng thêm là:
Phần tăng thêm có dạng hình tam giác, có đáy bằng 5m, chiều cao bằng chiều cao của miếng đất hình thang, chiều cao đó bằng:
60 x 2 : 5 = 24 [m]
Tổng hai đáy của hình thang lúc chưa mở rộng bằng:
864 x 2 : 24 = 72 [m]
Hai lần đáy bé bằng:
72 – 12 = 60 [m]
Đáy bé bằng:
60 : 2 = 30 [m]
Đáy lớn lúc chưa mở rộng bằng:
30 + 12 = 42 [m]
Đáp số: 30m; 42m
Bài 4: Cho hình thang ABCD có diện tích 1000. Trên cạnh bên AD lấy hai điểm M, N sao cho AM bằng ND và bằng . Từ M và N kẻ các đường song song với hai đáy AB và CD, chúng lần lượt cắt cạnh BC tại P và Q. Tính diện tích hình tứ giác MNQP.
Lời giải:
Kẻ hai đường chéo AC và BD, khi đó và
Vì MP song song với NQ và DC nên các tứ giác ABPM;; MPQN; NQCD đều là các hình thang, nên:
VÀ
Ta có: [vì đáy ND bằng và chúng có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống AD].
Ta có: và . Suy ra
Từ đó:
Nối NP, ta có:
Từ đó suy ra:
Đáp số:
Bài 5: Cho hình thang ABCD có diện tích , đáy lớn 47cm, đáy bé 38cm. Đoạn đường BD chia hình thang thành hai tam giác ABD và BCD. Hãy tính diện tích mỗi tam giác.
Lời giải:
Đáp số: SBCD=611cm2; SADB=494cm2
Bài 6: Một hình thang có diện tích , hiệu của hai đáy bằng 4m. Hãy tính độ dài mỗi đáy, biết rằng nếu đáy lớn được tăng thêm 2m thì diện tích hình thang sẽ tăng thêm
Lời giải:
Ta có:
Chiều cao BH của tam giác BCE [phần mở rộng là]:
Đó cũng là chiều cao của hình thang.
Tổng của hai đáy là:
Đáy bé là:
[20 – 4] : 2 = 8 [m]
Đáy lớn là:
8 + 4 = 12 [m]
Đáp số: Đáy bé: 8m; Đáy lớn: 12m
Bài 7: Một thửa ruộng hình thang có diện tích là 1155 và có đáy bé kém đáy lớn 33m. Người ta kéo dài đáy bé thêm 20m và kéo dài đáy lớn thêm 5m về cùng một phía để được hình thang mới. Diện tích hình thang mới này bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng là 30m và chiều dài 51m. Hãy tính đáy bé, đáy lớn của thửa ruộng ban đầu.
Lời giải:
Hình thang AEGD có diện tích bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài 51m
Do đó diện tích hình thang AEGD là:
Diện tích phần tăng thêm BEGC là:
1530 – 1155 = 375
Chiều cao BH của hình thang BEGC là:
375 x 2 : [20 + 5] = 30 [m]
Chiều cao BH cũng là chiều cao của hình thang ABCD. Do đó tổng hai đáy AB và CD là:
1155 x 2 : 30 = 77 [m]
Đáy bé là:
[77 – 33] : 2 = 22 [m]
Đáy lớn là:
77 – 22 = 55 [m]
Đáp số: Đáy bé: 22m; đáy lớn: 55m.
Bài 8: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Biết AB = 15cm, CD = 20cm, chiều cao hình thang là 14cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở E.
- Tính diện tích hình thang ABCD
- Chứng minh hai tam giác AED và BEC có diện tích bằng nhau
- Tính diện tích tam giác CED.
Lời giải:
- Gọi S là diện tích hình ABCD thì:
- Ta có: [do đây là hai tam giác chung đáy DC và chung chiều cao]
Hai tam giác này lại có chung nhau phần diện tích tam giác DEC nên hai phần còn lại là tam giác AED và tam giác BEC phải có diện tích bằng nhau.
- Ta có tam giác ABC và tam giác ADC là hai tam giác có cùng đường cao chính là đường cao của hình thang ABCD nên tỉ số diện tích của chúng là tỉ số của cạnh .
Hai tam giác ABC và ADc này lại chung đáy AC nên cũng là tỉ lệ chiều cao của chúng và đồng thời là tỉ lệ diện tích và bằng
Tổng diện tích cả hai tam giác BEC và DEC [chính là diện tích tam giác BCD] là:
Vậy diện tích tam giác DEC là:
Đáp số:
Bài 9: Cho hình thang ABCD, MA = MC; MN song song BD [hình vẽ]. Giải thích tại sao BN chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau ?
Lời giải:
Vì MN song song BD nên và
Vì nên ;
Như vậy hay
Suy ra
Bài 10: Hình thang ABCD [AB // CD] có A^−D^=20∘;B^=2C^. Tính các góc của hình thang.
Hướng dẫn:
Hình thang ABCD có AB // CD nên:
A^+D^=180∘ và B^+C^=180∘ [trong cùng phía]
Ta có:
+] A^+D^=180∘;A^−D^=20∘⇒A^=100∘;D=80∘^
+] B^+C^=180∘;B^=2C^⇒B^=120∘;C^=60∘
Bài 11: Hình thang vuông ABCD có A^=D^=90∘; AB = AD = 3cm; DC = 6cm. Tính các góc B và C của hình thang.
Hướng dẫn:
Kẻ BE ⊥ CD thì AD // BE, do cùng vuông góc với CD nên hình thang ABED có hai cạnh bên song song.
⇒ BE = AD = 3cm; DE = AB = 3cm. Do đó EC = DC - DE = 6cm - 3cm = 3cm
⇒ΔBCE vuông cân tại E nên C^=45∘
Do B^ và C^ là hai góc trong cùng phía của AB // DC nên chúng bù nhau hay B^+C^=180∘⇒B^=180∘−45∘=135∘
Bài 12: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK của hình thang. Chứng minh rằng DH = CK.
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa, tính chất và giải thiết vào hình thang cân ABCD ta được:
- D^=C^
- AD = BC
- H^=K^=90∘
⇒ΔADH = ΔBCK [trường hợp cạnh huyền - góc nhọn]
⇒ DH = CK
Bài 13: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên AD = 5cm, các cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.
Hướng dẫn:
Kẻ AH⊥DC;BK⊥DC thì AH // BK nên hình thang ABKH có hai cạnh bên song song.
⇒ AH = BK, HK = AB = 6cm
Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔADH vuông tại H ta được:
AD2=DH2+HA2 hay 52=42+HA2
⇔HA2=9⇔HA=3[cm]
Vậy chiều cao của hình thang cân là 3cm.
Bài 14: Tính x, y trên hình.
Hướng dẫn:
Do IP, GK, MH cùng vuông góc với AH nên IP // GK // MH
Lại có AI = IG = GM
⇒ AP = PK = KH, do đó IP là đường trung bình của tam giác AGK; GK là đường trung bình của hình thang IPHM.
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác AGK và hình thang IPHM ta được: GK = 2IP hay 6cm = 2x ⇔ x = 3cm
GK = IP+MH2 hay 6=3+y2⇔y=9 [cm]
2. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh quan hệ về độ dài
Ta vẽ thêm đường trung bình. Sau đó áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
Bài 15: Cho ΔABC có AM là đường trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và D là giao điểm của CI và AB. Chứng minh rằng: DA = 12DB; DI = 14DC.
Hướng dẫn:
Do M là trung điểm của BC theo giả thiết nên vẽ thêm E là trung điểm của BD thì BE = ED [1]
Ta được EM là đường trung bình của ΔBCD
Áp dụng định lí đường trung bình vào ΔBCD, ta được:
ME // DC [2] và DC = 2ME [3]
Từ [2] ⇒ ME // DI mà AI = IM theo giả thiết
Áp dụng định lí đường trung bình vào ΔAME ta được AD = DE [4]
Từ [1] và [4] suy ra AD = DE = EB [5] hay AD = 12DB
Từ [4] và [5] ta có DI là đường trung bình của ΔAEM.
Áp dụng định lí đường trung bình vào ΔAEM ta có ME = 2DI [6]
Thay [6] vào [3] ta được: DC = 2.2DI = 4DI hay DI = 12DC
3. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ta vẽ thêm đường trung bình
Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang
Sử dụng tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó hoặc sử dụng tính chất: Nếu một góc là góc bẹt thì hai cạnh của góc ấy là hai tia đối nhau hay hai cạnh của góc này nằm trên một đường thẳng.