Bài tập lượng giác 11 hay và khó năm 2024
- 1. tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group D Ạ Y T H Ê M T O Á N 1 1 S Á C H C H Â N T R Ờ I S Á N G T Ạ O Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN 11 - SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM - CHUYÊN ĐỀ 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC [LÝ THUYẾT, BÀI TẬP TỰ LUẬN, TRẮC NGHIỆM, VỞ BÀI TẬP] [BẢN GV] [256 TRANG] WORD VERSION | 2024 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM vectorstock.com/28062405
- 2. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 1 Sưu tầm và biên soạn C H Ư Ơ N G I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT. I = = = I 1. GÓC LƯỢNG GIÁC a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác Trong mặt phẳng cho hai tia , Oa Ob . Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh gốc O , theo một chiều nhất định từ vị trí tia Oa và dừng tại vị trí tia Ob , thì ta nói nó quét một góc lượng giác có tia đầu Oa , tia cuối Ob và kí hiệu là , . Oa Ob Góc lượng giác , . Oa Ob chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay của tia Om từ tia đầu Oa đến tia cuối Ob . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm. Khi tia Om quay góc thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo . Số đo của góc lượng giác với tia đầu Oa , tia cuối Ob được kí hiệu là , . sd Oa Ob Chú ý: Với hai tia , Oa Ob cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu Oa , tia cuối Ob . Ta dùng chung kí hiệu là , Ou Ov cho tất cả các góc lượng giác này. Nhận xét: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau một bội nguyên của 360 nên có công thức tổng quát là: , .360 sd Oa Ob k k thường viết là , .360 Oa Ob k b. Hệ thức Chasles: với 3 tia , , Oa Ob Oc bất kì ta có: , , , .360 Oa Ob Ob Oc Oa Oc k k 2. ĐƠN VỊ RADIAN Trên một đường tròn bán kính R tùy ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng bán kính được gọi là một góc có số đo bằng 1 radian [ đọc là ra-di-an, viết tắt là 1 rad ] Quan hệ giữa độ và radian 1 rad rad 180 180 a a và 180 .180 1rad rad
- 3. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 2 Sưu tầm và biên soạn 3. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II = = =I DẠNG: ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO 1 rad rad 180 180 a a và 180 .180 1rad rad Câu 1. Đổi số đo radian sang số đo độ a] [ ] rad b] [ ] 3 rad c] [ ] 10 rad d] 22 [ ] 3 rad e] 5 [ ] 9 rad . a] .180 [ ] 180 rad b] .180 3 [ ] 60 3 rad c] .180 10 [ ] 18 10 rad Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. TRên đường tròn này, chọn điểm 1;0 A làm gốc, chiều dương là chiều ngược với chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lượng giác. Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm 1;0 A ' 1;0 , A 0;1 , B ' 0; 1 . B Cho số đo góc bất kì. Trên đường tròn lượng giác ta xác định được duy nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng giác , . OA OM Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo trên đường tròn lượng giác. + O ' 0; 1 B 0;1 A 0;1 B ' 1;0 A
- 4. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 3 Sưu tầm và biên soạn d] 22 .180 22 3 [ ] 1320 3 rad e] 5 .180 5 9 [ ] 100 9 rad . Câu 2. Đổi số đo độ của cung tròn sang radian a] 170 b] 1000 c] 3100 d] 90 e] 240 a] .170 17 170 rad [ ] 180 18 rad b] .1000 50 1000 rad [ ] 180 9 rad c] .3100 155 3100 rad [ ] 180 9 rad d] 90 90 rad [ ] 180 2 rad e] 240 4 240 rad [ ] 180 3 rad Câu 3. Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12. Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim phút quét được Khi kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 thì sđ [ , ] OG OP là 2 2 k Trong 1 giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 , kim giờ quét được góc 6 Thời gian từ lúc 3h đến lúc hai kim trùng nhau lần đầu tiên là 3 : 2 2 6 11 [giờ] Kim phút đã quét được một góc có số đo là 3 6 2 . 11 11 Vậy số đo góc lượng giác mà kim phút quét được là 6 2 11 k
- 5. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 1 Sưu tầm và biên soạn C H Ư Ơ N G I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III == =I DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho là hai điểm M và N thuộc đường tròn lượng giác. Hai góc lượng giác , Ox OM và , Ox ON lệch nhau 0 180 . Chọn nhận xét đúng A. , M N có tung độ và hoành độ đều bằng nhau. B. , M N có tung độ và hoành độ đều đối nhau. C. , M N có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau. D. , M N có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau. Lời giải Vì hai góc lượng giác , Ox OM và , Ox ON lệch nhau 0 180 nên M và N đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O nên có tung độ và hoành độ đều đối nhau. Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ tự đó và các điểm , B C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC bằng A. 240 360 ,k k . B. 120 . C. 240 . D. 120 360 ,k k . Lời giải Theo giả thiết ta có hình vẽ như trên. Khi đó , 120 360 , OA OC k k . Câu 3: Trên đường tròn lượng giác gốc [1;0] A , cho các cung có số đo: I. . 4 II. 7 . 4 III. 13 . 4 IV. 71 . 4 Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
- 6. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 2 Sưu tầm và biên soạn A. Chỉ I, II và IV. B. Chỉ I, II và III. C. Chỉ II, III và IV. D. Chỉ I và II. Lời giải. Xét: II. 7 8 2 . 4 4 4 4 trùng với điểm . 4 III. 13 12 3 . 4 4 4 4 IV. 71 72 8 . 4 4 4 4 trùng với điểm . 4 Vậy Chỉ I, II và IV có điểm cuối trùng nhau. Câu 4: Trên đường tròn định hướng gốc 1;0 A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn ; 30 45 OA OM k , k ? A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. 8 . Lời giải x y A M 30° O Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc có số đo 30 45 k , trong khoảng từ 0 đến 360 . Có 8 điểm M biểu diễn. DẠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA RADIAN VÀ ĐỘ Câu 5: Góc có số đo 108 đổi ra rađian là: A. 3 5 . B. 10 . C. 3 2 . D. 4 . Lời giải Ta có: 108 . 3 108 . 180 5 Câu 6: Nếu một cung tròn có số đo là a thì số đo radian của nó là: A. 180 a . B. 180 a . C. 180 a . D. 180a . Lời giải Số đo radian của một cung tròn có số đo a là 180 a .
- 7. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Câu 7: Cho góc có số đo 405 , khi đổi góc này sang đơn vị rađian ta được A. 8 9 . B. 9 4 . C. 9 4 . D. 9 8 . Lời giải Khi đổi góc 405 sang đơn vị rađian ta được π π 9 405 180 4 . Câu 8: Đổi số đo của góc 10 rad sang đơn vị độ, phút, giây ta được A. 572 57 28 . B. 1800 . C. 18 . D. 527 57 28 . Lời giải Tính được: 10 10rad .180 572 57 28 . Câu 9: Góc có số đo 7 4 thì góc đó có số đo là A. o 315 . B. o 630 . C. o 1 45 . D. o 135 . Lời giải Góc có số đo 7 4 thì góc đó có số đo là: o o 7.180 315 4 . Câu 10: Số đo theo đơn vị rađian của góc 405 là: A. 9 . 4 B. 7 . 4 C. 5 . 4 D. 4 . 7 Lời giải Ta có: 405 9 . 108 4 Vậy 405 tương ứng với 9 [ ]. 4 rad Câu 11: Góc 0 70 có số đo bằng radian là: A. 18 7 . B. 7 18 . C. 9 7 . D. 7 9 . Lời giải Góc 0 a có số đo bằng radian là . 180 a Suy ra góc 0 70 có số đo bằng radian là .70 7 180 18 rad Câu 12: Góc có số đo 120 đổi sang radian là A. 3 2 . B. 2 3 . C. 4 . D. 10 . Lời giải
- 8. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 4 Sưu tầm và biên soạn Ta có 120 đổi sang radian là: 2 120 180 3 ra D. Câu 13: Số đo theo đơn vị rađian của góc 315 là A. 7 2 . B. 7 4 . C. 2 7 . D. 4 7 . Lời giải Ta có 315 7 315 . 180 4 . Câu 14: Cung tròn có số đo là 5 4 . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. A. 5 . B. 15 . C. 172 . D. 225 . Lời giải Ta có: 5 4 .180 .180 225 a . Câu 15: Cung tròn có số đo là . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 180 . Lời giải Ta có: .180 180 a . Câu 16: Góc 63 48 bằng A. 1,113rad . B. 1,108rad . C. 1,107 rad . D. 1,114rad . Lời giải Ta có 0 63,8 3,1416 63 48 63,8 1,114 180 rad Câu 17: Góc có số đo 2 5 đổi sang độ là: A. 135 . B. 72 . C. 270 . D. 240 . Lời giải Ta có: 2 2.180 72 . 5 5 Câu 18: Góc có số đo 108 đổi ra rađian là: A. 3 5 . B. 10 . C. 3 2 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có: 108. 3 108 . 180 5
- 9. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 5 Sưu tầm và biên soạn Câu 19: Góc có số đo 9 đổi sang độ là: A. 25 . B. 15 . C. 18 . D. 20 . Lời giải Ta có: 180 20 . 9 9 Câu 20: Cho 2 2 a k . Tìm k để 10 11 a A. 7 k . B. 5 k . C. 4 k . D. 6 k . Lời giải + Để 10 11 a thì 19 21 2 5 2 2 k k Câu 21: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: A. 0 60 . B. 0 30 . C. 0 40 . D. 0 50 . Lời giải + 1 bánh răng tương ứng với 0 0 360 5 72 10 bánh răng là 0 50 . Câu 22: Đổi số đo góc 0 105 sang rađian. A. 7 12 . B. 9 12 . C. 5 8 . D. 5 12 . Lời giải 0 0 0 105 . 7 105 180 12 . Câu 23: Số đo góc 22 30 đổi sang rađian là: A. 5 . B. 8 . C. 7 12 . D. 6 . Lời giải 22,5.. 22 30 22,5 180 8 . Câu 24: Một cung tròn có số đo là 45 . Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. A. 2 B. C. 4 D. 3 Lời giải Chọn C Ta có: . 180 4 a . Câu 25: Góc có số đo 24 đổi sang độ là:
- 10. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 6 Sưu tầm và biên soạn A. 7 . B. 7 30 . C. 8 . D. 8 30 . Lời giải Ta có: 180 7 30 . 24 24 Câu 26: Góc có số đo 120 đổi sang rađian là: A. 2 3 . B. 3 2 . C. 4 . D. 10 . Lời giải Ta có: 0 120. 2 120 180 3 . DẠNG 3. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 27: Trên đường tròn lượng giác Số đo của góc lượng giác , OA OB là A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Từ hình vẽ ta có , 2 OA OB . Câu 28: Trên đường tròn lượng giác, góc có số đo 4 2 k k được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải
- 11. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 7 Sưu tầm và biên soạn Cách 1: Trên đường tròn lượng giác, xét theo chiều dương với 0,1,2,3,4 k ta thấy góc có số đo 4 2 k k được biểu diễn bởi 4 điểm. Cách 2: Góc có số đo * 2 , k k n n được biểu diễn bởi n điểm trên đường tròn lượng giác. Do đó, góc 2 4 2 4 4 k k k nên được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác. Câu 29: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc 7 4 ? A. 4 . B. 4 . C. 3 4 . D. 3 4 . Lời giải Ta có 7 2 4 4 . Góc lượng giác có cùng điểm cuối với góc 7 4 là 4 . Câu 30: Cho đường tròn lượng giác gốc Anhư hình vẽ. Điểm biểu diễn của điểm cuối góc lượng giác có số đo 5 2 là điểm nào trong các điểm sau? A. Điểm E . B. Điểm F . C. Điểm B . D. Điểm B .
- 12. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 8 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Ta có: 5 2 . 2 2 Do đó, điểm biểu diễn của cung có số đo 5 2 là điểm biểu diễn của cung có số đo , 2 đó là điểm B . Câu 31: Lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ tự đó và các điểm B , C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC bằng A. 240 360 , k k . B. 120 . C. 240 . D. 120 360 , k k . Lời giải Theo bài ra ta có 0 120 AOC nên góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC có số đo bằng 0 0 120 360 , k k . Câu 32: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc 13 4 ? A. 3 4 . B. 3 4 . C. 4 . D. 3 2 . Lời giải Ta có 13 3 4 4 4 nên góc lượng giác 3 4 có cùng điểm cuối với góc 13 4 . Câu 33: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo 4 ? A. 10 3 . B. 5 4 . C. 25 4 . D. 7 4 . Lời giải Ta có 25 3.2 4 4 Câu 34: Trên đường tròn lượng giác, điểm cuối của góc có số đo 26 3 nằm ở góc phần tư thứ mấy? A. IV . B. III . C. I . D. II . Lời giải
- 13. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 9 Sưu tầm và biên soạn Ta có: 26 2 4.2 3 3 . Vậy điểm cuối của cung có số đo 26 3 nằm ở góc phần tư thứ II. Câu 35: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cho góc lượng giác ; OA OM có số đo 4 2 3 k k . Điểm cuối M nằm ở góc phần tư nào trong các phần tư sau? A. thứ tư IV . B. thứ hai II . C. thứ ba III . D. thứ nhất I . Lời giải Theo định nghĩa ta có số đo cung lượng giác AM bằng số đo góc nên điểm cuối M nằm ở góc phần tư thứ ba III . Câu 36: Trên đường tròn lượng giác gốc A , biết gốc lương giác , OA OM có số đo bằng 0 4100 , điểm M nằm ở gốc phần tư thứ mấy? A. I . B. IV . C. III . D. II . Lời giải Ta có Sđ 0 0 0 ,OM 4100 140 11.360 OA . Vậy điểm M nằm góc phần tư thứ II . Câu 37: Trên đường tròn lượng giác, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn ; 30 45 , OA OM k k ? A. 6 . B. 4 . C. 8 . D. 10 . Lời giải ; 30 45 30 360 . 8 k OA OM k Số dư của k chia cho 8 là 0, 1, 2,...,7 . Vậy số các điểm trên đường tròn lượng giác là 8 . Câu 38: Trên đường tròn lượng giác góc A , biết góc lượng giác , OA OM có số đo 4100 , điểm M nằm ở góc phần tư thứ mấy? A. I . B. IV . C. III . D. II . Lời giải Ta có: 4100 652 2 0,22 π π , với π 0 0,22 2 nên M nằm ở góc phần tư thứ III . Câu 39: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cho cung lượng giác AM có số đo là 4 2 3 k k . Điểm cuối M nằm ở góc phần tư: A. thứ tư IV . B. thứ hai II . C. thứ ba III . D. thứ nhất I . Lời giải Ta có 4 3 ; 3 2 , do đó điểm cuối M nằm ở góc phần tư thứ ba III .
- 14. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 10 Sưu tầm và biên soạn Câu 40: Trên đường tròn lượng giác gốc A , có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo góc lượng giác ; OA OM bằng 6 5 k , với k là số nguyên. A. 12 . B. 10 . C. 5. D. 6. Lời giải Ta có số đo 1 vòng đường tròn lượng giác là 2 nên 0 2 0 10 5 k k . k nguyên nên có 10 giá trị cho k . Câu 41: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho M là điểm nằm trên đường tròn lượng giác. Điểm M có tung độ và hoành độ đều âm, góc , Ox OM có thể là: A. 90 . B. 200 . C. 60 . D. 180 . Lời giải Điểm M có tung độ và hoành độ đều âm nên điểm M nằm trong góc phần tư thứ ba. Do đó góc , Ox OM có thể là 200 . Câu 42: Trên đường tròn lượng giác gốc A , biết góc lượng giác , OA OM có số đo bằng 0 410 , điểm M nằm ở góc phần tư thứ mấy? A. II . B. IV . C. I . D. III . Lời giải Ta có biểu diễn góc lượng giác , OA OM có số đo bằng 0 410 như trên hình. Vậy điểm M nằm ở góc phần tư thứ I . Cách khác: Ta có 410 360 50 o o o . Suy ra góc lượng giác , 410o OA OM nằm ở góc phần tư thứ nhất. Câu 43: Cho góc lượng giác có số đo 59 , 2 Ox Oy . Khi đó hai tia Ox , Oy . A. Tạo với nhau một góc 3 4 . B. Vuông góc. C. Trùng nhau. D. Đối nhau. Lời giải
- 15. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 11 Sưu tầm và biên soạn Ta có 59 60 2 2 30 2 suy ra hai tia Ox , Oy vuông góc với nhau. Câu 44: Cho góc lượng giác , OA OB có số đo bằng 3 . Trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu OA và tia cuối OB ? A. 5 3 . B. 11 3 . C. 10 3 . D. 3 . Lời giải Ta có: 11 4 3 3 Câu 45: Cho hai góc lượng giác có sđ 5 , 2 , 2 Ox Ou m m và sđ , 2 , . 2 Ox Ov n n Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ou và Ov trùng nhau. B. Ou và Ov đối nhau. C. Ou và Ov vuông góc. D. Tạo với nhau một góc 4 . Lời giải Tia cuối của góc lượng giác có sđ 5 , 2 , 2 Ox Ou m m trùng với tia OB . Tia cuối của góc lượng giác có sđ , 2 ,n 2 Ox Ov n trùng với tia OB . Do đó hai tia Ou và Ov trùng nhau. Câu 46: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các góc lượng giác có số đo: I. 4 . II. 7 4 . III. 13 4 . IV. 71 4 . Hỏi các góc lượng giác nào có điểm cuối trùng nhau? A. Chỉ I, II và IV. B. Chỉ II, III và IV. C. Chỉ I, II và III. D. Chỉ I và II. Lời giải Có 7 2 4 4 và 71 18 9.2 4 4 nên 4 , 7 4 và 71 4 là các cung có điểm cuối trùng nhau. 13 3 4 4 nên 13 4 là cung có điểm cuối không trùng với điểm cuối của các cung còn lại. Câu 47: Cho hai góc lượng giác có sđ o o , 45 360 , Ox Ou m m và sđ o o , 135 360 , Ox Ov n n . Ta có hai tia Ou và Ov A. Tạo với nhau góc o 45 . B. Trùng nhau. C. Đối nhau. D. Vuông góc. Lời giải
- 16. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 12 Sưu tầm và biên soạn sđ o o o o 0 0 o , 135 360 225 360 45 180 360 , Ox Ov n n n n . Mà sđ o o , 45 360 , Ox Ou m m nên hai tia Ou và Ov đối nhau.
- 17. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 1 Sưu tầm và biên soạn C H Ư Ơ N G I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT. I = = = I 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC Trên đường tròn lượng giác, gọi ; M M M x y là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo . Khi đó: • Tung độ M y của điểm M gọi là sin của và kí hiệu là sin . sin M y • Hoành độ M x của điểm M gọi là côsin của và kí hiệu là cos . cos M x • Nếu cos 0, M x tỉ số sin cos M M y x gọi là tang của và kí hiệu là tan [người ta còn dùng kí hiệu tg ]: sin tan . cos M M y x • Nếu sin 0, M y tỉ số cos sin M M x y gọi là côtang của và kí hiệu là cot [người ta còn dùng kí hiệu cotg ] : cos cot . sin M M x y Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc . Chú ý: a] Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin b] Từ định nghĩa ta suy ra: 1] sin và cos xác định với mọi . 2] tan xác định với mọi . 2 k k
- 18. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 2 Sưu tầm và biên soạn 3] cot xác định với mọi . k k c] Với mọi góc lượng giác , ta có sin 2 sin , ; cos 2 cos , . k k k k 1 sin 1 1 cos 1. tan tan , , ; 2 cot cot , , . k k k k k k d] Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác. Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác e. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 0 6 4 3 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0
- 19. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 3 Sưu tầm và biên soạn 2. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 3. HỆ THỨC CƠ BẢN GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau 2 2 sin cos 1 2 2 1 1 tan , cos , 2 k k 2 2 1 1 cot , sin , k k tan .cot 1, , 2 k k 4. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT tan 0 1 3 1 3 Không xác định cot Không xác định 3 1 1 3 0
- 20. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 4 Sưu tầm và biên soạn Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos[ ] cos sin[ ] sin sin cos 2 sin[ ] sin cos[ ] cos cos sin 2 tan[ ] tan tan[ ] tan tan cot 2 cot[ ] cot cot[ ] cot cot tan 2 Góc hơn kém Góc hơn kém 2 sin[ ] sin sin cos 2 cos[ ] cos cos sin 2 tan[ ] tan tan cot 2 cot[ ] cot cot tan 2
- 21. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 5 Sưu tầm và biên soạn HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II = = =I DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC Sử dụng công thức lượng giác cơ bản trong các bài toán: 1] 2 2 sin cos 1 2] 2 2 1 1 tan , cos , 2 k k 3] 2 2 1 1 cot , sin , k k 4] tan .cot 1, , 2 k k 5] sin tan . cos 6] cos cot . sin Câu 1: Cho 2 cos 0 2 5 x x . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Vì 0 sin 0 2 x x Ta có 2 2 sin cos 1 x x 2 2 sin 1 cos x x 2 2 1 5 1 5 Vậy 1 sin 5 x . 1 2 sin 1 cos 5 5 tan ; cot 2 2 1 cos 2 sin 5 5 x x x x x x Câu 2: Cho 3 sin 5 2 x x . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Vì cos 0 2 x x Ta có 2 2 sin cos 1 x x 2 2 2 3 16 cos 1 sin 1 5 25 x x
- 22. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 6 Sưu tầm và biên soạn Vậy 4 cos 5 x . 3 4 sin 3 cos 4 5 5 tan ; cot 4 3 cos 4 sin 3 5 5 x x x x x x Câu 3: Cho 3 tan 4 2 x x . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Vì cos 0 2 x x 1 1 4 tan .cot 1 cot 3 tan 3 4 x x x x Ta có 2 2 2 2 1 3 25 16 1 tan 1 cos cos 4 16 25 x x x Vậy 4 cos 5 x . sin 3 4 3 tan sin tan .cos . cos 4 5 5 x x x x x x Câu 4: Cho 3 3 cot 4 2 x x . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Vì 3 sin 0 2 x x 1 1 4 tan .cot 1 tan 3 cot 3 4 x x x x Ta có 2 2 2 2 1 3 25 16 1 cot 1 sin sin 4 16 25 x x x Vậy 4 sin 5 x . cos 3 4 3 cot cos cot .sin . sin 4 5 5 x x x x x x Câu 5: Biết tan 2 và 0 0 180 270 . Tính giá trị của biểu thức:sin os c Lời giải
- 23. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 7 Sưu tầm và biên soạn 2 2 1 1 1 cos cos 5 1 tan 5 . Do 0 0 180 270 nên 0 cos cos 0 . Suy ra, 1 cos 5 . 2 sin tan .cos 5 . Do đó, 3 5 sin os 5 c . Câu 6: Cho tan 2 . Tính giá trị của biểu thức: 3sin cos sin cos A Lời giải 3sin cos 3tan 1 7 sin cos tan 1 A . Câu 7: Cho tan 3 x . Tính 2sin cos sin cos x x P x x . Lời giải Ta có sin tan 3 3 sin 3cos . cos x x x x x Khi đó 2.3cos cos 5cos 5 3cos cos 4cos 4 x x x P x x x . Câu 8: Cho 1 sin 3 a . Giá trị của biểu thức cot tan tan 2cot a a A a a bằng Lời giải Ta có 2 2 2 2 cos sin cot tan cos sin sin cos tan 2cot sin cos sin 2cos 2 cos sin a a a a a a a a A a a a a a a a a 2 2 2 2 2 2 1 sin sin 1 2sin 7 17 2 sin sin 2 1 sin a a a a a a Câu 9: Cho tan 4. x Giá trị của biểu thức 2sin 5cos 3cos sin x x A x x là Lời giải Ta có: sin cos 2 5 2. 4 5 2sin 5cos 2tan 5 cos cos 13 cos sin 3cos sin 3 tan 3 4 3 cos cos x x x x x x x A x x x x x x x . Câu 10: Cho tan 3 , khi đó giá trị của biểu thức 2sin cos 3sin 5cos P là Lời giải Chia cả tử và mẫu của P cho cos 0 ta được: 2sin cos 2tan 1 5 3sin 5cos 3tan 5 4 P .
- 24. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 8 Sưu tầm và biên soạn Câu 11: Cho góc thỏa mãn 0 2 và 1 cos 2 . Giá trị của biểu thức 1 sin cos P bằng Lời giải Cách 1: Ta có: 2 2 2 2 sin cos 1 sin 1 cos Với 1 cos 2 2 2 1 3 sin 1 sin 2 2 3 4 Vì 0 2 nên 3 sin 0 sin . 2 Vậy: 1 3 1 3 4 3 sin 2 . 1 cos 2 2 2 2 P Cách 2: Theo giả thiết: 1 cos 2 . 3 0 2 Vậy 1 1 3 4 3 sin sin 2 . cos 3 2 2 cos 3 P Câu 12: Cho tan 2 . Tính giá trị của biểu thức 4 3 2 2 2 2 2 sin 3sin cos cos sin sin cos 2cos P . Lời giải Do tan 2 nên cos 0 . Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho 4 cos ta được: 4 3 2 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 sin sin cos cos 3. cos cos cos sin sin cos cos 2. cos cos cos P 4 3 2 2 2 2 2 1 tan 3tan cos 1 1 tan . tan 2. cos cos 4 3 2 2 2 2 2 tan 3tan tan 1 tan . tan 1 tan 2. tan 1 4 3 2 4 2 tan 3tan tan 1 tan 4 tan 2 4 3 2 4 2 2 3.2 2 1 3 2 4.2 2 34 . Vậy 3 34 P . Câu 13: Cho 2tan cot 1 a a với 0 2 . Tính giá trị biểu thức tan 8 2cot 3 3tan 2 a a P a Lời giải
- 25. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 9 Sưu tầm và biên soạn tan 1 1 2tan cot 1 2tan 1 1 tan tan 2 a a a a a a . Vì 0 2 nên tan 0 a , suy ra 1 tan 2 a , cot 2 a Ta có: tan 8 tan a a ; cot cot a a ; 3 tan cot 2 a a . 1 4 tan 8 2cot tan 2cot 7 2 3 3cot 6 12 3tan 2 a a a a P a a . Câu 14: Cho sin cos x x m . Tính giá trị của biểu thức: sin cos M x x Lời giải Ta có: 2 2 2 2 sin cos sin 2sin .cos cos 1 2sin .cos M x x x x x x x x . Mặt khác: 2 2 2 2 sin cos sin cos 4sin .cos 4sin .cos M x x x x x x m x x . Suy ra: 2 2 1 1 2sin .cos 4sin .cos sin .cos 2 m x x m x x x x . Do đó: 2 2 2 2 2 M m M m . Câu 15: Cho 4 4 sin cos 1 a b a b Tính giá trị của biểu thức: 8 8 3 3 sin cos A a b Lời giải Đặt 2 2 2 1 1 cos t t t a b a b 2 2 1 ab b t at a b 2 2 2 ab at bt bt b a b 2 2 ab a b t bt b a b 2 2 2 2 0 a b t b a b t b b t a b Suy ra 2 2 cos ;sin b a a b a b Vậy: 8 8 4 4 3 3 3 sin cos 1 . a b a b a b a b a b DẠNG 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 16: Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 3 sin 90 2cos 60 3tan 45 S Lời giải
- 26. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 10 Sưu tầm và biên soạn Ta có 2 2 2 3 sin 90 2cos 60 3tan 45 S 2 2 2 1 3 1 2. 3.1 2 1 2 . Câu 17: Rút gọn biểu thức 5 sin cos 13 3sin 5 2 D . Lời giải Ta có 5 sin cos 13 3sin 5 2 D sin cos 3sin 2 cos cos 3sin 3sin . Câu 18: Tính giá trị của biểu thức: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 10 sin 20 sin 30 ... sin 70 sin 80 Lời giải 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 10 sin 20 sin 30 ... sin 70 sin 80 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 sin 10 sin 20 sin 30 ...cos 30 cos 20 cos 10 Câu 19: Tính giá trị của biểu thức: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 cos 30 cos 40 cos 50 cos 60 cos 70 cos 80 M . 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 90 cos 100 cos 110 cos 120 cos 130 cos 140 cos 150 cos 160 2 0 2 0 cos 170 cos 180 Lời giải Áp dụng công thức 0 cos cos 180 , 2 2 cos sin 1 ta có: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 170 cos 180 M 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 ... cos 80 cos 90 cos 80 ... cos 20 cos 10 cos 90 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 80 cos 90 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 sin 80 ... sin 50 cos 50 ... cos 80 cos 90 8 DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 20: Rút gọn biểu thức 2 2 2 1– sin .cot 1– cot A x x x Lời giải 2 2 2 1– sin .cot 1– cot A x x x 2 2 2 cot cos 1 cot x x x 2 sin x . Câu 21: Rút gọn biểu thức 2 2 sin cos sin cos M x x x x . Lời giải 2 2 sin cos sin cos 1 2sin cos 1 2sin cos 2 M x x x x x x x x .
- 27. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 11 Sưu tầm và biên soạn Câu 22: Rút gọn biểu thức 2 4 4 2 2 8 8 C 2 cos sin cos sin cos sin x x x x x x Lời giải Ta có : 2 8 8 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin 2cos sin 1 2cos sin x x x x x x x x 2 4 4 4 4 cos sin 2cos sin x x x x 2 2 4 4 1 4cos sin 2cos sin x x x x 2 2 2 4 4 1 2cos sin 2cos sin x x x x 2 2 4 4 1 4cos sin 2cos sin x x x x . Suy ra : 2 2 2 2 2 4 4 2 1 cos sin 1 4cos sin 2cos sin C x x x x x x . 2 2 4 4 2 2 4 4 2 1 2cos sin cos sin 1 4cos sin 2cos sin =1 C x x x x x x x x . Câu 23: Đơn giản biểu thức 2 sin cos 1 tan sin .cos x x A x x x Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 sin cos 1 2cos .sin 2cos .sin cos 2cos 2cot sin tan sin .cos sin sin 1 cos sin .cos cos x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x Câu 24: Tính giá trị của biểu thức 6 6 2 2 sin cos 3sin cos A . Lời giải Ta có: 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos . Suy ra: 2 2 2 2 1 3sin cos 3sin cos 1 A . Câu 25: Cho 0 2 . Tính 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin Lời giải Đặt 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin A Khi đó 2 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin A 2 4 cos Vì 0 2 nên cos 0 do đó 2 cos A DẠNG 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 26: Giá trị lớn nhất của 6 6 sin cos Q x x bằng:
- 28. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 12 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Ta có 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 Q x x x . Vì 2 2 2 3 3 1 3 0 sin 2 1 sin 2 0 1 sin 2 1 4 4 4 4 x x x . Nên giá trị lớn nhất là 1. . Câu 27: Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 7cos 2sin M x x là. Lời giải 2 2 2 7 1 sin 2sin 7 9sin M x x x . Ta có: 2 2 2 0 sin 1, 0 9sin 9, 7 7 2sin 2, x x x x x x . Gía trị lớn nhất là 7 . Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2 cot cot 2 tan .tan 2 P a b a b Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot 2cot .cot 2tan .tan 2 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cotb.tan .tan 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 6 6 P a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2 2 cot 1 cot cot cot .cot tan .tan cot 1 a a b a b a b b ,[ ] 4 2 k a b k . Câu 29: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc x biết: a. 3 sin 5 x với 3 2 x . b. 1 cos 4 x với 0 2 x . c. 3 cos 5 x với 0 0 90 x . d. 5 cos 13 x với 0 0 180 270 x . Lời giải a. Do sin 0 cos 0 3 tan 0 2 cot 0 x x x x x . Từ đó với 2 sin 3 tan 3 4 cos 4 sin cos 1 sin cos 4 5 5 cot sin 3 x x x x x x x x x .
- 29. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 13 Sưu tầm và biên soạn b. Do sin 0 cos 0 0 tan 0 2 cot 0 x x x x x . Từ đó với 2 sin tan 15 1 15 cos cos sin 1 cos cos 1 4 4 cot sin 15 x x x x x x x x x . c. Do 0 sin 0 cos 0 0 90 tan 0 cot 0 x x x x x . Từ đó với 2 sin 4 tan 3 4 cos 3 cos sin 1 cos cos 3 5 5 cot sin 4 x x x x x x x x x . d. Do 0 0 sin 0 cos 0 180 270 tan 0 cot 0 x x x x x . Từ đó với 2 sin 12 tan 5 12 cos 5 cos sin 1 cos cos 5 13 13 cot sin 12 x x x x x x x x x . Câu 30: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc x biết a] 2 cos 5 x với 0 2 x . b] 4 cos 5 x với 270 360 x . c] 5 sin 13 x với 2 x d] 1 sin 3 x với 180 270 x . Lời giải a] Do 0 2 x sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x . Từ đó với 2 cos 5 x 2 5 sin 1 cos 5 x x sin 1 tan cos 2 1 cot 2 tan x x x x x .
- 30. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 14 Sưu tầm và biên soạn b] Do 270 360 x sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x . Từ đó với 4 cos 5 x 2 3 sin 1 cos 5 x x sin 3 tan cos 4 1 4 cot tan 3 x x x x x . c] Do 2 x sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x . Từ đó với 5 sin 13 x 2 12 cos 1 sin 13 x x sin 5 tan cos 12 1 12 cot tan 5 x x x x x . d] Do 180 270 x sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x . Từ đó với 1 sin 3 x 2 2 2 cos 1 sin 3 x x sin 2 tan cos 4 1 cot 2 2 tan x x x x x . Câu 31: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc x biết a] tan 3 x với 3 2 x . b] tan 2 x với 2 x . c] 1 tan 2 x với 2 x d] cot 3 x với 3 2 x . Lời giải a] tan 3 x 1 cot 3 x tan 3 x sin 3 cos x x 2 2 sin 9cos x x 2 2 sin 9 1 sin 0 x x 2 9 sin 10 x . Vì 3 2 x sin 0 cos 0 x x Do đó 3 10 sin 10 x ; 10 cos 10 x . b] tan 2 x 1 cot 2 x
- 31. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 15 Sưu tầm và biên soạn tan 2 x sin 2 cos x x 2 2 sin 4cos x x 2 2 sin 4 1 sin 0 x x 2 4 sin 5 x . Vì 2 x sin 0 cos 0 x x Do đó 2 5 sin 5 x ; 5 cos 5 x . c] 1 tan 2 x cot 2 x 1 tan 2 x sin 1 cos 2 x x 2 2 4sin cos x x 2 2 4sin 1 1 sin 0 x x 2 1 sin 5 x . Vì 2 x sin 0 cos 0 x x Do đó 5 sin 5 x ; 2 5 cos 5 x . d] cot 3 x 1 tan 3 x 1 tan 3 x sin 1 cos 3 x x 2 2 9sin cos x x 2 2 9sin 1 sin 0 x x 2 1 sin 10 x . Vì 3 2 x sin 0 cos 0 x x Do đó 10 sin 10 x ; 3 10 cos 10 x . Câu 32: Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau: a] Cho tan 2. x Tính: 1 2 5cot 4tan 2sin cos , . 5cot 4tan cos 3sin x x x x A A x x x x b] Cho cot 2. x Tính: 1 2 3sin cos sin 3cos , . sin cos sin 3cos x x x x B B x x x x c] Cho cot 2. x Tính: 1 2 2 2sin 3cos 2 , . 3sin 2cos cos sin cos x x C C x x x x x d] Cho 3 sin ,0 . 5 2 x x Tính: cot tan . cot tan x x E x x e] Cho 0 0 1 sin ,90 180 . 5 x x Tính: 2 8tan 3cot 1 . tan cot x x F x x Lời giải a] 1 1 5 4. 2 1 5cot 4tan 21 2 tan 2 cot 5 2 5cot 4tan 11 4. 2 2 x x x x A A x x 2 2 2 2 2 sin 4 tan 2 2 sin 4cos sin 4 1 sin 0 sin cos 5 x x x x x x x x
- 32. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 16 Sưu tầm và biên soạn +] TH1: sin 0 2 1 0 sin ;cos cos >0 2 5 5 x x x x x 2 2 1 2. 2sin cos 5 5 5 1 1 2 cos 3sin 5 3. 5 5 x x A x x +] TH2: sin 0 2 1 sin ;cos cos 0 2 3 3 x x x x x 1 2 1 2 3. 3sin cos 3 2 3 3 5 4 2 sin cos 1 2 1 2 3 3 1 2 3. sin 3cos 1 3 2 19 6 2 3 3 sin 3cos 17 1 2 1 3 2 3. 3 3 x x B x x x x B x x +] TH2: sin 0 2 1 cos ;sin cos 0 2 5 5 x x x x x 1 2 2 1 2 2. 3. 2sin 3cos 2 3.2 5 5 8 1 2 3sin 2cos 3 2.2 3. 2. 5 5 2 2 2 5 4 1 2 2 cos sin cos . 5 5 5 5 x x C x x C x x x +] TH2: sin 0 2 1 cos ;sin cos chỉ có Câu A thỏa mãn. Câu 7: Cho 5 2 2 . Kết quả đúng là: A. tan 0;cot 0 . B. tan 0;cot 0 . C. tan 0;cot 0 . D. tan 0;cot 0 . Lời giải Vì 5 2 2 nên tan 0;cot 0 Câu 8: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos cùng dấu? A. Thứ II. B. Thứ IV. C. Thứ II hoặc IV. D. Thứ I hoặc III. Lời giải Câu 9: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu 2 cos 1 sin . A. Thứ II. B. Thứ I hoặc II. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV. Lời giải Ta có 2 2 cos 1 sin cos cos cos cos cos . Đẳng thức cos cos cos 0 điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ I hoặc IV. Câu 10: Cho 2 . Kết quả đúng là: A. sin 0;cos 0 . B. sin 0;cos 0 . C. sin 0;cos 0 . D. sin 0;cos 0 . Lời giải Vì 2 nên tan 0;cot 0 . Câu 11: Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. tan 0 . B. sin 0 . C. cos 0 . D. cot 0 . Lời giải
- 39. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 4 Sưu tầm và biên soạn - Ở góc phần tư thứ tư thì: sin 0;cos 0; tan 0;cot 0 . chỉ có C thỏa mãn. Câu 12: Cho thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. sin 0. B. cos 0. C. tan 0. D. cot 0. Lời giải thuộc góc phần tư thứ nhất sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 Câu 13: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan trái dấu? A. Thứ I. B. Thứ II hoặc IV. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV. Lời giải Câu 14: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu 2 sin sin . A. Thứ III. B. Thứ I hoặc III. C. Thứ I hoặc II. D. Thứ III hoặc IV. Lời giải Ta có 2 sin sin sin sin . Đẳng thức sin sin sin 0 điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ I hoặc II. Câu 15: Cho 0 1500 a .Xét câu nào sau đây đúng? I. 3 sin 2 . II. 1 cos 2 . III. tan 3 . A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III. C. Cả I, II và III. D. Chỉ I và III. Lời giải Bấm máy ta được: 3 1 sin ; cos = ; tan 3. 2 2 =>Cả I, II, III đều đúng. Câu 16: Cho 10 3 3 .Xét câu nào sau đây đúng? A. cos 0 . B. sin 0 . C. tan 0 . D. cot 0 . Lời giải 10 3 2 2 3 3 nên α thuộc cung phần tư thứ III vì vậy đáp án đúng là B Câu 17: Cho 7 2 4 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. cos 0 . B. sin 0 . C. tan 0 . D. cot 0 .
- 40. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 5 Sưu tầm và biên soạn Lời giải 7 3 2 2 4 2 4 nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là A Câu 18: Cho 2 . Xét các mệnh đề sau: I. cos 0 2 . II. sin 0 2 . III. tan 0 2 . Mệnh đề nào sai? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ II và III. D. Cả I, II và III. Lời giải 0 2 2 nên α thuộc cung phần tư thứ IV nên chỉ II, II sai. Câu 19: Cho 2 . Xét các mệnh đề sau đây: I.cos 0 2 . II. sin 0 2 . III.cot 0 2 . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II và III. D. Cả I, II và III. Lời giải 3 2 2 2 nên đáp án là D Câu 20: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin90 sin150 . B. sin90 15' sin90 30' . C. cos90 30' cos100 . D. cos150 cos120 . Lời giải Các góc trong đề bài đều là góc tù, chú ý rằng các góc tù thì nghịch biến với cả hàm sin và cos Từ đó dễ nhận thấy phương án đúng là phương án C.
- 41. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 6 Sưu tầm và biên soạn Câu 21: Cho hai góc nhọn và phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. sin cos . B. cos sin . C. cos sin . D. cot tan . Lời giải Thường nhớ: các góc phụ nhau có các giá trị lượng giác bằng chéo nhau Nghĩa là cos sin ; cot tan và ngược lại. Câu 22: Cho 0 . 2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 0. B. sin 0. C. sin 0. D. sin 0. Lời giải Ta có 0 2 2 điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ III sin 0. Câu 23: Cho 0 . 2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. cot 0. 2 B. cot 0. 2 C. tan 0. D. tan 0. Lời giải Ta có 0 cot 0 2 2 2 2 . 3 0 tan 0 2 2 Câu 24: Cho . 2 Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương? A. sin . B. cos . 2 C. cos . D. tan . Lời giải sin sin ; cos sin ; 2 cos cos ; tan tan . Do sin 0 cos 0 2 tan 0 Câu 25: Cho 3 . 2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3 tan 0. 2 B. 3 tan 0. 2 C. 3 tan 0. 2 D. 3 tan 0. 2 Lời giải
- 42. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 7 Sưu tầm và biên soạn Ta có 3 sin 0 2 3 3 3 0 tan 0. 2 2 2 2 3 cos 0 2 Câu 26: Cho . 2 Xác định dấu của biểu thức cos .tan . 2 M A. 0. M B. 0. M C. 0. M D. 0. M Lời giải Ta có 0 cos 0 2 2 2 2 0 tan 0 2 2 0. M Câu 27: Cho 3 2 . Xác định dấu của biểu thức sin .cot . 2 M A. 0. M B. 0. M C. 0. M D. 0. M Lời giải Ta có 3 3 sin 0 2 2 2 2 2 3 5 2 cot 0 2 2 0 M . DẠNG 2: TINH GIA TRỊ LƯỢNG GIAC CỦA MỘT CUNG Câu 28: Cho 1 cos = ; 6 2 . Tính sin . A. 35 sin 6 . B. 35 sin 36 . C. 5 sin 6 . D. 35 sin 6 . Lời giải Ta có sin 0 2 . Nên 2 2 1 35 sin 1 os 1 6 6 c . Câu 29: Tính sin , biết 5 cos 3 và 3 2 2 . A. 1 3 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 2 3 . Lời giải Ta có: 2 2 5 4 sin 1 cos 1 9 9 2 sin 3 .
- 43. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 8 Sưu tầm và biên soạn Do 3 2 2 nên sin 0 . Vậy 2 sin 3 . Câu 30: Cho 2 cos 0 2 5 x x thì sin x có giá trị bằng A. 3 5 . B. 3 5 . C. 1 5 . D. 1 5 Lời giải Vì 0 sin 0 2 x x Ta có 2 2 sin cos 1 x x 2 2 sin 1 cos x x 2 2 1 5 1 5 Vậy 1 sin 5 x . Câu 31: Cho 1 sin 4 biết 0 0 0 90 . Tính cos ;tan A. 15 15 cos ;tan 4 15 . B. 15 15 cos ;tan 4 15 . C. 15 15 cos ;tan 4 15 . D. 15 15 cos ;tan 4 15 . Lời giải Ta có 2 2 1 sin 15 4 cos 15 4 cos 1 sin 16 ; với 0 0 0 90 nên 15 cos 4 . Và 1 sin 4 nên sin 1 15 tan cos 15 15 . Câu 32: Cho 2 cos 5 o o 90 180 , khi đó tan bằng: A. 21 5 . B. 21 2 . C. 21 5 . D. 21 3 . Lời giải Ta có: 2 2 4 21 sin 1 cos 1 25 25 21 sin 5 . Vậy, sin 21 tan cos 2 . Câu 33: Cho 3 sin 5 và 2 . Giá trị của cos là:
- 44. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 9 Sưu tầm và biên soạn A. 4 5 . B. 4 5 . C. 4 5 . D. 16 25 . Lời giải Ta có: 2 2 sin cos 1 2 2 9 16 cos =1 sin 1 25 25 4 cos 5 4 cos 5 . Vì 2 4 cos 5 . Câu 34: Cho 3 sin 5 và 3 2 . Khi đó giá trị của cos và tan lần lượt là A. 4 3 ; 5 4 . B. 4 3 ; 5 4 . C. 4 3 ; 5 4 . D. 3 4 ; 4 5 . Lời giải Áp dụng hệ thức 2 2 sin cos 1 ta có: 2 2 2 2 9 16 4 cos α 1 sin cos 1 25 25 5 . Do 3 4 cos 0 cos 2 5 3 sin 3 5 tan 4 cos 4 5 . Vậy 4 3 cos ;tan 5 4 . Câu 35: Cho cos 4 5 với 2 . Tính giá trị của biểu thức 10si c s n 5 o M . A. 10 . B. 2 . C. 1. D. 1 4 . Lời giải cos 4 5 2 2 sin 1 cos 2 4 9 1 5 25 3 sin 5 Vì 2 nên 3 sin 5 . 10si c s n 5 o M 3 4 10. 5. 2 5 5 . Câu 36: Cho cos 1 3 và 7 4 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 sin 3 . B. 2 2 sin 3 . C. 2 sin 3 . D. 2 sin 3 . Lời giải
- 45. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 10 Sưu tầm và biên soạn cos 1 3 2 2 sin 1 cos 2 1 8 1 3 9 2 2 sin 3 Vì 7 4 2 nên 2 2 sin 3 . Câu 37: Cho góc thỏa mãn 0 2 và 1 cos 2 . Giá trị của biểu thức 1 sin cos P bằng A. 4 3 2 . B. 4 3 2 . C. 1 3 2 . D. 1 3 2 . Lời giải Cách 1: Ta có: 2 2 2 2 sin cos 1 sin 1 cos Với 1 cos 2 2 2 1 3 sin 1 sin 2 2 3 4 Vì 0 2 nên 3 sin 0 sin . 2 Vậy: 1 3 1 3 4 3 sin 2 . 1 cos 2 2 2 2 P Cách 2: Theo giả thiết: 1 cos 2 . 3 0 2 Vậy 1 1 3 4 3 sin sin 2 . cos 3 2 2 cos 3 P Câu 38: Nếu 3 tan 4 thì 2 sin bằng A. 16 25 . B. 9 25 . C. 25 16 . D. 25 9 . Lời giải Ta có 2 2 2 1 3 25 1 tan 1 cos 4 16 2 16 cos 25 2 2 16 9 sin 1 cos 1 25 25 . Câu 39: Cho tan 3 x . Tính 2sin cos sin cos x x P x x . A. 3 2 P . B. 5 4 P . C. 3 P . D. 2 5 P . Lời giải Ta có sin tan 3 3 sin 3cos . cos x x x x x Khi đó 2.3cos cos 5cos 5 3cos cos 4cos 4 x x x P x x x .
- 46. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 11 Sưu tầm và biên soạn Câu 40: Cho 1 sin 3 a . Giá trị của biểu thức cot tan tan 2cot a a A a a bằng A. 1 9 . B. 7 9 . C. 17 81 . D. 7 17 . Lời giải Ta có 2 2 2 2 cos sin cot tan cos sin sin cos tan 2cot sin cos sin 2cos 2 cos sin a a a a a a a a A a a a a a a a a 2 2 2 2 2 2 1 sin sin 1 2sin 7 17 2 sin sin 2 1 sin a a a a a a Câu 41: Cho tan 4. x Giá trị của biểu thức 2sin 5cos 3cos sin x x A x x là A. 13 . B. 13 . C. 13 11 . D. 5 . Lời giải Ta có: sin cos 2 5 2. 4 5 2sin 5cos 2tan 5 cos cos 13 cos sin 3cos sin 3 tan 3 4 3 cos cos x x x x x x x A x x x x x x x . Câu 42: Cho tan 3 , khi đó giá trị của biểu thức 2sin cos 3sin 5cos P là A. 5 2 P . B. 5 4 P . C. 1 P . D. 3 P . Lời giải Chia cả tử và mẫu của P cho cos 0 ta được: 2sin cos 2tan 1 5 3sin 5cos 3tan 5 4 P . Câu 43: Cho cot 3 . Giá trị của biểu thức 3cos 4sin 2sin cos P bằng A. 13 . B. 13 . C. 3 . D. 3 . Lời giải Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho sin , ta có: 3. 3 4 3cos 4sin 3cot 4 13 2sin cos 2 cot 2 3 P . Câu 44: Cho cot 4tan và ; 2 . Khi đó sin bằng A. 5 5 . B. 1 2 . C. 2 5 5 . D. 5 5 . Lời giải
- 47. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 12 Sưu tầm và biên soạn Ta có cot 4tan 2 2 cot 4 cot 4 1 cot 5 tan 2 2 1 1 5 5 sin sin sin 5 5 . Vì ; 2 nên 5 sin 5 . Câu 45: Nếu tan cot 2 thì 2 2 tan cot bằng bao nhiêu? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Ta có tan cot 2 2 tan cot 4 2 2 tan cot 2 tan .cot 4 2 2 tan cot 2 . Câu 46: Biết 2 sin cos 2 . Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? A. 1 sin cos 4 . B. 6 sin cos 2 . C. 4 4 7 sin cos 8 . D. 2 2 tan cot 12 . Lời giải 2 2 1 1 sin os sin os sin os 2 2 4 c c c Suy ra, đáp án A đúng. 2 2 2 sin os 1 sin os 2sin os 1 c c c . 2 1 3 sin os 1 2 4 2 c . Suy ra, 3 6 sin cos 2 2 . Suy ra, đáp án B đúng. 2 4 4 2 2 2 2 1 7 sin cos sin cos 2sin cos 1 2 4 8 Suy ra, C đúng. 4 4 2 2 2 2 7 sin cos 8 tan cot 14 1 sin cos 4 .Suy ra, 2 2 tan cot 12 sai. Câu 47: Nếu 2 2 cot tan sin 1445 cos 1085 2 o o x x thì sin x bằng. A. 1 5 . B. 2 5 . C. 1 5 . D. 2 5 .
- 48. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 13 Sưu tầm và biên soạn Lời giải 2 2 cot tan sin 1445 cos 1085 2 o o x x . 2 1 1 2 cot cot 1 cot tan 2 sin 2 5 1 cot x x x x . Câu 48: Cho biết 1 sin cos 2 a a . Kết quả nào sau đây đúng? A. 3 sin .cos 8 a a . B. 7 sin cos 4 a a . C. 4 4 21 sin cos 32 a a . D. 2 2 14 tan cot 3 a a . Lời giải Ta có 2 1 sin cos 3 sin cos 2 8 . 2 2 4 4 2 2 2 2 3 23 sin cos sin cos 2sin cos 1 2. 8 32 . Câu 49: Biết 1 tan 2 x , giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2sin 3sin .cos 4cos 5cos sin x x x x M x x bằng: A. 8 13 . B. 2 19 . C. 2 19 . D. 8 19 . Lời giải Cách 1: Chia cả tử và mẫu của M cho 2 cos x ta có: 2 2 2 2 2 sin sin .cos 1 1 2 3 4 2. 3. 4 8 cos cos 4 2 1 sin 19 5 5 4 cos x x x x x M x x . Cách 2: Ta có: 1 sin 1 tan cos 2sin 2 cos 2 x x x x x , thay cos 2sin x x vào M : 2 2 2 2 2 2 2sin 3sin .2sin 4. 2sin 8sin 8 19sin 19 5. 2sin sin x x x x x M x x x . Câu 50: Nếu cot1,25.tan 4 1,25 sin .cos 6 0 2 x x thì tan x bằng A. 1. B. 1 . C. 0 . D. Giá trị khác. Lời giải cot1,25.tan 4 1,25 sin .cos 6 0 2 x x .
- 49. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 14 Sưu tầm và biên soạn cot1,25.tan1,25 cos .cos 0 x x . 2 2 1 cos 0 sin 0 sin 0 tan 0 x x x x . Câu 51: Biết 2 tan b x a c . Giá trị của biểu thức 2 2 cos 2 sin .cos sin A a x b x x c x bằng A. a . B. a . C. b . D. b . Lời giải 2 2 cos 2 sin .cos sin A a x b x x c x 2 2 2 tan tan cos A a b x c x x 2 2 1 tan 2 tan tan A x a b x c x 2 2 2 2 2 1 2 b b b A a b c a c a c a c 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a c b a a c b a c c b A a c a c Câu 52: Nếu biết 4 4 sin s 1 x co x a b a b thì biểu thức 3 3 3 3 sin s x co x a b bằng: A. 2 1 a b . B. 2 2 1 a b . C. 3 1 a b . D. 3 3 1 a b . Lời giải Đặt 2 sin x u, 0 u 1 2 cos x 1 u . Từ 4 4 sin x cos x 1 a b a b ta suy ra 2 2 2 2 1 u bu a 1 u u 1 1 a b a b ab a b . 2 a b u 2au a 1 ab a b 2 2 a b u 2a a b u a a b ab . 2 2 2 a b u 2a a b u a 0 2 a a b u a 0 u a b . Suy ra 2 2 a sin x a b b cos x a b . Do đó 4 4 3 3 3 3 3 3 2 a b a b a b sin x cos x 1 A a b a b a b
- 50. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 15 Sưu tầm và biên soạn Câu 53: Nếu biết 4 4 98 3sin 2cos 81 x x thì giá trị biểu thức 4 4 2sin 3cos A x x bằng A. 101 81 hay 601 504 . B. 103 81 hay 603 405 . C. 105 81 hay 605 504 . D. 107 81 hay 607 405 . Lời giải Ta có 4 4 98 sin cos 81 x x A 98 cos 2 81 x A 4 4 98 5 sin cos 81 x x A 2 1 1 98 1 sin 2 2 5 81 x A 2 1 1 1 98 cos 2 2 2 5 81 x A 2 98 2 98 2 98 392 81 5 81 5 81 405 A A A Đặt 98 81 A t 2 2 13 0 5 405 t t 13 45 1 9 t t +] 13 607 45 405 t A +] 1 107 . 9 81 t A Câu 54: Nếu 4 4 sin cos 1 a b a b thì biểu thức 10 10 4 4 sin cos M a b bằng. A. 5 5 1 1 a b . B. 5 1 a b . C. 4 4 1 1 a b . D. 4 1 a b . Lời giải 4 4 4 4 2 2 sin cos 1 sin cos sin cos a b a b a b a b a b . 2 2 2 2 sin 1 cos 1 sin cos 0 a a b b a b . 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin sin cos 0 b a a b a a b b a b . 2 4 2 2 2 4 sin 2 sin cos cos 0 b ab a . 2 2 2 2 2 sin cos 1 sin cos 0 b a a b a b . Do đó 2 4 4 4 2 1 1 1 cos sin M a b a b a b . Câu 55: Nếu biết 4 4 sin cos 1 a b a b thì biểu thức 8 8 3 3 sin cos A a b bằng:
- 51. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 16 Sưu tầm và biên soạn A. 2 1 [ ] a b . B. 2 2 1 a b . C. 3 1 [ ] a b . D. 3 3 1 a b . Lời giải Đặt 2 sin , 0 1 u u 2 cos 1 . u Từ 4 4 sin cos 1 a b a b ta suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 u bu a u u a b a b ab a b 2 2 1 a b u au a ab a b 2 2 2 a b u a a b u a a b ab 2 2 2 2 0 a b u a a b u a 2 0 a a b u a u a b Suy ra 2 2 sin cos a a b b a b Do đó 4 4 8 8 3 3 3 3 3 sin cos 1 a b a b a b A a b a b a b Câu 56: Nếu 3cos 2sin 2 x x và sin 0 x thì giá trị đúng của sin x là: A. 5 13 . B. 7 13 . C. 9 13 . D. 12 13 . Lời giải ta có: 2 3cos 2sin 2 3cos 2sin 4 x x x x . 2 2 2 9cos 12cos .sin 4sin 4 cos 0 5cos 12cos .sin 0 cos 5cos 12sin 0 5cos 12sin 0 x x x x x x x x x x x x x . Với cos 0 x sin 1 x loại vì sin 0 x . Với 5cos 12sin 0 x x , ta có hệ phương trình: 5 sin 5cos 12sin 0 13 3cos 2sin 2 12 cos 13 x x x x x x . Câu 57: Nếu sin co 1 2 s x x thì 3sin 2cos x x bằng: A. 5 7 4 hay 5 7 4 . B. 5 5 7 hay 5 5 4 . C. 2 3 5 hay 2 3 5 . D. 3 2 5 hay 3 2 5 .
- 52. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 17 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Ta biến đổi: 3sin 2cos 2 sin cos sin 1 sin x x x x x x . Từ sin co 1 2 s x x 3 sin .cos 8 x x Khi đó sin , cos x x là nghiệm của phương trình 2 1 3 0 2 8 X X 2 2 1 7 1 3 4 0 8 4 3 0 2 8 1 7 4 X X X X X X Với 1 7 sin 4 x suy ra 1 7 5 7 3sin 2cos 1 4 4 x x Với 1 7 sin 4 x suy ra 1 7 5 7 3sin 2cos 1 4 4 x x DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 58: Tính 0 0 0 tan 20 tan 45 tan 70 L A. 0 . B. 1. C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn B 0 0 0 0 0 0 tan 20 tan 45 tan 70 tan 20 tan 70 tan 45 L 0 0 0 tan 20 cot 20 tan 45 1 Câu 59: Tính 2 2 2 2 2 5 cos cos ... cos cos 6 6 6 G A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải 2 2 2 2 2 5 cos cos ... cos cos 6 6 6 G 2 2 2 2 2 2 2 5 cos cos cos cos cos cos 6 3 2 3 6 G 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos cos sin cos 6 6 2 3 3 Câu 60: Tính 0 0 0 sin 390 2sin1140 3cos1845 A A. 1 1 3 2 2 3 2 . B. 1 1 3 2 2 3 2 . C. 1 1 2 3 3 2 2 . D. 1 1 2 3 3 2 2 . Lời giải
- 53. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 18 Sưu tầm và biên soạn 0 0 0 sin 390 2sin1140 3cos1845 A 0 0 0 0 0 0 sin 2.180 30 2sin 6.180 60 3cos 10.180 45 0 0 0 1 3 2 1 sin30 2sin 60 3cos45 2. 3. . 1 2 3 3 2 . 2 2 2 2 Câu 61: Giá trị đúng của biểu thức tan 225 cot81.cot 69 cot 261 tan 201 bằng: A. 1 3 . B. 1 3 . C. 3 . D. 3 . Lời giải tan 180 45 tan9 .cot 69 tan 225 cot81 .cot 69 cot 261 tan 201 cot 180 81 tan 180 21 1 tan9 .tan 21 1 1 3 tan9 tan 21 tan 9 21 tan30 1 0 1 1 3 Câu 62: Với mọi góc , biểu thức 2 9 cos cos cos ... cos 5 5 5 nhận giá trị bằng A. 10 . B. 10 . C. 1. D. 0 . Lời giải Ta có 5 cos cos 5 ; 6 cos cos 5 5 ; 2 7 cos cos 5 5 ; 3 8 cos cos 5 5 ; 4 9 cos cos 5 5 . Do đó 2 9 cos cos cos ... cos 0 5 5 5 . Câu 63: Tính 2 2 2 2 2 5 sin sin ... sin sin 6 6 6 F . A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Ta có 2 2 2 2 2 5 sin sin ... sin sin 6 6 6 F 2 2 2 2 2 2 2 5 sin sin sin sin sin sin 6 3 2 3 6 2 2 2 sin cos 1 0 6 3 3 .
- 54. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 19 Sưu tầm và biên soạn Câu 64: Đơn giản biểu thức 5 sin cos 13 3sin 5 2 D . A. 3sin 2cos . B. 3sin . C. 3sin . D. 2cos 3sin . Lời giải Ta có 5 sin cos 13 3sin 5 2 D sin cos 3sin 2 cos cos 3sin 3sin . Câu 65: Giả sử tan tan tan 3 3 A x x x được rút gọn thành tan A nx khi đó n bằng A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải Ta có tan tan tan 3 3 A x x x 3 tan 3 tan tan . . 1 3 tan 1 3 tan x x x x x 2 2 3 tan tan . 1 3tan x x x 3 2 3tan tan 1 3tan x x x tan3x . Câu 66: Nếu sin 3cos x x thì sin cos x x bằng A. 3 10 . B. 2 9 . C. 1 4 . D. 1 6 . Lời giải Ta có 2 2 2 1 cos 10 1 cos 3 sin 10 sin cos 1 10cos 1 10 1 cos sin 3cos sin 3cos 1 cos 10 10 sin 3cos 3 sin 10 x x x x x x x x x x x x x x x Suy ra 3 sin cos 10 x x . Câu 67: Với mọi thì 3 sin 2 bằng A. sin . B. cos . C. cos . D. sin . Lời giải Cách 1: Ta có 3 sin sin 2 sin sin cos 2 2 2 2 .
- 55. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 20 Sưu tầm và biên soạn Cách 2: Ta có 3 3 3 sin sin cos sin cos 1 cos sin . 0 cos 2 2 2 . Câu 68: Giá trị 89 cot 6 bằng A. 3 . B. 3 . C. 3 3 . D. 3 3 . Lời giải Ta có: 89 cot 6 5 cot 14 6 5 cot 6 3 . Câu 69: Đơn giản biểu thức cos 2 A , ta được: A. cos . B. sin . C. – cos . D. sin . Lời giải Ta có: cos 2 A cos 2 sin . Câu 70: Nếu 2 1 sin 3 thì 2 1 tan bằng A. 9 8 . B. 4 . C. 3 2 . D. 8 9 . Lời giải Ta có: 2 2 2 cos 1 sin 3 mà 2 2 1 1 tan cos 2 3 1 tan 2 . Câu 71: Tính cot1 .cot 2 .cot 3 ...cot89 P . A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Ta có: cot89 tan1 cot1 cot89 cot1 tan1 1. cot88 tan 2 cot 2 cot82 cot 2 tan 2 1. ..... cot 46 tan 44 cot 44 cot 46 cot 44 tan 44 1. Vậy cot1 cot 2 cot3 ...cot89 P cot 45 1 . Câu 72: Giá trị của biểu thức tan110 tan340 sin160 cos110 sin 250 cos340 bằng A. 0 . B. 1. C. 1 . D. 2 . Lời giải tan110 tan340 sin160 cos110 sin 250 cos340 A tan 90 20 tan 360 20 sin 180 20 cos 90 20 sin 360 110 cos 360 20 A
- 56. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 21 Sưu tầm và biên soạn cot 20 tan 20 sin 20 sin 20 sin110 cos20 A 2 1 sin 20 sin 90 20 cos20 A 2 2 1 sin 20 cos 20 A 2 2 1 sin cos 0 A x x . Câu 73: Rút gọn biểu thức 0 0 0 0 0 sin 234 cos216 A .tan 36 sin144 cos126 , ta được A. A 2 . B. A 2 . C. A 1 . D. A 1 . Lời giải Cách 1: Sử dụng mối quan hệ của các cung có liên quan đặc biệt 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 180 54 cos 180 36 16 A .tan 36 sin 180 36 cos 900 36 . 0 0 0 0 0 0 0 sin 54 cos36 A .tan 36 2cot 36 .tan 36 2 sin 36 sin 36 . Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay, nhập biểu thức đã cho vào máy và bấm =, được kết quả bằng1 . Câu 74: Giá trị của biểu thức A = 0 0 0 0 0 2sin 2550 .cos 188 1 tan368 2cos638 cos98 bằng: A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 0 . Lời giải 0 0 0 0 0 2sin 2550 .cos 188 1 tan368 2cos638 cos98 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2sin 30 7.360 .cos 8 180 1 tan 8 360 2cos 82 2.360 cos 90 8 A 0 0 0 0 0 1 2sin30 .cos8 tan8 2cos82 sin8 A 0 0 0 0 0 0 1 2sin30 .cos8 tan8 2cos 90 8 sin8 A 0 0 0 0 0 1 2sin30 .cos8 tan8 2sin8 sin8 A 0 0 0 0 0 1.cos8 cot8 cot8 cot8 0 sin8 A . Câu 75: Với mọi , biểu thức: 9 cos +cos ... cos 5 5 A nhận giá trị bằng: A. –10 . B. 10 . C. 0 . D. 5 . Lời giải 9 cos +cos ... cos 5 5 A 9 4 5 cos cos ... cos cos 5 5 5 A
- 57. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 22 Sưu tầm và biên soạn 9 9 9 7 9 2cos cos 2cos cos ... 2cos cos 10 10 10 10 10 10 A 9 9 7 5 3 2cos cos cos cos cos cos 10 10 10 10 10 10 A 9 2 2cos 2cos cos 2cos cos cos 10 2 5 2 5 2 A 9 2cos .0 0. 10 A Câu 76: Biểu thức 0 0 0 0 0 0 sin 328 .sin958 cos 508 .cos 1022 cot572 tan 212 A rút gọn bằng: A. 1 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải 0 0 0 0 0 0 sin 328 .sin958 cos 508 .cos 1022 cot572 tan 212 A 0 0 0 0 0 0 sin32 .sin58 cos32 .cos58 cot32 tan32 A 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 sin32 .cos32 cos32 .sin32 sin 32 cos 32 1 cot32 tan32 A . DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 77: Biểu thức 2 2 2 2 2 cos cot 3cos cot 2sin D x x x x x không phụ thuộc x và bằng: A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 3 . Lời giải Ta biến đổi: 2 2 2 2 2 cos cot 3cos cot 2sin D x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 cot cos 1 2 sin cos cos cos 2 cos 2 x x x x x x x . Câu 78: Đơn giản biểu thức 5 sin cos 13 3sin 5 2 D a a a A. 2cos 3sin a a . B. 3sin 2cos a a . C. 3sin a . D. 4cos sin a a . Lời giải sin 2 cos 12 3sin 6 2 D a a a sin cos 3sin 2 D a a a cos sin 3cos D a a a 4cos sin D a a Câu 79: Đơn giản biểu thức 3 3 7 7 cos sin cos sin 2 2 2 2 C a a a a A. 2sin a . B. 2sin a . C. 2cos a . D. 2cos a . Lời giải
- 58. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 23 Sưu tầm và biên soạn cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 2 2 2 2 C a a a a cos sin cos sin 2 2 2 2 C a a a a sin cos sin cos C a a a a 2sin C a Câu 80: Biểu thức 2 2 2 2 2 2 sin cot cot sin sin cos x y B x y x y không phụ thuộc vào , x y và bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1 . Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin x y y x y x y B x y x y . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 cos sin sin sin sin 1 sin sin sin sin sin sin y x x y y x y B x y x y x y . Câu 81: Rút gọn biểu thức 2 2cos 1 sin cos x A x x , ta được kết quả A. sin cos A x x . B. cos sin A x x . C. cos2 sin 2 A x x . D. cos2 sin 2 A x x . Lời giải 2 2 2 2 2 2cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos x x x x x A x x x x x x . Câu 82: Biểu thức rút gọn của A = 2 2 2 2 tan sin cot cos a a a a bằng: A. 6 tan a . B. 6 cos a . C. 4 tan a . D. 6 sin a . Lời giải 2 2 2 2 tan sin cot cos a a A a a 2 2 2 2 6 2 2 2 1 sin 1 tan .tan cos tan 1 cot cos 1 sin a a a a A a a a . Câu 83: Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau: A. tan tan tan .tan cot cot x y x y x y . B. 2 2 1 sin 1 sin 4tan 1 sin 1 sin a a a a a . C. 2 2 sin cos 1 cot cos sin cos sin 1 cot . D. sin cos 2cos 1 cos sin cos 1 . Lời giải
- 59. – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Page 24 Sưu tầm và biên soạn A đúng vì tan tan tan .tan 1 1 tan tany x y VT x y VP x B đúng vì 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 2 2sin 2 2 2 4tan 1 sin 1 sin 1 sin cos a a a a a VT a VP a a a a C đúng vì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 cot cos sin sin cos 1 cot VT VP . Câu 84: Biết tan 3 x và 2 2 2 2 2sin 3sin .cos 4cos 5tan 6cot x x x x M x x Giá trị của M bằng. A. 31 47 M B. 93 137 M C. 93 1370 M D. 31 51 M Lời giải Ta có: sin tan sin tan .cos cos x x x x x x ; 2 2 1 cos tan 1 x x và 1 cot tan x x . Suy ra: 2 2 2 2 2tan 3tan 4 cos 93 6 1370 5tan tan x x x M x x . Câu 85: Giả sử 4 4 1 3sin cos 2 x x thì 4 4 sin 3cos x x có giá trị bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 Lời giải Ta có 2 2 sin cos 1 x x 2 2 cos 1 sin x x Vậy 4 4 1 3sin cos 2 x x 2 4 2 1 3sin 1 sin 2 x x 1 sin 2 x Vậy 4 4 sin 3cos x x 2 4 2 sin 3 1 sin x x 2 1 1 3 1 4 2 1 3 4 4 1 . Câu 86: Rút gọn biểu thức 2 2 85 5 sin cos 2017 sin 33 sin 2 2 A x x x x ta được: A. sin A x . B. 1 A . C. 2 A . D. 0 A . Lời giải 2 2 85 5 sin cos 2017 sin 33 sin 2 2 A x x x x . 2 2 sin 42 cos 2016 sin 32 sin 2 2 2 x x x x .