Bài tập lũy thừa số hữu tỉ lớp 7

Dạng toán lũy thừa là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, tuy nhiên đây cũng là dạng toán khá khó đối với học sinh. Trong bài viết này hệ thống giáo dục Vinastudy.vn sẽ hướng dẫn giải các bài toán liên quan đến lũy thừa của một số hữu tỉ. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo.

Kiến thức cần nhớ

1.Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x là tích của n thừa số x [n là số tự nhiên lớn hơn 1].

TQ: ${{x}^{n}}=x.x.x...x$

Quy ước: ${{x}^{0}}=1[x\ne 0]$

2.Các công thức tính lũy thừa

• Tích hai lũy thừa cùng cơ số:${{x}{m}}.{{x}{n}}={{x}^{m+n}}$
• Thương hai lũy thừa cùng cơ số:${{x}{m}}:{{x}{n}}={{x}^{m-n}}[m>n,x\ne 0]$
• Lũy thừa của lũy thừa:${{\left[ {{x}{m}} \right]}{n}}={{x}^{m.n}}$
• Lũy thừa của một tích: ${{\left[ x.y \right]}{n}}={{x}{n}}.{{y}^{n}}$
• Lũy thừa của một thương: ${{\left[ \frac{x}{y} \right]}{n}}=\frac{{{x}{n}}}{{{y}^{n}}};y\ne 0$
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: ${{x}{-n}}=\frac{1}{{{x}{n}}}$

Chú ý:

• lũy thừa với số mũ chẵn cùng bậc của hai số đối nhau thì bằng nhau

${{x}{2n}}={{\left[ -x \right]}{2n}}$

• lũy thừa với số mũ lẻ cùng bậc của hai số đối nhau thì đối nhau:

${{x}{2n+1}}=-{{\left[ -x \right]}{2n+1}}$

Bài tập

Bài toán 1: Tính

1. a] ${{[0,25]}{3}}{{.4}{3}}$
2. b] $\frac{{{16}{20}}}{{{8}{5}}}$
3. c] ${{\left[ \frac{3}{7} \right]}{21}}:{{\left[ \frac{9}{49} \right]}{6}}$
4. d] ${{\left[ -\frac{4}{5} \right]}{3}}:{{\left[ -1\frac{1}{3} \right]}{2}}$

Bài giải:

1. a] ${{[0,25]}{3}}{{.4}{3}}={{[0,25.4]}{3}}={{1}{3}}=1$

Nhận xét: Để ý rằng 0,25.4 = 1 ta áp dụng công thức ${{\left[ x.y \right]}{n}}={{x}{n}}.{{y}^{n}}$theo chiều từ phải sang trái để có quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

cũng có thể giải theo cách khác:

Ta có: ${{[0,25]}{3}}{{.4}{3}}={{[\frac{1}{4}]}{3}}{{.4}{3}}=\frac{1}{{{4}{3}}}{{.4}{3}}=1$

1. b] $\frac{{{16}{20}}}{{{8}{5}}}=\frac{{{[{{2}{4}}]}{20}}}{{{[{{2}{3}}]}{5}}}=\frac{{{2}{80}}}{{{2}{15}}}={{2}{80-15}}={{2}{65}}$
2. c] ${{\left[ \frac{3}{7} \right]}{21}}:{{\left[ \frac{9}{49} \right]}{6}}={{\left[ \frac{3}{7} \right]}{21}}:{{\left[ {{\left[ \frac{3}{7} \right]}{2}} \right]}{6}}={{\left[ \frac{3}{7} \right]}{21}}:{{\left[ \frac{3}{7} \right]}{12}}={{\left[ \frac{3}{7} \right]}{21-12}}={{\left[ \frac{3}{7} \right]}^{9}}$
3. d] ${{\left[ -\frac{4}{5} \right]}{3}}:{{\left[ -1\frac{1}{3} \right]}{2}}={{\left[ -\frac{4}{5} \right]}{3}}:{{\left[ -\frac{2}{3} \right]}{2}}=\left[ -\frac{{{2}{6}}}{{{5}{3}}} \right].\frac{{{3}{2}}}{{{2}{2}}}=-\frac{{{2}{4}}{{.3}{2}}}{{{5}^{3}}}=-\frac{144}{125}$

Bài toán 2: Tìm số tự nhiên n, biết rằng:

1. a] ${{[{{x}{n}}]}{2}}={{x}^{8}}[x\ne 0,x\ne 1]$
2. b] $\frac{{{n}^{6}}}{25}=625$

Bài giải:

1. a] Ta có: ${{[{{x}{n}}]}{2}}={{x}^{8}}$

theo đề bài $x\ne 0,x\ne 1$. Xét hai trường hợp

Th1: Nếu x = -1 thì ${{[-1]}{2n}}={{[-1]}{8}}\Leftrightarrow {{1}^{n}}=1$

vậy n là số tự nhiên tùy ý

Th2: Nếu x$\ne $ -1 thì 2n = 8 suy ra n = 4

1. b] $\frac{{{n}{6}}}{25}=625\Leftrightarrow \frac{{{n}{6}}}{{{5}{2}}}={{5}{4}}\Rightarrow {{n}{6}}={{5}{2}}{{.5}{4}}\Leftrightarrow {{n}{6}}={{5}{6}}={{[-5]}{6}}$

vậy n = 5, n = -5.

Bài toán 3: Tìm số tự nhiên n, biết rằng:

$\frac{{{4}{5}}+{{4}{5}}+{{4}{5}}+{{4}{5}}}{{{3}{5}}+{{3}{5}}+{{3}{5}}}.\frac{{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}}{{{2}{5}}+{{2}{5}}}={{2}{n}}$

Bài giải:

Ta có: $VT=\frac{{{4}{5}}+{{4}{5}}+{{4}{5}}+{{4}{5}}}{{{3}{5}}+{{3}{5}}+{{3}{5}}}.\frac{{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}+{{6}{5}}}{{{2}{5}}+{{2}^{5}}}$

$=\frac{{{4.4}{5}}}{{{3.3}{5}}}.\frac{{{6.6}{5}}}{{{2.2}{5}}}=\frac{{{4}{6}}{{.6}{6}}}{{{3}{6}}{{.2}{6}}}=\frac{{{[4.6]}{6}}}{{{[3.2]}{6}}}={{\left[ \frac{24}{6} \right]}{6}}={{4}{6}}={{2}^{12}}$

Suy ra: n = 12

Bài toán 4: Tìm số tự nhiên n, biết rằng:

${{2.2}{2}}+{{3.2}{3}}+{{4.2}{4}}+{{5.2}{5}}+...+n{{.2}{n}}={{2}{n+10}}$

Bài giải:

Từ đề bài ta suy ra: ${{1.2}{1}}+{{2.2}{2}}+{{3.2}{3}}+{{4.2}{4}}+{{5.2}{5}}+...+n{{.2}{n}}={{2}^{n+10}}+2$[1]

Đặt A = ${{2}{1}}+{{2}{2}}+{{2}{3}}+{{2}{4}}+{{2}{5}}+...+{{2}{n}}$

Suy ra 2A = ${{2}{2}}+{{2}{3}}+{{2}{4}}+{{2}{5}}+...+{{2}^{n+1}}$

Do đó A = 2A – A = ${{2}^{n+1}}-2$

Vế trái của [1] có thể được tính như sau:

${{2}{1}}+{{2}{2}}+{{2}{3}}+{{2}{4}}+{{2}{5}}+...+{{2}{n}}={{2}^{n+1}}-2$

${{2}{2}}+{{2}{3}}+{{2}{4}}+{{2}{5}}+...+{{2}{n}}={{2}{n+1}}-{{2}^{2}}$

${{2}{3}}+{{2}{4}}+{{2}{5}}+...+{{2}{n}}={{2}{n+1}}-{{2}{3}}$

………….

${{2}{n}}={{2}{n+1}}-{{2}^{n}}$

Cộng n đẳng thức trên ta được:

${{1.2}{1}}+{{2.2}{2}}+{{3.2}{3}}+{{4.2}{4}}+{{5.2}{5}}+...+n{{.2}{n}}=n{{.2}{n+1}}-[2+{{2}{2}}+{{2}{3}}+...+{{2}{n}}]$

$=n{{.2}{n+1}}-{{2}{n+1}}+2$$={{2}^{n+1}}[n-1]+2$

Suy ra: ${{2.2}{2}}+{{3.2}{3}}+{{4.2}{4}}+{{5.2}{5}}+...+n{{.2}{n}}={{2}{n+1}}[n-1]$

Kết hợp đề bài suy ra: ${{2}{n+1}}[n-1]={{2}{n+10}}\Rightarrow n-1=\frac{{{2}{n+10}}}{{{2}{n+1}}}={{2}{9}}\Leftrightarrow n={{2}{9}}+1=513$