Với cách giải Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác. Mời các bạn đón xem:
Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 11
1. Lý thuyết
- Hàm số y = sinx
- Tập xác định: D = R
- Tập giá trị: [-1;1]
- Hàm số y = cosx
- Tập xác định: D = R
- Tập giá trị: [-1;1]
- Hàm số y = tanx
- Tập xác định: D=R\π2+kπ, k∈ℤ
- Tập giá trị: R
- Hàm số y = cotx
- Tập xác định: D=R\kπ, k∈ℤ
- Tập giá trị: R
2. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
- Phương pháp giải:
y=fxgx xác định khi gx≠0
y=fx xác định khi fx≥0
y=fxgx xác định khi g[x] > 0
y = tan[u[x]] xác định khi ux≠π2+kπ, k∈ℤ
y = cot[u[x]] xác định khi ux≠kπ, k∈ℤ
sinx≠0 khi x≠kπ k∈ℤ
cosx≠0 khi x≠π2+kπ k∈ℤ
- Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau
- y=tan3x+π3
- y=2−sinx
Lời giải
- y=tan3x+π3=sin3x+π3cos3x+π3
Điều kiện xác định: cos3x+π3≠0
⇔3x+π3≠π2+kπ,k∈ℤ⇔3x≠π6+kπ,k∈ℤ⇔x≠π18+kπ3,k∈ℤ
Vậy tập xác định của hàm số là D=ℝ\π18+kπ3,k∈ℤ
- Điều kiện xác định: 2−sinx≥0
⇔sinx≤2 [đúng ∀x∈ℝ] vì −1≤sinx≤1 ∀x∈ℝ
Vậy tập xác định của hàm số là D = R.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau
- y=2sinx−cosx
- y=tan3x2sinx+1+cotx−1
Lời giải
- Điều kiện xác định: sinx−cosx≠0⇔sinx≠cosx [*]
+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin2x + cos2x = 1
⇔sin2x=1⇔sinx=±1
Hiển nhiên sinx≠cosx.
+ Trường hợp 2: cosx≠0. Chia cả hai vế cho cosx
[*] ⇔sinxcosx≠1⇔tanx≠1⇔x≠π4+kπ; k∈ℤ.
Vậy tập xác định của hàm số là D=ℝ\ π4+kπ; k∈ℤ
- Vì tan3x=sin3xcos3x và cotx−1=cosx−1sinx−1
Điều kiện xác định: cos3x≠0sinx≠−12sinx−1≠0
⇔3x≠π2+kπx≠−π6+k2πx≠7π6+k2πx−1≠kπ ⇔x≠π6+kπ3x≠−π6+k2πx≠7π6+k2πx≠1+kπ
⇔x≠π6+kπ3x≠1+kπ [k∈ℤ]
Vậy tập xác định của hàm số là D=ℝ\π6+kπ3; 1+kπ; k∈ℤ.
Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác
- Phương pháp giải:
Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác
−1≤sinu[x]≤1; 0≤sin2u[x]≤1; 0≤sinu[x]≤1
−1≤cosu[x]≤1;0≤cos2u[x]≤1; 0≤cosu[x]≤1
- Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
- y = 2sin3x – 5
- y=2sin2x2−π12+5
- y = |cos[3x-2]| + 4
Lời giải
- Ta có: −1≤sin3x≤1∀x∈ℝ
⇔−2≤2sin3x≤2∀x∈ℝ⇔−7≤2sin3x−5≤−3∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].
- Ta có: 0≤sin2x2−π12≤1∀x∈ℝ
⇔0≤2sin2x2−π12≤2∀x∈ℝ⇔5≤2sin2x2−π12+5≤7∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [5;7].
- Ta có: 0≤cos3x−2≤1∀x∈ℝ
⇔4≤cos3x−2+4≤5∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [4;5].
Ví dụ 2. Tìm tập giác trị của các hàm số sau:
- y=sinx+1−2
- y = cos2x + 4sinx +1
Lời giải
- Điều kiện xác định: sinx+1≥0⇔sinx≥−1∀x∈ℝ.
Tập xác định D = R.
Ta có: −1≤sinx≤1∀x∈ℝ
⇔0≤sinx+1≤2∀x∈ℝ⇔0≤sinx+1≤2∀x∈ℝ⇔−2≤sinx+1−2≤2−2∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T=−2;2−2.
- y = cos2x + 4sinx +1 = 1 - 2sin2x + 4sinx +1 = -2sin2x + 4sinx + 2 = -2[sinx – 1]2 + 4.
Ta có: −1≤sinx≤1∀x∈ℝ
⇔−2≤sinx−1≤0∀x∈ℝ⇔0≤sinx−12≤4∀x∈ℝ⇔−8≤−2sinx−12≤0∀x∈ℝ⇔−4≤−2sinx−12+4≤4∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [-4;4].
Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R
- Phương pháp giải:
m≥fx∀x∈a;b⇒m≥maxx∈a;bfxm>fx∀x∈a;b⇒m>maxx∈a;bfxm≤fx∀x∈a;b⇒m≤minx∈a;bfxm