Bài tập toán hình lớp 9 chương 1 nâng cao

Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC.

a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất, biết rằng BC = a không đổi ?

Giải

Bài tập toán hình lớp 9 chương 1 nâng cao

a) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, ta có

                                    AM.AB =                        (1)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC, ta có

                                    AN.AC =                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC.

 

Bài tập toán hình lớp 9 chương 1 nâng cao

BÀI TẬP

Bài tập toán hình lớp 9 chương 1 nâng cao

25. Hình thang ABCD có AB // CD, AC vuông góc với BD, AC =10 cm, đường cao bằng 6 cm. Tính diện tích hình thang.

Bài tập toán hình lớp 9 chương 1 nâng cao

Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác.

a) Tứ giác đó là hình gì ?

b) Tính diện tích tứ giác đó (theo a, b, a).

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.

Dưới đây là toán hình 9 nâng cao mới nhất tổng  hợp những bài toán nâng cao lớp 9 học kì 1 giúp các bận hệ thống lại kiến thức cũng như dạng toán nâng cao và các chuyên de hình học 9 . Hãy cùng theo dõi bên dưới với onthihsg nhé.

Để học tốt môn Toán lớp 9, bên cạnh các bài Giải bài tp Toán 9, loạt bài Chuyên đề Toán 9 gồm hai phần: Chuyên đề Đại Số 9 và Chuyên đề Hình Học 9 được biên soạn bám sát theo nội dung chương trình học Toán lớp 9 gồm: Lý thuyết, Bài tập tự luận, Bài tập trắc nghiệm tương ứng với mỗi chuyên đề.

A. Phương pháp giải

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Khi đó ta có:

1, c2 = ac’, b2 = ab’

2, a2 = b2 + c2

3, ah = bc

4, h2 = b’.c’

5, 1/h2 = 1/b2 + 1/c2

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Tính x, y trong các trường hợp sau

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC – BD = √74 – 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 – 16.BC – 225 = 0

⇔ BC2 – 25BC + 9BC – 225 = 0

⇔ BC(BC – 25) + 9(BC – 25) = 0

⇔ (BC – 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC2 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

A. Phương pháp giải

1, Định nghĩa đường tròn

Đường tròn là quỹ tích những điểm cách đều một điểm cố định trong mặt phẳng.

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Chú ý:

– Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

– Nếu hai đường tròn có 3 điểm chung thì chúng phải trùng nhau

– Để xác định một đường tròn ta xác định tâm và bán kính của nó hoặc 3 điểm phân biệt thuộc đường tròn.

– Để chứng minh nhiều điểm nằm trên một đường tròn ta chứng minh điểm ấy cách đều 1 điểm xác định.

2. Định lý

a, Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b, Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Tính chất đối xứng

-Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

– Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

4. Các định lý liên quan đến dây cung và đường kính

1, Trong các dây cung của một đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.

2, Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm dây ấy. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung( không phải là đường kính) thì vuông góc với dây cung ấy.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AD=12cm, CD=16cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có OA = OB = OC = OD nên bốn điểm A, B,C,D thuộc cùng một đường tròn( tâm O, bán kính OA).

AC2 = AD2 + DC2 = 122 + 162 = 400

=> AC = 20

Bán kính của đường tròn bằng 10cm.

Bài 2: Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?

a, Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung.

b, Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt

c, Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

Hướng dẫn giải

a. Đúng

b. Sai

c. Đúng

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn(O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a, Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O).

b, Tính số đo góc ACD

c, Cho BC=24cm,AC=20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O)

Hướng dẫn giải

a, Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Do đó AD là đường trung trực của BC. Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên O nằm trên AD. Vậy AD là đường kính của đường tròn (O).

b, Tam giác ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên ∠ACD = 90o

c, Ta có BH = HC = BC/2 = 12(cm)

Tam giác AHC vuông tại H nên AH2 = AC2 – HC2 = 202 – 122 = 256

=> AH = 16(cm)

AC2 = AD. AH

AD = AC2/AH = 25(cm)

Bán kính đường tròn(O) bằng 12,5cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a, Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường thẳng.

b, HK < BC

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC.

Áp dụng định lý” Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.”

Xét tam giác vuông CBH có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => HI = 1/2 BC (1)

Xét tam giác vuông CBK có KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => KI = 1/2 BC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra HI=KI=IB=IC. Vậy bốn điểm B, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IB.

b, Trong đường tròn tâm (I) ở trên, HK là dây, BC là đường kính nên KH < BC.(Dây cung bao giờ cũng nhỏ hơn đường kính).

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa

– Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

– Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

– Số đo của cung lớn bằng trừ đi số đo của cung nhỏ.

– Số đo của nửa đường tròn bằng.

2. Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

3. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì:

Sđ AB = Sđ AC + Sđ CB

4. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

5. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

– Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA và OB nếu:

a) ∠AMB = 70o

b) MA = R

c) MO = 2R

Hướng dẫn giải

Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ OB

Suy ra: ∠MAO = ∠MBO = 90o

a)

Xét tứ giác MAOB có:

∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360o

⇔ ∠AOB = 360o – (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO)

= 360o – (70o+ 90o + 90o)

= 110o

Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110o .

b)

Nếu MA = R

Xét ΔMAO có: MA = AO = R và ∠MAO = 90o

=> Δ MAO vuông cân tại A

=> ang;MOA = 45o

Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90o

c)

Nếu MO = 2R

Xét ΔMAO vuông tại A có: MO = 2.AO

=> ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o

Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua O. Trên dây AB lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Tia OM, ON cắt (O) lần lượt tại C và D.

Hướng dẫn giải

Thât vậy, xét ΔAOM và ΔBON có:

OA = OB = R

∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân tại O)

AM = BN (gt)

Suy ra ΔAOM = ΔBON(c-g-c)

Suy ra ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng)

Gọi I là trung điểm của OB. Suy ra NI là đường trung bình của ΔOBM nên NI // OM => ∠MON = ∠ONI(so le trong) (1)

Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI.

Xét ΔONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠NOI < ∠MON

Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dây AM của đường tròn (O) và dây BN của đường tròn (O’) sao cho AM // BN.

Hướng dẫn giải

Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1)

Mặt khác: OA = OB = O’A = O’B nên tứ giác OAO’B là hình thoi, do đó ∠OAB = ∠ABO’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO’

Ta có: ΔMOA cân tại O và ΔNO’B cân tại O’ có góc ở đáy bằng nhau nên ∠MOA = ∠NO’B

Do đó: ΔMOA = ΔNO’B(c.g.c) => AM = BN

Mặt khác hai đường tròn (O) và (O”) bằng nhau nên

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (R < R’). Kẻ đường kính BOC và BO’D.

a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng.

b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AD.

Hướng dẫn giải

a) Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ΔABC vuông tại A hay ∠BAC = 90o .

Tương tự ta có: ∠BAD = 90o

Suy ra: ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o nên 3 điểm C, A, D thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có:

Xét đường tròn (O’) có:

Từ đó suy ra

Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ. Gọi D và E là các điểm đối xứng với M qua AB và OC. Chứng minh rằng: ΔDOE đều.

Hướng dẫn giải

Vì SđBC = 30o => ∠BOC = 30o

Gọi I là giao điểm của MD và AB, J là giao điểm của ME và OC.

Theo giả thiết: M và D đối xứng với nhau qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D cũng thuộc đường tròn (O). Tương tự E thuộc đường tròn (O).

Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o

=> ∠IMJ + ∠IOJ = 180o

=> ∠IMJ = 180o – ∠IOJ = ∠BOC = 30o

Ta có ΔMOD và ΔMOE cân tại O nên:

∠MOD = 180o – 2∠DMO

∠MOE = 180o – 2∠EMO

=> ∠MOD + ∠MOE = 360o – 2(∠DMO + ∠EMO)

⇔ 360o – ∠DOE = 360o – ∠IMJ

⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o

Vậy ΔDOE đều.

Bài 6: Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M với (O) cắt Ax tại C và cắt By tại D; các đường thẳng CO và OD cắt (O) lần lượt tại E và F.

a) Tính Sđ EF.

b) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp .

Hướng dẫn giải

a) Vì CA và BM là hai tiếp tuyến với (O) nên OC là tia phân giác của ∠AOM .

Tương tự ta có OD là tia phân giác của ∠BOM

Mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù, suy ra OC ⊥ OD

Vậy ta có ∠COD = 90o hay SđEF = 90o .

b) * Phần thuận:

Vì ΔCOD vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD là trung điểm của CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang có OI là đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB.

Vậy I chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với AB tại O.

* Phần đảo và giới hạn: Học sinh tự chứng minh.

Bài 7: Cho AB là dây cung của đường tròn (O), I là trung điểm của AB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Gọi giao điểm OI và MI với (O) lần lượt C và N. So sánh và .

Hướng dẫn giải

Kẻ OH ⊥ MN

Ta có: ΔOHI vuông tại H nên OH < OI.

Mà OH, OI lần lượt là các khoảng cách từ O đến hai dây MN và AB nên suy ra AB < MN. Do đó

Bài 8: Cho ΔABC đều. Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC ra phía ngoài ΔABC. Gọi D và E là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho cungBD = cungDE = cungEC . AD và AE cắt BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) ΔABN ∼ ΔECN

b) BM = MN = NC

Hướng dẫn giải

b) Vì ΔABC và ΔOCE là hai tam giác đều có BC = 2OC nên suy ra AB = 2CE.

Lại có: ΔABN ∼ ΔECN (chứng minh a)

⇔ BN = 2NC do đó: BM = MN = NC.

Bài 9: Qua điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến MAB và MCD với đường tròn sao cho AB > CD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) MH > MK

b) ∠MOH > ∠MOK

Hướng dẫn giải

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Ta có: AB > CD => OH < OK (liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm).

=> MH > MK

Vì ∠MHO = ∠MKO = 90o nên H, K cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

Trong đường tròn đường kính MO, ta có MH > MK

Mặt khác: ∠MOH = 1/2 SđMH

∠MOK = 1/2 SđMK

Từ đó suy ra: ∠MOH > ∠MOK .

Bài 10: Trên đường tròn (O; R), lấy lần lượt theo cùng một chiều các điểm A, B, C, D sao cho

Chứng minh rằng SΔAOB = SΔCOD .

Hướng dẫn giải

Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại E.

Do đó: ΔAOB = ΔEOD nên SΔAOD = SΔEOD (1)

Mặt khác: ΔEOD và ΔCOD có chung chiều cao kẻ từ D xuống EC và độ dài hai đáy EO = OC nên SΔEOD = SΔCOD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SΔAOB = SΔCOD .

A. Phương pháp giải

1. Khái niệm hình trụ

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quay cạnh AB cố định ta được 1 hình trụ (H.1)

– AD và BC quét nên hai đáy của hình trụ. HÌnh tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

– DC quét nên mặt xung quanh của hình trụ, DC và EF là hai đường sinh. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.

2. Công thức

(R là bán kính đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy).

C. Bài tập tự luận

Bài 1: Một vật thể có dạng hình trụ (H2) bán kính đường tròn đáy và chiều cao của nó đều bằng 2a (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ có bán kính đáy và độ sâu đều bằng a (cm).

a) Tính thể tích phần vật thể còn lại.

b) Nếu ta sơn cả bên trong lẫn bên ngoài vật thể thì diện tích vật thể được bao phủ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Gọi thể tích các hình trụ lớn, hình trụ nhỏ lần lượt là V1, V2

Thể tích cần tìm sẽ là:

V = V1 – V2

V = π(2a)2.2a – π.a2.a

= 8πa3 – πa3

= 7πa3 (cm3)

b) Diện tích cần tìm bằng diện tích toàn phần của hình trụ lớn cộng thêm diện tích xung quanh của hình trụ nhỏ:

S = 2π.2a.2a + 2π.(2a)2+ 2π.a.a

= 8πa2 + 8πa2 + 2πa2

= 18πa2 (cm2)

Bài 2: Có 2 lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 3. Hãy so sánh dung tích của 2 lọ và diện tích xung quanh của 2 lọ.

Hướng dẫn giải

a) V1 = πR2 . 2a = 2πR2a

V2 = π.(2R)2.a = 4πR2a

=>V1 = 2V2

b) S1 = 2πR.2a = 4πR.a

S2 = 2π.2R.a = 4πRa

=> S1 = S2

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh a, chiều cao lăng trụ là h. Xét hai hình trụ, một hình có đáy là hình tròn nội tiếp đáy lăng trụ, một hình có đáy là hình tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ. Chiều cao của hai hình trụ này đều bằng chiều cao của hình lăng trụ.

a) Tính Sxq của hai hình trụ đó.

b) Tính tỷ số thể tích, tỷ số Sxq của hai hình trụ.

Tìm sự liên hệ giữa hai tỷ số đó.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy hình lục giác đều có cạnh a nên:

=> R =a ; r= a√3/2

a) Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ. Ta có:

S1 = 2πRh = 2πah

S2 = 2πrh = πah√3

b) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đó. Ta có:

V1 = πR2h = πa2h

V2 = πr2h = 3πa2h/4