Bài tập toán lớp 10 trang 38
Bài 1: Hàm sốBài 1 (trang 38 SGK Đại số 10) Tìm tập xác định của hàm số:  Lời giải
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10 Tìm tập xác định của các hàm số a) \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\) b) \(y=\dfrac{x-1}{x^2+2x-3}\) c) \(y=\sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}\) a) \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\) xác định khi và chỉ khi \(2x+1\ne 0\,\Leftrightarrow \,x\ne -\dfrac{1}{2}\) Vậy \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}\). b) \(y=\dfrac{x-1}{x^2+2x-3}\)xác định khi và chỉ khi \( {{x}^{2}}+2x-3\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ne 1 \\ & x\ne -3 \\ \end{aligned} \right. \) Vậy \(D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;-3\} \). c) \(y=\sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}\) xác định khi và chỉ khi \( \left\{ \begin{aligned} & 2x+1\ge 0 \\ & 3-x\ge 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ge -\dfrac{1}{2} \\ & x\le 3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le x\le 3 \) Vậy \(D=\left[ -\dfrac{1}{2};3 \right] \).
Cho hàm số \(y=\left\{ \begin{align} & x+1\,\,\text{với}\,\,x\ge 2 \\ & {{x}^{2}}-2\,\,\text{với}\,\,x<2 \\ \end{align} \right. \). Tính giá trị của hàm số đó tại \(x = 3; x= - 1; x = 2\).
- Ta có: \(x = 3 > 2\) nên \(f(3) = 3 + 1 = 4\). - Ta có: \(x = -1 < 2\) nên \(f(–1) = (-1)^2 – 2 = –1\). - Ta có: \(x = 2\) nên \(f(2) = 2 + 1 = 3\).
Bài 1 trang 38 SGK Đại số 10 Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) \(y= \frac{3x-2}{2x+1};\) b) \(y= \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}\); c) \(y= \sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}.\) Giải: a) Công thức \(\frac{3x-2}{2x+1}\) có nghĩa với \(x ∈ \mathbb R\) sao cho \(2x + 1 ≠ 0\Leftrightarrow x \ne - {1 \over 2}\). Vậy tập xác định của hàm số \(y= \frac{3x-2}{2x+1}\) là: \(D = \left \{ x\in\mathbb R|x\neq \frac{-1}{2} \right \}\) Hay \(D=\mathbb R\setminus \left \{ \frac{-1}{2} \right \}.\) b) \({x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy tập xác định của hàm số \(y= \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}\) là: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|{x^2} + 2x - 3 \ne 0} \right\}\) Hay \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) c) \(\sqrt{2x+1}\) có nghĩa với \(x ∈\mathbb R\) sao cho \(2x + 1 ≥ 0\) \(\sqrt{3-x}\) có nghĩa với \(x ∈\mathbb R\) sao cho \(3 - x ≥ 0\) Vậy tập xác định của hàm số \(y= \sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}\) là: \(D = D_1∩ D_2\), trong đó: \({D_1} = \left\{ {x \in\mathbb R|2x + 1 \ge 0} \right\}= \left [ \frac{-1}{2}; +\infty \right )\) \({D_2} = \left\{ {x \in R|3 - x \ge 0} \right\}=\left ( -\infty ;3 \right ]\) \(\Rightarrow D= \left [ \frac{-1}{2};+\infty \right )\cap \left ( -\infty ;3 \right ]= \left [ \frac{-1}{2};3 \right ].\) Bài 2 trang 38 SGK Đại số 10 Cho hàm số: \(y = \left\{ \matrix{ x + 1,\text{ với }x \ge 2 \hfill \cr {x^2} - 2, \text{ với }x < 2 \hfill \cr} \right.\) Tính giá trị của hàm số tại \(x = 3, x = - 1, x = 2\). Giải Với \(x ≥ 2\) hàm số có công thức \(y= f(x) = x + 1\). Vậy giá trị của hàm số tại \(x = 3\) là \(f(3) = 3 + 1 = 4\). Tương tự, với \(x < 2\) hàm số có công thức \(y = f(y) = x^2- 2\). Vậy \(f(- 1) = (- 1)^2 – 2 = - 1\). Tại \(x = 2\) giá trị của hàm số là: \(f(2) = 2 + 1 = 3\). Kết luận: \( f(3) = 4\); \(f(- 1) = - 1\); \(f(2) = 3\). Bài 3 trang 39 sgk đại số 10 Cho hàm số \(y = 3 x^2– 2x + 1\). Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không? \(M (- 1;6)\) ; b) \(N (1;1)\) ; c) \(P(0;1)\). Giải a) Điểm \(A({x_0};{y_0})\) thuộc đồ thị \((G)\) của hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định \(D\) khi và chỉ khi: \(\left\{ \matrix{ {x_0} \in D \hfill \cr f({x_0}) = {y_0} \hfill \cr} \right.\) Tập xác định của hàm số \(y = 3 x^2– 2x + 1\) là \(D = \mathbb R\). Ta có : \(-1 ∈\mathbb R\), \( f(- 1) = 3(- 1)^2– 2(- 1) + 1 = 6\) Vậy điểm \(M(- 1;6)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho. b) Ta có: \(1 ∈\mathbb R\), \(f(1) = 3 (1)^2 – 2(1) + 1 = 2 ≠ 1\). Vậy \(N(1;1)\) không thuộc đồ thị đã cho. c) Tương tự \(P(0;1)\) thuộc đồ thị đã cho. Bài 4 trang 39 sgk đại số 10 Xét tính chẵn lẻ của hàm số: a) \(y = |x|\); b) \(y = (x + 2)^2\) c) \(y = x^3 + x\) ; d) \(y = x^2 + x + 1\). Giải a) Tập xác định của \(y = f(x) = |x|\) là \(D = \mathbb R\). \(∀x ∈\mathbb R \Rightarrow -x ∈\mathbb R\) \(f(- x) = |- x| = |x| = f(x)\) Vậy hàm số \(y = |x|\) là hàm số chẵn. b) Tập xác định của \(y = f(x) = (x + 2)^2\) là \(\mathbb R\). \(\forall x ∈\mathbb R \Rightarrow-x ∈\mathbb R\) \( f(- x) = (- x + 2)^2 = x^2– 4x + 4 ≠ f(x)\) \(f(- x) ≠ - f(x) = - x^2 – 4x - 4\) Vậy hàm số \(y = (x + 2)^2\) không chẵn, không lẻ. c) Tập xác định: \(D =\mathbb R\), \(\forall x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D\) \(f(– x) = (– x^3) + (– x) = - (x^3+ x) = – f(x)\) Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. d) Tập xác định: \(D=\mathbb R\), \(\forall x\in D \Rightarrow -x\in D\) \(f(-x)=(-x)^2-x+1=x^2-x+1\ne f(x)\) \(f(-x)=(-x)^2-x+1\ne -f(x)=-x^2-x-1\) Vậy hàm số không chẵn cũng không lẻ. Giaibaitap.me Page 2
Page 3
Bài 1 trang 49 sgk đại số 10 Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol. a) \(y = {x^2} - 3x + 2\); b) \(y = - 2{x^2} + {\rm{ }}4x - 3\); c) \(y= {x^2} - 2x\); d) \(y = - {x^2} + 4\). Giải a) \(y = {x^2} - 3x + 2\). Hệ số: \(a = 1, b = - 3, c = 2\). Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}.\) Tung độ đỉnh \(y_1\) = \(-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.2.1-(-3)^{2}}{4.1}=-\frac{1}{4}.\) Vậy đỉnh parabol là \(I(\frac{3}{2};-\frac{1}{4})\).
\(x^2- 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\) Vậy các giao điểm của parabol với trục hoành là \(B(1; 0)\) và \(C(2; 0)\). b) \(y = - 2{x^2} + {\rm{ }}4x - 3\) Hệ số: \(a=-2;b=4;c=-3\) Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a}=1\) Tung độ đỉnh \(y_1\) = \(-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.(-2).(-3)-4^{2}}{4.(-2)}=-1.\) Vậy đỉnh parabol là \(I(1;-1)\). Giao điểm với trục tung \(A(0;- 3)\). Phương trình \(- 2x^2+ 4x - 3 = 0\) vô nghiệm. Không có giao điểm của parabol với trục hoành. c) Đỉnh \(I(1;- 1)\). Các giao điểm với hai trục tọa độ: \(A(0; 0), B(2; 0)\). d) Đỉnh \(I(0; 4)\). Các giao điểm với hai trục tọa độ: \(A(0; 4), B(- 2; 0), C(2; 0)\). Bài 2 trang 49 SGK Đại số 10 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số. a) \(y = 3x^2- 4x + 1\); b) \(y = - 3x^2+ 2x – 1\); c) \(y = 4x^2- 4x + 1\); d) \(y = - x^2+ 4x – 4\); e) \(y = 2x^2+ x + 1\); f) \(y = - x^2+ x - 1\). Giải a) \(y = 3x^2- 4x + 1\) Bảng biến thiên:
Đồ thị: - Đỉnh: \(I\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 3}} \right)\) - Trục đối xứng: \(x = {2 \over 3}\) - Giao điểm với trục tung \(A(0; 1)\) - Giao điểm với trục hoành \(B\left( {{1 \over 3};0} \right)\), \(C(1; 0)\). b) \(y = - 3x^2+ 2x – 1\) Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: - Đỉnh \(I\left( {{1 \over 3}; - {2 \over 3}} \right)\), trục đối xứng: \(x = {1 \over 3}\) - Giao điểm với trục tung \(A(0;- 1)\). - Giao điểm với trục hoành: không có. Ta xác định thêm điểm phụ: \(B(1;- 2)\), \(C(1;- 6)\). c) \(y = 4x^2- 4x + 1\). Lập bảng biến thiên và vẽ tương tự câu a, b. d) \(y = - x^2+ 4x – 4=- (x – 2)^2\) Bảng biến thiên: Cách vẽ đồ thị: Ngoài cách vẽ như câu a, b, ta có thể vẽ như sau: + Vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số \(y = - x^2\). + Tịnh tiến \((P)\) song song với \(Ox\) sang phải \(2\) đơn vị được \((P1)\) là đồ thị cần vẽ. (hình dưới). e) \(y = 2x^2+ x + 1\); - Đỉnh \(I\left( {{{ - 1} \over 4};{{ - 7} \over 8}} \right)\) - Trục đối xứng : \(x = {{ - 1} \over 4}\) - Giao \(Ox\): Đồ thị không giao với trục hoành - Giao \(Oy\): Giao với trục tung tại điểm \((0;1)\) Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị theo bảng sau:
f) \(y = - x^2+ x - 1\). - Đỉnh \(I\left( {{1 \over 2};{{ - 3} \over 4}} \right)\) - Trục đối xứng : \(x = {1 \over 2}\) - Giao Ox: Đồ thị không giao với trục hoành - Giao Oy: Giao với trục tung tại điểm \((0;-1)\) Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị theo bảng sau:
Bài 3 trang 49 sgk đại số 10 Xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó: a) Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\); b) Đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}.\) c) Có đỉnh là \(I(2;- 2)\); d) Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\) Giải a) Vì parabol đi qua \(M(1; 5)\) nên tọa độ của \(M\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(5 = a.1^2+ b.1 + 2\). Tương tự, với \(N(- 2; 8)\) ta có: \(8 = a.(- 2)^2 + b.(- 2) + 2\) Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.\) ta được \(a = 2, b = 1\). Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\). b) Vì parabol đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) nên tọa độ \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(a(3)^{2}+b.3+2=-4\) Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có: \(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\) Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\). c) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) do đó tọa độ \(I\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(a.2^2+b.2+2=-2\) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol có trục đối xứng là: \(x=2\) do đó: \( -\frac{b}{2a}=2\) Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\a.2^2+b.2+2=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\). d) Vì parabol đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\) Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có: \(\frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \) Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{\begin{matrix} a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\\ \frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=16\\ b=12 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\). Bài 4 trang 50 sgk đại số 10 Xác định \(a, b, c\), biết parabol \(y = ax^2+ bx + c\) đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\). Giải Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có: \(a.8^2+b.8+c=0\) Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta có: \( -\frac{b}{2a} =6 \) \(\frac{4ac-b^{2}}{4a} =-12 \) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a(8)^{2}+b(8)+c=0\\ -\frac{b}{2a} =6 \\\frac{4ac-b^{2}}{4a} =-12 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-36 \\ c=96 \end{matrix}\right.\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 3x^2- 36x + 96\). Giaibaitap.me Page 4
Page 5
Page 6
Câu 9 trang 50 SGK Đại số 10 Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) \(y = {1 \over 2}x - 1\) b) \(y = 4 - 2x\) c) \(y = \sqrt {{x^2}} \) d) \(y = |x+1|\) Giải a) \(y = {1 \over 2}x - 1\) Bảng biến thiên Đồ thị hàm số
Đồ thị là đường thẳng đi qua \(2\) điểm: + Giao với trục tung \(P(0,-1)\) + Giao với trục hoành \(Q(2, 0)\) b) \(y = 4 - 2x\) Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số
Đồ thị là đường thẳng đi qua \(2\) điểm: + Giao với trục tung \(P(0,4)\) + Giao với trục hoành \(Q(2, 0)\) c) \(y = \sqrt {{x^2}} = |x| =\left\{ \matrix{- x,x \le 0 \hfill \cr x,x > 0 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên Đồ thị hàm số d) \(y = |x+1| = \left\{ \matrix{- x - 1,x \le - 1 \hfill \cr x + 1,x > - 1 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số Câu 10 trang 51 SGK Đại số 10 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số a) \(y = x^2– 2x – 1\) b) \(y = -x^2+ 3x + 2\) Giải a) \(y = x^2– 2x – 1\) Tập xác định \(D =\mathbb R\) Bảng biến thiên Đồ thị hàm số Đồ thị: parabol có đỉnh \(I(1; -2)\) với trục đối xứng \(x = 1\) Giao điểm với trục tung là \(P(0;-1)\) Giao điểm với trục hoành \(A (1-\sqrt2; 0)\) và \(B((1+\sqrt2; 0)\) b) \(y = -x^2+ 3x + 2\) Tập xác định \(D =\mathbb R\) Đồ thị hàm số Đồ thị: parabol có đỉnh \(I \left({3 \over 2},{{17} \over 4}\right)\) với trục đối xứng \(x ={3 \over 2}\) Giao điểm với trục tung là \(P(0,2)\) Giao điểm với trục hoành \( A \left({{3 - \sqrt {17} } \over 2},0\right)\) và \(B\left({{3 + \sqrt {17} } \over 2},0\right)\) Câu 11 trang 51 SGK Đại số 10 Xác định \(a,b\), biết đường thẳng \(y = ax+ b\) đi qua hai điểm phân biệt \(A(1,3) , B(-1, 5)\) Giải \(A(1;3)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên tọa độ \(A\) là nghiệm đúng phương trình của đường thẳng, do đó ta có: \(3 = a.1+b \Leftrightarrow a+b=3\) (1) \(B(-1;5)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm đúng phương trình của đường thẳng, do đó ta có: \(5 = a.(-1) + b \Leftrightarrow -a+b=5\) (2) Giải hệ (1) và (2) ta được: \(a = -1, b = 4\) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(y=-x+4\) Câu 12 trang 51 SGK Đại số 10 Tìm parabol \(y = ax^2+bx+c\), biết parabol đó a) đi qua ba điểm \(A(0;-1), B(1; -1), C(-1; 1)\) b) đi qua điểm \(D(3; 0)\) và có đỉnh \(I(1; 4)\) Giải a) Parabol \(y = ax^2+bx+c\) đi qua ba điểm \(A(0;-1), B(1; -1), C(-1; 1)\) nên tọa độ \(A,B,C\) thỏa mãn phương trình parabol ta được hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ - 1 = a.0^2 + b.0 + c \hfill \cr - 1 = a{.1^2} + b.1 + c \hfill \cr 1 = a{( - 1)^2} + b( - 1) + c \hfill \cr} \right.\) ⇔\(\left\{ \matrix{a = 1 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr c = - 1 \hfill \cr} \right.\) Parabol có phương trình: \(y = x^2– x – 1\) b) Parabol \(y = ax^2+bx+c\) đi qua điểm \(D(3; 0)\) và có đỉnh \(I(1; 4)\) nên ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ 0 = a{.3^2} + b.3 + c \hfill \cr 1 = {{ - b} \over {2a}} \hfill \cr 4 = {{4ac - {b^2}} \over {4a}} \hfill \cr} \right.\) ⇔\(\left\{ \matrix{a = - 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = 3 \hfill \cr} \right.\) Phương trình parabol : \(y = -x^2+2x+3\) Giaibaitap.me Page 7
Page 8
Page 9
Bài 1 trang 62 sgk đại số 10 Giải các phương trình a) \(\frac{x^{2}+3x+2}{2x +3}\) = \(\frac{2x -5}{4}\); b) \(\frac{2x +3}{x - 3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9} + 2\); c) \(\sqrt{3x - 5} = 3\); d) \(\sqrt{2x + 5} = 2\). Giải a) \(\frac{x^{2}+3x+2}{2x +3}\) = \(\frac{2x -5}{4}\) ĐKXĐ: \(2x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - \frac{3}{2}\). Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung ta được \(\Rightarrow 4(x^2+ 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3)\) \(\Leftrightarrow 4x^2+12x + 8 = 4x^2- 4x - 15\) \(\Leftrightarrow x = - \frac{23}{16}\) (nhận). b) \(\frac{2x +3}{x - 3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9} + 2\) ĐKXĐ: \(x ≠ ± 3\). Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu ta được \(\Rightarrow (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) = 24 + 2(x^2-9)\) \(\Leftrightarrow2{x^2} + 9x + 9 - 4x + 12 = 24 + 2{x^2} - 18\) \(\Leftrightarrow 5x = -15 \Leftrightarrow x = -3\) (loại). Vậy phương trình vô nghiệm. c) \(\sqrt{3x - 5} = 3\) ĐKXĐ: \(x \ge {5 \over 3}\) Bình phương hai vế ta được: \(\Rightarrow 3x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = \frac{14}{3}\) (nhận). d) \(\sqrt{2x + 5} = 2\) ĐKXĐ: \(x \ge - {5 \over 2}\) Bình phương hai vế ta được: \(\Rightarrow 2x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\). Bài 2 trang 62 sgk đại số 10 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số \(m\) a) \(m(x - 2) = 3x + 1\); b) \(m^2x + 6 = 4x + 3m\); c) \((2m + 1)x – 2m = 3x – 2\). Giải a) \(m(x - 2) = 3x + 1\) \(⇔ (m – 3)x = 2m + 1\). +) Nếu \(m ≠ 3\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{2m +1}{m-3}\). +) Nếu \(m = 3\) phương trình trở thành \(0.x = 7\). Phương trình vô nghiệm. b) \(m^2x + 6 = 4x + 3m\) \(⇔ (m^2– 4)x = 3m – 6\). +) Nếu \(m^2– 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2\), phương trình có nghiệm \(x = \frac{3m - 6}{m^{2}-4}=\frac{3}{m+2}\). +) Nếu \(m = 2,\) phương trình trở thành \(0.x = 0\) đúng với mọi \(x ∈ \mathbb R\). Phương trình có vô số nghiêm. +) Nếu \(m = -2\), phương trình trở thành \(0.x = -12\), phương trình vô nghiệm. c) \((2m + 1)x – 2m = 3x – 2\) \(⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1)\). +) Nếu \(m ≠ 1\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\). +) Nếu \(m = 1\), phương trình trở thành \(0.x=0\) đúng với mọi \(x ∈\mathbb R\). Phương trình có vô số nghiệm. Bài 3 trang 62 sgk đại số 10 Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy \(30\) quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\) của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ? Giải Gọi \(x\) là số quýt chứa trong một rổ lúc đầu. Điều kiện \(x\) nguyên, \(x > 30\). Lấy \(30\) quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai nên số quýt trong rổ thứ nhât còn \(x-30\), số quýt trong rổ thứ hai là: \(x+30\) Theo đầu bài lấy \(30\) quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\) của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình: \(\frac{1}{3} (x – 30)^2= x + 30 ⇔ x^2- 63x + 810 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 45 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr x = 18 \text{( loại )}\hfill \cr} \right.\) Vậy số quýt ở mỗi rổ lúc đầu là \(45\) quả. Bài 4 trang 62 sgk đại số 10 Giải các phương trình a) \(2{x^4}-{\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(3{x^{4}} + {\rm{ }}2{x^{2}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải a) Đặt \(x^2= t ≥ 0\) ta được: \(\eqalign{ & 2{t^2} - 7t + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {t_1} = 1\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr {t_2} = {5 \over 2} \text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \({t_1}=1\) ta được \({x_{1,2}} = \pm 1\) +) Với \({t_2} = {5 \over 2}\) ta được \({x_{3,4}} = \pm {{\sqrt {10} } \over 2}\). Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm. b) Đặt \(x^2= t ≥ 0\) ta được \(\eqalign{ & 3{t^2} + 2t - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {t_1} = - 1 \text{ (loại )}\hfill \cr {t_2} = {1 \over 3} \text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \({t_2} = {1 \over 3} \) ta được \({x_{1,2}} = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Giaibaitap.me Page 10
Bài 5 trang 62 sgk đại số 10 Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba) a) \(2x^2– 5x + 4 = 0\); b) \(-3x^2+ 4x + 2 = 0\); c) \(3x^2+ 7x + 4 = 0\); d) \(9x^2– 6x – 4 = 0\). Giải a) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím màn hình hiện ra \(x_1= 3.137458609\). Ấn tiếp Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là \(x_1 ≈ 3.137\) và \(x_2 ≈ -0.637\). b) Ấn được \(x_1 = 1.72075922\). Muốn lấy tròn \(3\) số thập phân ta ấn tiếp Kết quả \(x_1= 1.721\). Ấn tiếp c) Ấn liên tiếp Kết quả \(x_1= -1.000\). Ấn tiếp d) Ấn Kết quả \(x_1= 0.333\). Ấn tiếp Bài 6 trang 62 sgk đại số 10 Giải các phương trình. a) \(|3x – 2| = 2x + 3\); b) \(|2x -1| = |-5x – 2|\); c) \(\frac{x-1}{2x -3}=\frac{-3x+1}{|x+1|};\) d) \(|2x + 5| = x^2+5x +1\). Giải a) ĐKXĐ: \(2x + 3 ≥ 0\). Bình phương hai vế thì được: \({\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {3x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} - {\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left( {3x - 2{\rm{ }} + {\rm{ }}2x + {\rm{ }}3} \right)\left( {3x-2{\rm{ }}-2x-3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {1 \over 5}\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr x = 5\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. b) Bình phương hai vế: \(\eqalign{ & {(2x - 1)^2} = {( - 5x - 2)^2} \cr & \Leftrightarrow {(2x - 1)^2} - {( - 5x - 2)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow (2x - 1 + 5x + 2)(2x - 1 - 5x - 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow (7x + 1)( - 3x - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {1 \over 7} \hfill \cr x = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có hai nghiệm c) ĐKXĐ: \(x ≠ \frac{3}{2}, x ≠ -1\). Quy đồng rồi khử mẫu thức chung \(\Rightarrow (x – 1)|x + 1| = (2x – 3)(-3x + 1)\) +) Với \(x ≥ -1\) ta được: \(\eqalign{ & (x - 1)(x + 1) = (2x - 3)( - 3x + 1) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 1 = - 6{x^2} + 11x - 3 \Leftrightarrow 7{x^2} - 11x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{11 + \sqrt {65} } \over {14}}\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr x = {{11 - \sqrt {65} } \over {14}}\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr & \cr & \cr} \) +) Với \(x < -1\) ta được: \(\eqalign{ & (x - 1)( - x - 1) = (2x - 3)( - 3x + 1) \cr & \Leftrightarrow - {x^2} + 1 = - 6{x^2} + 11x - 3 \Leftrightarrow 5{x^2} - 11x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{11 + \sqrt {41} } \over {10}}\text{ (loại)} \hfill \cr x = {{11 - \sqrt {41} } \over {10}}\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. d) ĐKXĐ: \(x^2+5x +1 > 0\) +) Với \(x ≥ \frac{-5}{2}\) ta được: \(\eqalign{ & 2x + 5{\rm{ = }}{x^2} + 5x{\rm{ + }}1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \text{ (thỏa mãn )}\hfill \cr x = - 4\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \(x < \frac{-5}{2}\) ta được: \(\eqalign{ & - 2x - 5{\rm{ = }}{x^2} + 5x{\rm{ + }}1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 6 \text{ (thỏa mãn )}\hfill \cr x = - 1\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=1\) và \(x=-6\). Bài 7 trang 63 sgk đại số 10 Giải các phương trình a) \(\sqrt{5x +6} = x - 6\); b) \(\sqrt{3 -x}\) = \(\sqrt{x +2} +1\); c) \(\sqrt{2x^{2} +5} = x + 2\). d) \(\sqrt{4x^{2} +2x + 10} = 3x + 1\). Giải ĐKXĐ: \(x – 6 ≥ 0 ⇔ x > 6\). Bình phương hai vế ta được: \(\eqalign{ & 5x + 6 = {(x - 6)^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \text{( loại )}\hfill \cr x = 15 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=15\). b) ĐKXĐ: \(– 2 ≤ x ≤ 3\). Bình phương hai vế ta được \(3 - x = x + 3 + 2\sqrt{x+2}\) Điều kiện \(x ≤ 0\). Bình phương tiếp ta được: \(\eqalign{ & {x^2} = x + 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \text{( thỏa mãn )} \hfill \cr x = 2 \text{( loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=-1\) c) ĐKXĐ: \(x ≥ -2\). Bình phương hai vế ta được: \(\eqalign{ & 2{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 - \sqrt 3 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr x = 2 + \sqrt 3 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 2 - \sqrt 3\) và \(x = 2 + \sqrt 3\) d) ĐK: \(x ≥ \frac{-1}{3}\). Bình phương hai vế ta được: \(\eqalign{ & 4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr x = - {9 \over 5} \text{( loại )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\). Bài 8 trang 63 sgk đại số 10 Cho phương trình \(3x^2– 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0\). Xác định \(m\) để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Giải Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có: \({x_2} = 3{x_1}\). Theo định lí Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = 4{x_1} = {{2(m + 1)} \over 3} \Rightarrow {x_1} = {{m + 1} \over 6}\) Thay \(x_1=\frac{m+1}{6}\) vào phương trình ta được: \(\eqalign{ & 3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6} + 3m - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 3 \hfill \cr m = 7 \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm \(x_1=\frac{2}{3}\); \(x_2= 2\). +) Với \(m = 7\) phương trình có hai nghiệm \(x_1=\frac{4}{3}\); \(x_2= 4\). Giaibaitap.me Page 11
Bài 1 trang 68 sgk đại số 10 Cho hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 7x - 5 y = 9 & \\ 14x - 10y = 10& \end{matrix}\right.\). Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm ? Giải Ta thấy rằng nhân vế trái phương trình thứ nhất với \(2\) thì được vế trái của phương trình thứ hai. Trong khi đó nhân vế phải phương trình thứ nhất với \(2\) thì kết quả khác với vế phải phương trình thứ hai. Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Cách khác: ta có: \(\frac{7}{14}=\frac{-5}{-10}\neq \frac{9}{10}\) nên hệ vô nghiệm vì hai đường thẳng có phương trình lần lượt là: \(7x-5y=9\) và \(14x-10y=10\) song song với nhau. Bài 2 trang 68 sgk đại số 10 Giải các hệ phương trình a) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 1 & \\ x + 2y = 3;& \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} 3x + 4y = 5 & \\ 4x - 2y = 2;& \end{matrix}\right.\) c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{2}{3}x +\frac{1}{2}y =\frac{2}{3}& \\ \frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y= \frac{1}{2}& \end{matrix}\right.\) d) \(\left\{\begin{matrix} 0,3x - 0,2y =0,5 & \\ 0,5x + 0,4y = 1,2.& \end{matrix}\right.\) Giải a) Giải bằng phương pháp thế: \(2x - 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{2x -1}{3}\) Thế vào phương trình thứ hai: \(x + 2(\frac{2x -1}{3}) = 3\) \( \Rightarrow x = \frac{11}{7}\); \(y = \frac{2(\frac{11}{7})-1}{3}=\frac{5}{7}.\) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (\(\frac{11}{7}\); \(\frac{5}{7}\)). Giải bằng phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của phương trình thứ hai với -2 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y =1 & \\ x + 2y = 3& \end{matrix}\right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} -7y = -5 & \\ x + 2y = 3& \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} y= \frac{5}{7} & \\ x =\frac{11}{7}& \end{matrix}\right.\). b) Giải tương tự câu a). Đáp số: (\(\frac{9}{11}\); \(\frac{7}{11}\)). c) Để tránh tính toán trên các phân số ta nhân phương trình thứ nhất với \(6\), nhân phương trình thứ hai với \(12\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y = 4 & \\ 4x - 9y = 6& \end{matrix}\right.\) Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai ta được: \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y = 4 & \\ 12y =-2\end{matrix}\right.\) => \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{9}{8} & \\ y =-\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\). d) Nhân mỗi phương trình với \(10\) ta được \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 5 & \\ 5x + 4y = 12\end{matrix}\right.\) Nhân phương trình thứ nhất với \(2\) cộng vào phương trình thứ hai ta được \(\Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 5 & \\ 11x = 22\end{matrix}\right.\) => \(\left\{\begin{matrix} x = 2 & \\ y = 0,5\end{matrix}\right.\). Bài 3 trang 68 sgk đại số 10 Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua \(10\) quả quýt,\( 7\) quả cam với giá tiền là \(17 800\) đồng. Bạn Lan mua \(12\) quả quýt, \(6\) quả cam hết \(18 000\) đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu ? Giải Gọi \(x\) (đồng) là giá tiền một quả quýt và \(y\) (đồng) là giá tiền một quả cam. Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Bạn Vân mua \(10\) quả quýt,\( 7\) quả cam với giá tiền là \(17 800\) đồng nên ta có: \(10x + 7y = 17800\) (1) Bạn Lan mua \(12\) quả quýt, \(6\) quả cam hết \(18 000\) đồng nên ta có: \(12x + 6y = 18000\) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} 10x + 7y = 17800 & \\ 12x + 6y = 18000& \end{matrix}\right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} 10x + 7y = 17800 & \\ 2x + y = 3000& \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} 2x + y = 3000 & \\2y = 2800& \end{matrix}\right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} x = 800 & \\y =1400& \end{matrix}\right.\). Vậy giá tiền một quả quýt: \(800\) đồng, một quả cam \(1400\) đồng Bài 4 trang 68 sgk đại số 10 Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được \(930\) áo. Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất \(18\% \), dây chuyền thứ hai tăng năng suất \(15\%\) nên cả hai dây chuyền may được \(1083\) áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi ? Giải Gọi số áo may được của dây chuyền thứ nhất và thứ hai trong ngày thứ nhất theo thứ tự là \(x, y\) (cái). Điều kiện \(x, y\) nguyên dương Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được \(930\) áo nên ta có phương trình: \(x+y=930\) Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất \(18\% \), dây chuyền thứ hai tăng năng suất \(15\%\) nên ngày thứ hai các dây chuyền thứ nhất may được \(1,18x\) (cái) và dây chuyền thứ hai may được \(1,15y\) (cái). Tổng số áo may được trong ngày thứ hai là \(1083\) áo nên ta có phương trình: \( 1,18x + 1,15y = 1083\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x + y =930 & \\ 1,18x + 1,15y = 1083& \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 450 \hfill \cr y = 480 \hfill \cr} \right.\). Vậy ngày thứ nhất hai dây chuyền may được số áo tương ứng là \(450\) cái và \(480\) cái. Giaibaitap.me Page 12
Bài 5 trang 68 sgk đại số 10 Giải các hệ phương trình a) \(\left\{\begin{matrix} x + 3y + 2z =8 & \\ 2x + 2y + z =6& \\ 3x +y+z=6;& \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} x - 3y + 2z =-7 & \\ -2x + 4y + 3z =8& \\ 3x +y-z=5.& \end{matrix}\right.\) Giải a) \(x + 3y + 2z = 8 \Rightarrow x = 8 - 3y - 2z\). Thế vào phương trình thứ hai và thứ ba thì được \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= 8 - 3y -2z & \\ 2(8-3y-2z)+2y +z=6& \\ 3(8-3y-2z) +y+z=6& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= 8 - 3y -2z & \\ 4y +3z=10& \\ 8y + 5z =18& \end{matrix}\right.\) Giải hệ hai phương trình với ẩn \(y\) và \(z\): \(\left\{\begin{matrix} 4y +3z =10 & \\ 8y +5z =18& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1 & \\ z=2& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1& \\ z=2& \end{matrix}\right.\) Nghiệm của hệ phương trình ban đầu là \((1; 1; 2)\). Ta cũng có thể giải bằng phương pháp cộng đại số như sau: Nhân phương trình thứ nhất với \(-2\) rồi cộng vào phương trình thứ hai. Nhân phương trình thứ nhất với \(-3\) cộng vào phương trình thứ ba thì được \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+3y+2z=8 & \\ -4y-3z=-10& \\ -8y -5z=-18& \end{matrix}\right.\) Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} -4y -3z =-10 & \\ -8y -5z =-18& \end{matrix}\right.\) ta được kết quả như trên. b) \(\left\{\begin{matrix} x - 3y + 2z =-7 & \\ -2x + 4y + 3z =8& \\ 3x +y-z=5.& \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x - 3y +2z =-7 & \\ -2y + 7z = -6& \\ 10y - 7z =26& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\frac{11}{4} & \\ y =\frac{5}{2}& \\ z =-\frac{1}{7}& \end{matrix}\right.\). Bài 6 trang 68 sgk đại số 10 Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được \(12\) áo, \(21\) quần và \(18\) váy, doanh thu là \(5 349 000\) đồng. Ngày thứ hai bán được \(16\) áo, \(24\) quần và \(12\) váy, doanh thu là \(5 600 000\) đồng. Ngày thứ ba bán được \(24\) áo, \(15\) quần và \(12\) váy, doanh thu là \(5 259 000\) đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu ? Giải Đặt \(x, y, z\) theo thứ tự là giá tiền bán một áo sơ mi, một quần âu và một váy nữ. Điều kiện \(x, y, z >0\). Ngày thứ nhất bán được \(12\) áo, \(21\) quần và \(18\) váy, doanh thu là \(5 349 000\) đồng nên ta có phương trình: \(12x+21y+18z=5349000\) Ngày thứ hai bán được \(16\) áo, \(24\) quần và \(12\) váy, doanh thu là \(5 600 000\) đồng nên ta có phương trình: \(16x+24y+12z=5600000\) Ngày thứ ba bán được \(24\) áo, \(15\) quần và \(12\) váy, doanh thu là \(5 259 000\) đồng nên ta có phương trình: \( 24x+15y+12z=5259000\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 12x + 21y+18z =5349000 & \\ 16x+24y+12z=5600000& \\ 24x+15y+12z=5259000& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=98000 & \\ y= 125000 & \\ z=86000& \end{matrix}\right.\) Vậy giá tiền một áo là \(98000\), một quần âu nam là \(125000\) và váy nữ là \(86000\). Bài 7 trang 68 sgk đại số 10 Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 5y = 6 & \\ 4x + 7y =-8;& \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} -2x +3y = 5 & \\ 5x +2y = 4.& \end{matrix}\right.\) c) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y +4z=-5 & \\ -4x +5y-z=6& \\ 3x+4y-3z=7; & \end{matrix}\right.\) d) \(\left\{\begin{matrix} -x+2y-3z=2 & \\ 2x +y+2z=-3& \\ -2x-3y+z=5. & \end{matrix}\right.\) Giải a) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp các phím thấy hiện ra màn hình \(x = 0.048780487\) Ấn tiếp phím Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x\approx 0,05 & \\ y\approx -1,17& \end{matrix}\right.\)
Kết quả \(x = 0.105263157\). Ấn tiếp c) Ấn thấy hiện ra trên màn hình \(x=0.217821782\). Ấn tiếp phím Ấn tiếp phím Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là (làm tròn kết quả đế chữ số thaaph phân thứ hai) \(\left\{\begin{matrix} x\approx 0,22 & \\ y\approx 1,30& \\ z\approx -0,39. & \end{matrix}\right.\) d) Thực hiện tương tự câu c). Kết quả: \(x = -1.870967742\); \(y = -0.35483709\); \(z = 0.193548387\). Giaibaitap.me Page 13
Page 14
Câu 5 trang 70 SGK Đại số 10 Giải các hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{- 2x + 5y = 9 \hfill \cr 4x + 2y = 11 \hfill \cr} \right.\) b)\(\left\{ \matrix{3x + 4y = 12 \hfill \cr 5x - 2y = 7 \hfill \cr} \right.\) c)\(\left\{ \matrix{2x - 3y = 5 \hfill \cr 3x + 2y = 8 \hfill \cr} \right.\) d) \(\left\{ \matrix{5x + 3y = 15 \hfill \cr 4x - 5y = 6 \hfill \cr} \right.\) Trả lời: a) Nhân phương trình thứ nhất với \(2\), cộng vào phương trình thứ hai ta được \(⇔\left\{ \matrix{- 2x + 5y = 9 \hfill \cr 12y = 29 \hfill \cr} \right.\) \(⇔ \left\{ \matrix{x = {{37} \over {24}} \hfill \cr y = {{29} \over {12}} \hfill \cr} \right.\) b) Nhân phương trình thứ hai với \(2\) rồi cộng vào phương trình thứ nhất: \(⇔\left\{ \matrix{13x = 26 \hfill \cr 5x - 2y = 7 \hfill \cr} \right.\) \(⇔ \left\{ \matrix{x = 2 \hfill \cr y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) c) Nhân phương trình thứ nhất với \(2\) và phương trình thứ hai với \(3\) ta được: \(⇔\left\{ \matrix{4x - 6y = 10 \hfill \cr 9x + 6y = 24 \hfill \cr} \right.\) Cộng hai vế phương trình ta được: \(⇔\left\{ \matrix{13x = 34 \hfill \cr 3x + 2y = 8 \hfill \cr} \right.\) \(⇔\left\{ \matrix{x = {{34} \over {13}} \hfill \cr y = {1 \over {13}} \hfill \cr} \right.\) d) Nhân phương trình thứ nhất với \(5\) và phương trình thứ hai với \(3\) ta được: \(⇔\left\{ \matrix{25x + 15y = 75 \hfill \cr 12x - 15y = 18 \hfill \cr} \right.\) Cộng hai vế phương trình ta được: \(⇔\left\{ \matrix{5x + 3y = 15 \hfill \cr 37x = 93 \hfill \cr} \right.\) \(⇔ \left\{ \matrix{x = {{93} \over {37}} \hfill \cr y = {{30} \over {37}} \hfill \cr} \right.\) Câu 6 trang 70 SGK Đại số 10 Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được \(7\) giờ và người thứ hai làm được \(4\) giờ thì họ sơn được \({5 \over 9}\) bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong \(4\) giờ thì chỉ còn lại \({1 \over {18}}\) bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới làm xong bức tường? Trả lời: Gọi \(x\) (giờ), \(y\) (giờ) là thời gian để công nhân thứ nhất, thứ hai làm riêng để sơn xong bức tường.Do đó mỗi giờ người thứ nhất và người thứ hai lần lượt sơn được \({1 \over x},{1 \over y}\) bức tường Người thứ nhất làm được \(7\) giờ và người thứ hai làm được \(4\) giờ thì họ sơn được \({5 \over 9}\) bức tường nên ta có: \({7 \over x} + {4 \over y} = {5 \over 9}\) Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong \(4\) giờ thì chỉ còn lại \({1 \over {18}}\) bức tường chưa sơn nên ta có: \({4 \over x} + {4 \over y} = 1-{5 \over 9} - {1 \over {18}} = {7 \over {18}}\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ {7 \over x} + {4 \over y} = {5 \over 9} \hfill \cr {4 \over x} + {4 \over y} ={7 \over {18}} \hfill \cr} \right.\) Giải hệ phương trình trên ta được: \({1 \over x} = {1 \over {18}};{1 \over y} = {1 \over {24}}\) Suy ra \(x = 18, y = 24\). Vậy mỗi người làm riêng, theo thứ tự, thời gian sơn xong bức tường là \(18\) giờ và \(24\) giờ. Câu 7 trang 70 SGK Đại số 10 Giải hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{2x - 3y + z = - 7 \hfill \cr - 4x + 5y + 3z = 6 \hfill \cr x + 2y - 2z = 5 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{x + 4y - 2z = 1 \hfill \cr - 2x + 3y + z = - 6 \hfill \cr 3x + 8y - z = 12 \hfill \cr} \right.\) Trả lời: a) Nhân phương trình thứ ba với \(4\) rồi cộng vào phương trình hai. Nhân phương trình thứ ba với \(-2\) cộng vào phương trình thứ nhất ta có: \(\left\{ \matrix{ - 7y + 5z = - 17 \hfill \cr 13y - 5z = 26 \hfill \cr x + 2y - 2z = 5 \hfill \cr} \right.\) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai có hệ mới: \(\left\{ \matrix{6y = 9 \hfill \cr 13y - 5z = 26 \hfill \cr x + 2y - 2z = 5 \hfill \cr} \right.\) ⇔\(\left\{ \matrix{x = {{ - 3} \over 5} \hfill \cr y = {3 \over 2} \hfill \cr z = {{ - 13} \over {10}} \hfill \cr} \right.\) b) Nhân phương trình thứ nhât với \(2\) rồi cộng với phương trình thứ hai Nhân phương trình thứ nhât với \(-3\) rồi cộng với phương trình thứ ba ta có: \(\left\{ \matrix{x + 4y - 2z = 1 \hfill \cr 11y - 3z = - 4 \hfill \cr - 4y + 5z = 9 \hfill \cr} \right.\) Nhân phương trình hai với \(5\) và phương trình thứ ba với \(3\) rồi cộng hai phương trình đó lại ta được: \(\left\{ \matrix{x + 4y - 2z = 1 \hfill \cr 11y - 3z = - 4 \hfill \cr 43z = 83 \hfill \cr} \right.\) \(⇔\left\{ \matrix{x = {{181} \over {43}} \hfill \cr y = {7 \over {43}} \hfill \cr z = {{83} \over {43}} \hfill \cr} \right.\) Câu 8 trang 71 sgk Đại số 10 Ba phân số đều có tử số là \(1\) và tổng của ba phân số đó là \(1\). Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \(5\) lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó. Trả lời: Ta gọi \(x,y,z\) theo thứ tự theo lần lượt là mẫu số các phân số thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Điều kiện \(x, y, z≠0; x, y, z ∈\mathbb R\). Tổng của ba phân số đó là \(1\) nên ta có: \({1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = 1 \) Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba nên ta có: \({1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over z}\) Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \(5\) lần phân số thứ ba nên ta có: \({1 \over x} + {1 \over y} = 5.{1 \over z}\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{{1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = 1 \hfill \cr {1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over z} \hfill \cr {1 \over x} + {1 \over y} = 5{1 \over z} \hfill \cr} \right.\) ⇔\(\left\{ \matrix{{1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = 1 \hfill \cr {2 \over x} = {6 \over z} \hfill \cr {2 \over y} = {4 \over z} \hfill \cr} \right.\) ⇔ \(\left\{ \matrix{{1 \over x} = {1 \over 2} \hfill \cr {1 \over y} = {1 \over 3} \hfill \cr {1 \over z} = {1 \over 6} \hfill \cr} \right.\) Giaibaitap.me Page 15
Câu 9 trang 71 SGK Đại số 10 Một phân xưởng được giao sản xuất \(360\) sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được \(9\) sản phẩm so với định mức trên, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là \(5\%\). Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm. Trả lời: Gọi \(x\) là số sản phẩm sản xuất trong một ngày theo định mức. Điều kiện \(x\) nguyên dương. Phân xưởng được giao sản xuất \(360\) sản phẩm nên số ngày hoàn thành số sản phẩm theo định mức là \({{360} \over x}\) ngày Phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được \(9\) sản phẩm so với định mức nên mỗi ngày xưởng làm được \(x+9\) sản phẩm. Trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là \(5\%\) nên ta có: \({{360} \over x} = {{360 + {{360.5} \over {100}}} \over {x + 9}} + 1\) Theo đề ta có chương trình: \({{360} \over x} = {{360 + {{360.5} \over {100}}} \over {x + 9}}+1\) \(⇔ x^2+ 27x – 3240 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 72\text{ ( loại ) } \hfill \cr x = 45\text{ ( thỏa mãn ) } \hfill \cr} \right.\) Thời gian giao hoàn thành kế hoạch là \({{360} \over {45}} = 8\) ngày Nếu sản xuất theo thời gian đã định với năng suất mới thì số sản phẩm làm được là \((45+9).8=432\) sản phẩm. Câu 10 trang 71 SGK Đại số 10 Giải các phương trình bằng máy tính. a) \(5x^2– 3x – 7 = 0\) b) \(3x^2+ 4x + 1 = 0\) c) \(0,2x^2+ 1,2x – 1 = 0\) d) \(\sqrt 2 {x^2} + 5x + \sqrt 8 = 0\) Trả lời: a) Ấn liên tiếp các phím
ta thấy hiện ta trên màn hình \(x_1= 1,520\) Ấn tiếp \(“=”\) ta thấy \(x_2= -0,920\) Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là \(x_1= 1,520; x_2= -0,920\) b) Ấn liên tiếp dãy các phím
Ta thấy hiện trên màn hình \(x_1= -0,33\) Ấn tiếp \(“=”\) ta thấy \(x_2= -1\) c) Ấn liên tiếp dãy các phím ta thấy hiện ra trên màn hình \(x_1= -0,7416\) Ấn tiếp \(“=”\) ta thấy \(x_2= -6,7416\) Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là \(x_1= 0,74; x_2 =-6,74\) d) Ấn liên tiếp dãy các phím ta thấy hiện ra trên màn hình \(x_1= -0,071\) Ấn tiếp \(“=”\) ta thấy \(x_2= -2,8284\) Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là \(x_1= -0,71; x_2= -2,83\). Câu 11 trang 71 SGK Đại số 10 Giải các phương trình a) \(|4x-9| = 3 -2x\) b) \(|2x+1| = |3x+5|\) Trả lời: a) ĐKXĐ: \(3 - 2x ≥ 0 ⇔ x ≤{3 \over 2}\) Bình phương hai vế ta được: \((4x – 9)^2= (3-2x)^2\) \( \Leftrightarrow {(4x - 9)^2} - {(3 - 2x)^2} = 0\) \(⇔ (4x – 9 + 3 -2x)(4x – 9 – 3 + 2x) = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow (2x - 6)(6x - 12) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 3\text{ ( loại )} \hfill \cr x = 2 \text{ ( loại )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình vô nghiệm. b) Bình phương hai vế ta được \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x + 1 = 3x + 5 \hfill \cr 2x + 1 = - 3x - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr 5x = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr x = - 1,2 \hfill \cr} \right.\) Câu 12 trang 71 SGK Đại số 10 Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp. a) Chu vi \(94,4m\) và diện tích là \(494,55m^2\) b) Hiệu của hai cạnh là \(12,1m\) và diện tích là \(1089m^2\) Trả lời: Gọi hai cạnh của mảnh vườn theo thứ tự là \(x, y\). Điều kiện \(x,y\) nguyên dương a) Chu vi \(94,4m\) nên ta có: \(x + y = {{94,4} \over 2}=47,2\); Diện tích là \(494,55m^2\) nên ta có: \(x.y = 494,55\) Theo định lí Vi-ét thì \(x, y\) là các nghiệm của phương trình: \(X^2-47,2X + 494,55 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 15,7 \hfill \cr X = 31,5 \hfill \cr} \right.\) Vậy chiều rộng là \(15,7m\), chiều dài là \(31,5m\). b) Hiệu của hai cạnh là \(12,1m\) ta có: \(x – y = 12,1\); Diện tích là \(1089m^2\) nên ta có: \(x.y = 1089 \Leftrightarrow x(-y) = -1089\) \(x\) và \(–y \) là các nghiệm của phương trình: \(X^2– 12,1X – 1089 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = -27,5 \hfill \cr X = 39,6 \hfill \cr} \right.\) Vậy chiều rộng là \(27,5m\); chiều dài là \(39,6m\). Giaibaitap.me Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Bài 1 trang 87 sgk đại số 10 Tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau: a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\) b) \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\) c) \(2|x| - 1 + \sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\) d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\) Giải a) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|x \ne 0,x + 1 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) b) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|{x^2} - 4 \ne 0,{x^2} - 4x + 3 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\) c) ĐKXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \) d) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in \mathbb R|x + 4 \ne 0,1 - x \ge 0} \right\} = ( - \infty ; - 4) \cup ( - 4;1]\) Bài 2 trang 88 sgk đại số 10 Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm. a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\) b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\) c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\) Giải a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\) Gọi \(D\) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \(D = [- 8; +∞)\). Vế trái dương với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm. b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\) Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\), \(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\) Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\) Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\). Bất phương trình vô nghiệm. c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\) \(\eqalign{ & 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr & \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \) \( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) Vô nghiệm. Bài 3 trang 88 sgk đại số 10 Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương? a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\); b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\); c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\) d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\). Giải a) Tương đương. Vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \(-1\) và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2. b) Chuyển vế các hạng tử vế phải sang vế trái ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ hai tương đương. c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{x^{2}+1} > 0\) với mọi \(x\) ta được bất phương trình thứ 3. d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: \(D =[1;+\infty)\). \(2x + 1 > 0 , ∀x ∈ D\). Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \((2x + 1) \) ta được phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình tương đương. Bài 4 trang 88 sgk đại số 10 Giải các bất phương trình sau a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\) b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\). Giải a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}<0\) \( \Leftrightarrow 12\left [ \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}\right ]<0\) \( \Leftrightarrow 6(3x + 1) - 4(x - 2) - 3(1 - 2x) < 0\) \( \Leftrightarrow 20x + 11 < 0\) \( \Leftrightarrow20x < - 11\) \( \Leftrightarrow x < -\frac{11}{20}.\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { - \infty ; - {{11} \over {20}}} \right)\) b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\) \( \Leftrightarrow 2x^2+ 5x – 3 – 3x + 1 ≤ x^2+ 2x – 3 + x^2- 5\) \( \Leftrightarrow 0x ≤ -6\) ( Vô nghiệm). Vậy bất phương trình vô nghiệm. Bài 5 trang 88 sgk đại số 10 Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} 15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ 2(x-4))< \frac{3x-14}{2}. \end{matrix}\right.\) Giải a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\) \(6x + \frac{5}{7}< 4x + 7 \Leftrightarrow 6x - 4x < 7 - \frac{5}{7} \Leftrightarrow x < \frac{22}{7}\) (1) \(\frac{8x+3}{2} < 2x +5 \Leftrightarrow 4x - 2x < 5 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\) (2) Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình: \(T= (-\infty ;\frac{22}{7})\) ∩ \((-\infty ;\frac{7}{4})\) = \((-\infty ;\frac{7}{4})\). b) \(15x - 2 > 2x + \frac{1}{3} \Leftrightarrow x > \frac{7}{39}\) (1) \( 2(x - 4) < \frac{3x-14}{2} \Leftrightarrow x < 2\) (2) Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình là: \(S = \left ( \frac{7}{39} ; +\infty \right ) ∩ (-∞; 2) = \left ( \frac{7}{39} ; 2\right ).\) Giaibaitap.me Page 20
Page 21
Bài 1 trang 99 SGK đại số 10 a) \(- x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)\); b) \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3\). Giải a) \(- x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) \Leftrightarrow y < -\frac{x}{2}+2.\) Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left\{ {(x;y)|x \in\mathbb R;y < - {x \over 2} + 2} \right\}\) Để biểu diễn tập nghiệm \(T\) trên mặt phẳng tọa độ, ta thực hiện: + Vẽ đường thẳng \((d): y= -\frac{x}{2}+2.\) + Lấy điểm gốc tọa độ \(O(0; 0)\) \(\notin (d)\). Ta thấy: \(0 < -\frac{1}{2} - 0 + 2\). Chứng tỏ \((0; 0)\) là một nghiệm của bất phương trình. Vậy nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \((d)\) (không kể bờ) chứa gốc \(O(0; 0)\) là tập hợp các điểm biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình đã cho (nửa mặt phẳng không bị gạch sọc) b) \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 3x - 3 + 4y - 8 - 5x + 3 < 0 \cr & \Leftrightarrow - 2x + 4y - 8 < 0 \cr & \Leftrightarrow x - 2y + 4 > 0 \cr} \) Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left\{ {(x;y)|x,y \in\mathbb R;x - 2y > 0} \right\}\) +) Vẽ đường thẳng \((\Delta): x-2y+4=0\) +) Lấy điểm \(O(0;0)\) \(\notin (\Delta)\) Ta thấy \(0-2.0+4=4>0\). Chứng tở \((0;0)\) là một nghiệm của bất phương trình. Vậy nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \((\Delta)\) (không kể bờ) chứa gốc \(O(0; 0)\) là tập hợp các điểm biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình đã cho (nửa mặt phẳng không bị gạch sọc) Bài 2 trang 99 SGK đại số 10 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau. a) \(\left\{\begin{matrix} x-2y<0\\ x+3y>-2 \\ y-x<3; \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\leq 2 \\ x\geq 0. \end{matrix}\right.\) Giải a) \(\left\{ \matrix{x - 2y < 0 \hfill \cr x + 3y > - 2 \hfill \cr y - x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y > {1 \over {2x}}} \cr {y > - {1 \over 3}x - {2 \over 3}} \cr {y < x + 3} \cr} } \right.\) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch sọc ở hình bên dưới (không kể các bờ). b) \(\left\{ {\matrix{{{x \over 3} + {y \over 2} - 1 < 0} \cr {x + {1 \over 2} - {{3y} \over 2} \le 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ {\matrix{{y < - {2 \over 3}x + 2} \cr {y \ge {2 \over 3}x - 1} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.\) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\) bao gồm cả các điểm trên cạnh \(AC\) và cạnh \(BC\) (không kể các điểm của cạnh \(AB\)). Bài 3 trang 99 SGK đại số 10 Có ba nhóm máy \(A, B, C\) dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau: Một đơn vị sản phẩm I lãi \(3\) nghìn đồng, một sản phẩm II lãi \(5\) nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất. Giải Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất. Khi đó số lãi nhà máy nhân được là \(P = 3x + 5y\) (nghìn đồng). Các đại lượng \(x, y\) phải thỏa mãn các điều kiện sau: (I) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ 2x-2y\leq 10 \\ 2y\leq 4 \\2x+4y\leq 12 \end{matrix}\right.\) (II) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ y\leq 5-x \\ y\leq 2 \\y\leq-\frac{1}{2}x+3 \end{matrix}\right.\) Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là đa giác \(OABCD\) (kể cả biên). Biểu thức \(F = 3x + 5y\) đạt giá trị lớn nhất khi \((x; y)\) là tọa độ đỉnh \(C\). (Từ \(3x + 5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{5}x.\) Các đường thẳng qua các đỉnh của \(OABCD\) và song song với đường \(y = -\frac{3}{5}x\) cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ lớn nhất là đường thẳng qua đỉnh \(C\)). Phương trình hoành độ điểm \(C\): \(5 - x = -\frac{1}{2}x +3 \Leftrightarrow x = 4\). Suy ra tung độ điểm \(C\) là \(y_C= 5 - 4 = 1\). Tọa độ \(C(4; 1)\). Vậy trong các điều kiện cho phép của nhà máy, nếu sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm đơn vị loại II thì tổng số tiền lãi lớn nhất bằng: \( F_C= 3.4 + 5.1 = 17\) nghìn đồng. Giaibaitap.me Page 22
Bài 1 trang 105 SGK Đại số 10 Xét dấu các tam thức bậc hai a) \({x^{2}}-3x + 1\); b) \(- 2{x^2} + 3x + 5\); c) \({x^2} +12x+36\); d) \((2x - 3)(x + 5)\). Giải a) \({x^{2}}-3x + 1\) \(∆ = (- 3)^2– 4.5 < 0 \Rightarrow 5x^2- 3x + 1 > 0 , ∀x ∈\mathbb R\) (vì luôn cùng dấu với \(a=5 > 0\)). b) \(- 2{x^2} + 3x + 5\) \( - 2{x^2} + 3x + 5=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\) \( - 2{x^2} + 3x + 5 <0\) với \(x \notin \left [ -1;\frac{5}{2} \right ]\) \( - 2{x^2} + 3x + 5 >0\) với \(- 1 < x < \frac{5}{2}\). c) \({x^2} +12x+36\) \(\Delta ' = {6^2} - 1.36 = 0\) \({x^2} + 12x + 36 = 0 \Leftrightarrow x = - 6\) Do đó: \({x^2} + 12x + 36 > 0, ∀x ≠ - 6\). d) \((2x - 3)(x + 5)=2x^2+7x-15\) \((2x - 3)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 5 \hfill \cr x = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Hệ số của tam thức là: \(a=2 > 0\). Do đó: \((2x - 3)(x + 5) > 0\) với \(x \notin \left[-5;\frac{3}{2}\right]\) \((2x - 3)(x + 5) < 0\) với \(x \notin \left(-5;\frac{3}{2}\right).\) Bài 2 trang 105 SGK Đại số 10 Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\); b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)\); c) \(f(x) = (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)\); d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}.\) Giải a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\) \(3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 3} \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.\) \(4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 4}\) Bảng xét dấu: Kết luận: \(f(x) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right) \cup \left( {{5 \over 4};3} \right)\) \(f(x) > 0\) với \(x \in \left( {{1 \over 3};{5 \over 4}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr x = 1 \hfill \cr x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: c) \(f(x) = (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 2} \hfill \cr x = - {1 \over 2} \hfill \cr x = - {9 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \sqrt 3 \hfill \cr x = - \sqrt 3 \hfill \cr x = {1 \over 3} \hfill \cr x = 0 \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: Bài 3 trang 105 SGK Đại số 10 Giải các bất phương trình sau a) \(4{x^2} - x + 1 < 0\); b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\); c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4};\) d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\). Hướng dẫn. a) Tam thức \(f(x) =4{x^2} - x + 1 < 0\) có hệ số \(a = 4 > 0\) biệt thức \(∆ = (-1)^2- 4.4.1 < 0\). Do đó \(f(x) > 0 ,∀x ∈\mathbb R\). Bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\) vô nghiệm. b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\) \(f(x) = - 3{x^2} + x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Do đó: \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le {4 \over 3}\) c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{3}{3x^{2}+x-4}< 0\) \( \Leftrightarrow \frac{x+8}{(x^{2}-4)(3x^{2}+x-4)}< 0\) Lập bảng xét dấu vế trái: Tập nghiệm của bất phương trình \(S = (-∞; - 8) ∪ \left(- 2; -\frac{4}{3}\right) ∪ (1; 2)\). d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\) \(x^2- x - 6 =0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 3 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\) Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S =[- 2; 3]\). Bài 4 trang 105 sgk đại số 10 Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các phương trình sau vô nghiệm a) \((m - 2)x^2+ 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0\); b) \((3 - m)x^2- 2(m + 3)x + m + 2 = 0\). Giải a) +) Với \(m = 2\) phương trình trở thành \(2x + 4 = 0\) có \(1\) nghiệm, do đó trường hợp này không thỏa mãn. +) Với \(m\ne 2\) Phương trình vô nghiệm nếu: \(\left\{\begin{matrix} m-2\neq 0\\ \Delta ^{'}=(2m-3)^{2}-(m-2)(5m-6)< 0 \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} m-2\neq 0\\ -m^{2}+4m-3< 0 \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow m < 1 ∪ m > 3\). b) +) Với \(m = 3\), phương trình trở thành: \(- 6x + 5 = 0\) có nghiệm. Loại trường hợp \(m = 3\). +) Với \(m\ne 3\) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 3 \hfill \cr \Delta ' = {(m + 3)^2} - (3 - m).(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 3 \hfill \cr 2{m^2} + 5m + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {3 \over 2} < m < - 1 \cr & \cr} \) Giaibaitap.me Page 23
Page 24
Page 25
Câu 9 trang 107 SGK Đại số 10 Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai. Trả lời: +) Nếu biệt số \(Δ\) của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+bx+c (a ≠0)\) là số âm thì \(a.f(x)>0, ∀x\in \mathbb R\) +) Nếu \(Δ=0\) thì \(a.f(x) >0,∀x\in \mathbb R \backslash\left\{{{ - b} \over {2a}}\right\}\) +) Nếu biệt số \(Δ>0\) thì i) \(a.f(x)>0\) khi \(x ∉[x_1;x_2]\) ii) \(a.f(x)>0\) khi \(x \in (x_1;x_2)\) (\(x_1;x_2\) là hai nghiệm của \(f(x)\) với \(x_1 Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10 Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \) Trả lời: Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) ( ta có \(x>0\) và \(y>0\)) \({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y};{b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\) Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1) Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\) (Bất đẳng thức Cô-si) Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\) Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\) \(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \) Câu 11 trang 107 SGK Đại số 10 a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2= (a-b)(a+b)\), hãy xét dấu \(f(x)= x^4– x^2+6x – 9\) và \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\) b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: \(x(x^3– x + 6) > 9\) Trả lời: a) \(f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)\) \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\)) Suy ra \(f(x)>0\) với \(x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\) hoặc \(x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2}\) \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\) = \({{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}} = {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}\) Bởi vì \(x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R\) nên dấu của \(g(x)\) là dấu của \({{{x^2} - 2x - 2} \over {{x^2} - 2x}}\) Lập bảng xét dấu: b) \(\eqalign{ & x({x^3} - x + 6) > 9 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0 \Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0 (1) \cr} \) Vì \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\)) Do đó (1) \(\Leftrightarrow ({x^2} + x - 3) > 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.\) Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}\) Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10 Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\) Trả lời: Biệt thức của tam thức vế trái: \({\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right)}^2}-{\rm{ }}4{b^2}{c^2}}\) \({ = {\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^{2}} + {\rm{ }}2bc} \right){\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2} - 2bc} \right)}\) \({ = {\rm{ }}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}\) \({ = {\rm{ }}\left( {b + a + c} \right)\left( {b + c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c + a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right){\rm{ }} < 0}\) (vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba \(b+a+c>0; b+c – a>0; b – c+a>0; b – c – a<0\)) Do đó tam giác cùng dấu với \(b^2>0, ∀x\). Nghĩa là: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\) Giaibaitap.me Page 26
|
