Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian.
Tài liệu gồm lý thuyết, phân dạng, hướng dẫn giải, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và bài tập trắc nghiệm có đáp án chủ đề phương trình đường thẳng trong không gian. Các dạng toán trong tài liệu:
+ Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng + Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng + Dạng 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng + Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng + Dạng 5: Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng + Dạng 6: Hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng + Dạng 7: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Dạng 8: Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
....
Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn!
Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: //bit.ly/3g8i4Dt.
Tải tại đây.
THEO THUVIENTOAN.NET
A. Lý thuyết cơ bản
1. Phương trình đường thẳng
-
- Đường thẳng đi qua điểm và có có phương trình tham số là
.
-
- Nếu thì được gọi là phương trình chính tắc của .
-
- Đường thẳng .
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng đi qua , có và đường thẳng đi qua và có .
-
* Trường hợp 1: và đồng phẳng .
-
+ và cắt nhau .
-
+ và song song với nhau .
-
+ và trùng nhau .
-
-
* Trường hợp 2: và chéo nhau .
Khi và có phương trình và .
Khi đó số nghiệm của hệ phương trình bằng số giao điểm của và .
Trong trường hợp hệ vô nghiệm thì và song song với nhau hoặc chéo nhau. Nếu cùng phương thì // .
3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho mặt phẳng và đường thẳng .
Xét phương trình [ẩn t] [*]
-
+ // vô nghiệm. Khi đó [ là một của ].
-
+ cắt có đúng một nghiệm.
cùng phương [ của là một của ].
-
+ có vô số nghiệm. Khi đó .
4. Khoảng cách
-
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua và có và điểm .
.
-
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau và . đi qua điểm và có , đi qua điểm và có .
.
-
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng .
5. Góc
-
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng và có hai lần lượt là và .
Góc giữa hai đường thẳng và bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto và .
, .
-
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng có và mặt phẳng có .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên .
, .
B. Bài tập
Dạng 1. Lập phương trình đường thẳng biết VTCP
A. Phương pháp
-
- Đường thẳng đi qua điểm và có có phương trình tham số là
- .
-
- Nếu thì có phương trình chính tắc là .
-
- Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt có vecto chỉ phương .
-
- Đường thẳng .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương . Đường thẳng có phương trình tham số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương là .
Ví dụ 1.2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương là .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và . Giao tuyến của và có phương trình tham số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Cách 1:
Xét hệ .
Cho thay vào [*] tìm được .
Đặt .
Cho thay vào [*] tìm được .
Đặt là một vecto chỉ phương của .
Như vậy, phương trình tham số của là .
Cách 2:
Xét hệ .
Cho thay vào [*] tìm được .
Đặt .
có vecto pháp tuyến .
có vecto pháp tuyến .
chọn là một vecto pháp tuyến của .
Như vậy, phương trình tham số của là .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.4 [THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Viết phương trình trung tuyến đỉnh của tam giác .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Gọi là trung điểm của cạnh , ta có là vecto chỉ phương của đường thẳng .
Do đó phương trình đường trung tuyến là .
Chọn đáp án B.
Dạng 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 2.1 [THPT Chuyên Bắc Giang 2017 Lần 1] Cho đường thẳng và mặt phẳng . Xét vị trí tương đối của và .
A. nằm trên . B. // .
C. cắt và không vuông góc với . D. .
Lời giải:
Đường thẳng đi qua và có , mặt phẳng có một .
Ta có .
Do đó song song hoặc nằm trên .
Mặt khác .
Vậy nằm trên . Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng có phương trình là và mặt phẳng có phương trình . Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Cách 1 [Tự luận]
Xét phương trình .
Thay vào phương trình đường thẳng , ta được tọa độ giao điểm của và là .
Cách 2 [Trắc nghiệm]
Vì Loại đáp án A và B.
nên thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng có phương trình và điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
là của đường thẳng .
Vì nên cũng là của .
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có là:
.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.4: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng .
Vì cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng .
Vậy phương trình đường thẳng là .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.5 [Chuyên Bắc Giang 2017 Lần 1] Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng và chứa đường thẳng .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương .
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến .
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm và có vecto pháp tuyến có phương trình là . Chọn C.
Dạng 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng
A. Phương pháp
-
+ cùng phương [có cùng vecto chỉ phương].
-
+ .
-
+ Tọa độ thỏa mãn phương trình tham số của và .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1 [THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. và vuông góc với nhau và cắt nhau. B. .
C. và chéo nhau. D. .
Lời giải:
Đường thẳng có vecto chỉ phương .
Đường thẳng có vecto chỉ phương .
Ta thấy và không cùng phương nên đáp án B, C sai.
Phương trình tham số .
Xét hệ hệ vô nghiệm.
Suy ra và chéo nhau. Chọn đáp án C.
Ví dụ 3.2: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có là một vecto chỉ phương của đường thẳng .
Vì cũng là một vecto chỉ phương của đường thẳng .
Vậy phương trình của đường thẳng là .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3.3: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Gọi là đường thẳng đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng tại .
.
là vecto chỉ phương của .
Vì .
Do đó vecto chỉ phương của là .
Phương trình tham số của là .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , đi qua giao điểm của và , đồng thời vuông góc với ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Gọi là giao điểm của và .
. Do đó .
có vecto chỉ phương có vecto chỉ phương có vecto chỉ phương .
Phương trình đường thẳng là . Chọn đáp án A.
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng
A. Phương pháp
-
- Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng không song song với nhau .
-
- Tọa độ thỏa mãn phương trình tham số của và .
-
- Viết phương trình đường thẳng là đường vuông góc chung của chéo nhau.
-
+ Chuyển về dạng tham số.
-
+ Giả sử Tọa độ theo .
-
+ Từ điều kiện .
-
+ chính là đường thẳng đi qua hai điểm .
-
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 4.1: Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là và . Phương trình của đi qua và vuông góc với cả là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Vecto chỉ phương của là .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4.2 [THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng . Đường thẳng qua cắt lần lượt tại và . Tính độ dài đoạn thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Giả sử .
.
Ta có .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vuông góc với và cắt trục .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Gọi là giao điểm của đường thẳng với trục . Khi đó, đường thẳng nhận vecto làm vecto pháp tuyến. Vì đường thẳng vuông góc với đường thẳng nên .
Đường thẳng nhận vecto làm vecto pháp tuyến có phương trình.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 4.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Lập phương trình đường vuông góc chung của và .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đường thẳng có vecto chỉ phương lần lượt là .
Giả sử .
.
.
là đoạn vuông góc chung của
.
Phương trình đường vuông góc chung của là .
Dạng 5. Khoảng cách – Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Ví dụ 5.1: Trong không gian tọa độ , cho hai đường thẳng và . Tính khoảng cách giữa và .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Ta thấy và là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc và tính khoảng cách từ điểm đó đến .
Gọi
Ta có: .
Vecto chỉ phương của là .
Vậy .
Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ , tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đường thẳng có vecto chỉ phương . Gọi điểm .
Ta có .
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng vuông góc với và cắt tại một điểm cách một khoảng bằng 2.
A. . B. .
C. . D. Cả A, B đều đúng.
Lời giải:
Vì là một vecto chỉ phương của .
Giả sử .
Ta có .
Với .
Với .
Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và các điểm . Trong tất cả các đường thẳng đi qua và song song với mặt phẳng , gọi là đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Vì nên hai điểm khác phía so với . Gọi là hình chiếu của lên .
Ta có nên khoảng cách từ đến lớn nhất khi và chỉ khi .
Khi đó .
Vecto pháp tuyến của là .
.
Vecto chỉ phương của là .
Mà qua nên chọn B.
Dạng 6. Góc giữa hai đường thẳng – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
A. Phương pháp
-
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng và có hai lần lượt là và .
Góc giữa hai đường thẳng và bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto và .
, .
-
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng có và mặt phẳng có .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên .
, .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 6.1: Trong không gian với hệ tọa độ , số đo của góc tạo bởi hai đường thẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Vecto chỉ phương của là .
Vecto chỉ phương của là .
Ta có
Vậy góc tạo bởi và là .
Chọn A.
Ví dụ 6.2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Với giá trị nào của m thì và hợp với nhau một góc ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Vecto chỉ phương của là .
Vecto chỉ phương của là .
Ta có
Chọn A.
Ví dụ 6.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Vecto chỉ phương của đường thẳng d là .
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là .
Ta có .
Chọn B.
Ví dụ 6.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng có phương trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A[3; 2; 2], vuông góc với đường thẳng d và tạo với đường thẳng d’ một góc .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương .
Gọi là một vecto chỉ phương của đường thẳng .
Ta có .
.
+ Với . Chọn .
Khi đó phương trình tham số của là .
+ Với . Chọn .
Khi đó phương trình tham số của là .
Chọn A.