Biện luận hệ phương trình là gì

Giải và biện luận phương trình bậc hai là biện luận theo tham số cho trước số nghiệm của một phương trình bậc hai.

Giải và biện luận phương trình bậc hai là dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường, thành phố, tỉnh trên toàn quốc. Dạng bài này thường xuất hiện ở bài số 3 ý số hai cùng với bài giải phương trình hệ số hằng. Dạng toán này thường kết hợp với một ý ví dụ như xét dấu các nghiệm, hoặc tìm tham số \(m\) để các nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.... làm thành một câu chiếm 0,5 điểm của bài thi. 

Đây là dạng toán mức độ tương đối khó, yêu cầu học sinh cần phải có kiến thức vững về định nghĩa phương trình bậc hai, các trường hợp có nghiệm của phương trình bậc hai. Học sinh muốn đạt mức điểm từ 6 đến 7 thì cần thiết phải tốt dạng toán này.

Trong một đề thi tốt nhất ta nên trình bày và giải bài toán này trong tối đa 10 phút.

Phương pháp giải: [edit]

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 \) với \(a\ne 0\)

Tìm điều kiện tham số sao cho:

Dạng 1. Phương trình vô nghiệm điều kiện là: \(\Delta <0\) (hoặc \(\Delta'<0\)).

Dạng 2. Phương trình có nghiệm, điều kiện là: \(\Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta'\ge 0 \)).

Dạng 3. Phương trình có nghiệm kép, điều kiện là: \(\Delta=0\) (hoặc \(\Delta'=0\)).

Dạng 4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là: \(\Delta >0\) (hoặc \(\Delta'>0 \)).

Chú ý:

Trong trường hợp hệ số \(a\) có chứa tham số, chúng ta cần xét hai trường hợp (với \(a=0\) và với \(a\ne 0\) ), khi đó:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, bao gồm:

1.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \(a\ne 0\).

1.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, tương ứng \( \Delta >0\).

Do đó ta có hệ điều kiện là \( \left\{\begin{array}{ll} a\ne 0\\ \Delta >0 \end{array}\right. \)

2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép bao gồm:

2.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \(a\ne 0\).

2.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép, tương ứng \(\Delta=0 \).

Do đó ta có hệ điều kiện là: \( \left\{\begin{array}{ll}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.\)

Các lỗi sai thường gặp [edit]

- Khi xét một phương trình dạng \( ax^2+bx+c= 0 \), trong đó hệ số \(a\) có chứa tham số, học sinh thường quên xét điều kiện \(a\ne 0\)

- Điều kiện để phương trình có nghiệm khác với điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt. Cụ thể: 

Phương trình có nghiệm thì điều kiện là : \( \Delta \ge 0 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì điều kiện là \( \Delta>0 \)

Ví dụ minh họa: [edit]

Ví dụ 1:

Cho phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(m\)\(x^2+2mx+4m-3=0\).

Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Do hệ số \(x^2\)\(1\ne 0\) nên bài toán này thuộc dạng 4. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta' >0\).

Ta có \(\Delta'=m^2-1(4m-3)=m^2-4m+3\).

Để giải bất phương trình \(\Delta' >0 \) việc đầu tiên ta nên nghĩ đến là phân tích \(\Delta'\) thành nhân tử.

Thật vậy \(\Delta'=m^2-4m+3=(m^2-m)-(3m-3)=m(m-1)-3(m-1)=(m-1)(m-3) \).

Xét bất phương trình \( \Delta' <0 \Leftrightarrow (m-1)(m-3)<0 \)

Ta coi \(m-1,\,m-3\) là hai số thực, tích lớn hơn \(0\) khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

 Do đó có các trường hợp:

Trường hợp 1: 

\( \left\{\begin{array}{ll}m-1<0\\m-3<0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m<1\\m<3\end{array}\right. \Leftrightarrow m<1 \)

\( \left\{\begin{array}{ll}m-1>0\\m-3>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m>1\\m>3\end{array}\right. \Leftrightarrow m>3 \)

Do đó điều kiện để để \(\Delta' >0\) hay phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(m<1\) hoặc \(m>3\)


Page 2

10:00:1613/07/2021

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số ở lớp 9 là một trong những dạng toán xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đối với các dạng toán chứa tham số, tất nhiên thường sẽ có độ khó hơn một chút với dạng toán cơ bản.

Bài tập hệ phương trình chứa tham số m thường có một số dạng như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,...

» Đừng bỏ lỡ: Hai cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn cực dễ hiểu

• Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thay giá trị của m vào hệ phương trình đã cho.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình vừa nhận được theo các phương pháp đã biết.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Biện luận hệ phương trình là gì

Giải hệ phương trình với m = 1.

* Lời giải:

- Với m = 1 ta có hệ: 

Biện luận hệ phương trình là gì

Cộng vế với vế pt(1) và pt(2) của hệ, ta được:

 

Biện luận hệ phương trình là gì

3x = 9 ⇔ x = 3 ⇒ y = 4 - 3 = 1.

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;1).

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

Biện luận hệ phương trình là gì

Giải hệ phương trình trên với m = 2.

* Lời giải:

- Khi m = 2 hệ phương trình có dạng: 

Biện luận hệ phương trình là gì

Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm 

Biện luận hệ phương trình là gì

Biện luận hệ phương trình là gì

• Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số).

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. (sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,...)

+ Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, (với a, b là hằng số) (*).

- TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y.

- TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

- TH3: Nếu a = 0, b = 0  thì phương trình (*) có vô số nghiệm.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình:

Biện luận hệ phương trình là gì

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên theo tham số m.

* Lời giải:

- Từ PT (1) của hệ ta có: y = (m + 1)x - (m + 1); (3)

thế vào PT 2) ta được:

 x + (m - 1)[(m + 1)x - (m + 1)] = 2

 ⇔ x + (m2 - 1)x - (m2 - 1) = 2

 ⇔ m2x = m2 + 1.  (4).

- TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất:

Biện luận hệ phương trình là gì
 thay vào (3) ta có:

 

Biện luận hệ phương trình là gì
 
Biện luận hệ phương trình là gì

 

Biện luận hệ phương trình là gì

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Biện luận hệ phương trình là gì

- TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.

⇒ Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

- Kết luận:

 Với m ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Biện luận hệ phương trình là gì
.

 Với m = 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

• Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm(x; y) theo tham số m;

+ Bước 2: Thế nghiệm (x; y) vào biểu thức điều kiện cho trước rồi giải tìm m;

+ Bước 3: Kết luận giá trị m.

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Biện luận hệ phương trình là gì

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.

* Lời giải:

- Nhân PT (1) với 2 và PT (2) với 1, ta được:

 

Biện luận hệ phương trình là gì

Cộng vế với vế của PT (3) và PT (4), ta được:

 7x = 7m + 7 ⇔ x = m + 1

 ⇒ 2y = 3m + 1 - x = 3m + 1 - (m + 1) = 2m.

 ⇒ y = m.

 Thế x = m + 1 và y = m vào điều kiện yêu cầu được: (m + 1)2 + (m)2 = 5

⇔ m2 + 2m + 1 + m2 = 5 ⇔ 2m2 + 2m - 4 = 0

⇔ m2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = -2 (nhẩm theo Vi-ét, thấy phương trình bậc 2 theo m có a - b + c = 0).

- Kết luận: Vậy với m = 1 hoặc m = - 2 thì phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.

Khi đó có thể thấy cặp nghiệm tương ứng của hệ là (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (-1;-2)

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 

Biện luận hệ phương trình là gì

Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mã (x + y) đạt giá trị nhỏ nhất:

* Lời giải:

- Theo lời giải của phần ví dụ ở dạng 2 ta đã giải hệ trên có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0 là:

Biện luận hệ phương trình là gì

Ta có: 

Biện luận hệ phương trình là gì
 
Biện luận hệ phương trình là gì

Đặt

Biện luận hệ phương trình là gì
 ta được:

 

Biện luận hệ phương trình là gì

Biện luận hệ phương trình là gì

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

 

Biện luận hệ phương trình là gì

- Kết luận: Vậy với m = -4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN bằng 7/8.

• Dạng 4: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m;

+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

+ Bước 3: Kết luận.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình:

Biện luận hệ phương trình là gì

a) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi giá trị của m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m.

* Lời giải:

a) Ta có: 

Biện luận hệ phương trình là gì
 
Biện luận hệ phương trình là gì

Từ PT: m(1-my) - y = - m

 ⇔ m -m2y - y = -m ⇔ 2m = y(m2 + 1)

 

Biện luận hệ phương trình là gì
 
Biện luận hệ phương trình là gì

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: 

Biện luận hệ phương trình là gì

 b) Ta thấy:

 

Biện luận hệ phương trình là gì

 

Biện luận hệ phương trình là gì
Biện luận hệ phương trình là gì

- Kết luận: Vậy x2 + y2 = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m.

• Bài tập về hệ phương trình chứa tham số (tự giải)

* Bài tập 1: Cho hệ phương trình (a là tham số): 

Biện luận hệ phương trình là gì

a) Giải hệ phương trình với a = 2.

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa x.y<0

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệp duy nhất thỏa x =|y|.

* Bài tập 2: Cho hệ phương trình (m là tham số):

Biện luận hệ phương trình là gì

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x≥2 và y≥1.

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình (a là tham số): 

Biện luận hệ phương trình là gì

a) Giải hệ phương trình khi a = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì hệ PT luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.

* Đáp án bài tập về hệ phương trình tham số

- Đáp án bài tập 1:

a) Nghiệm (x;y) = (1;-2)

b) Với m>4/5 thì x.y<0

c) Với m = 7/5 thì hệ pt có nghiệm thỏa x = |y|.

* Đáp án bài tập 2:

a) Nghiệm (x;y) = (7/4;3/4)

b) Với m<-1thì hệ pt có nghiệm thỏa x≥2 và y≥1.

* Đáp án bài tập 3:

a) Nghiệm (x;y) = (1;1)

b) 2x + y = 3 - (m - 2)2 ≤ 3 với mọi m.

Tóm lại, với bài viết Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m ở trên, HayHocHoi hy vọng sẽ giúp các em có thể vận dụng để giải được một số dạng bài tập như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,...