Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a] Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b] Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm [hay biểu diễn miền nghiệm] của bất phương trình ax + by ≤ c như sau: Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm M0[x0; y0] không thuộc ∆ [lấy tọa độ có nhiều số 0 nhất có thể] Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh với c. Bước 4. Kết luận. Nếu ax0 + by0 c thì nửa mặt phẳng kể cả bờ ∆ không chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c. Miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của phương trình ax + by 0. b] Cho hai điểm A[2; 1] và B[3; 3], hỏi hai điểm này cùng phía hay khác phía đối với bờ [d]. Lời giải. a] Vẽ đường thẳng d : −2x + 3y = 0. Thay tọa độ điểm M[1; 0] vào vế trái phương trình đường thẳng [d], ta được: −2 < 0. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm M. [Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ]. b] Thế tọa độ điểm A vào vế trái của phương trình đường thẳng [d] ta được −2.2 + 3.1 = −1 0. [2]. Từ [1] và [2] suy ra hai điểm nằm ở hai phía đối với bởi [d]. BÀI TẬP TỰ LUYỆN [Cho mỗi dạng]. Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 3 y ≥ 1 − x + 1 ⇔ 2x + y ≥ 1. Vẽ đường thẳng d : 2x + y = 1. Thay tọa độ điểm O[0; 0] vào vế trái phương trình đường thẳng [d], ta được: 0 < 1. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O, kể cả bờ [d]. [Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ]. Bài 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn −2017x − 2018y ≤ 2016y. −2017x − 2018y ≤ 2016y ⇔ −x − 2y ≤ 0 Vẽ đường thẳng d: −x − 2y = 0. Thay tọa độ điểm M[1; 0] vào vế trái phương trình đường thẳng [d], ta được: −1 < 0. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm M, kể cả bờ [d]. [Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ].
Bài 3. a] Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x3 + y6 < 1. b] Tìm điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình trên. Biết rằng điểm A là giao điểm của parabol [P] có dạng y = x2 − 5x + 4 và trục hoành. Vẽ đường thẳng d : 2x + y = 6. Thay tọa độ điểm O[0; 0] vào vế trái phương trình đường thẳng [d], ta được: 0 < 6. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O. [Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ]. b] Điểm A nằm trên parabol [P] có dạng y = x2 − 5x + 4 và trục hoành nên hoành độ của A là nghiệm của phương trình x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1, x = 4. Suy ra ta được hai điểm [1; 0] và [4; 0]. Lần lượt thế tọa độ từng điểm vào vế trái của phương trình đường thẳng [d], do A thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho nên ta được A có tọa độ là [1; 0].
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Viết các bất phương trình trong hệ dưới dạng phương trình đường thẳng [thay dấu lớn, bé bởi dấu bằng]. Vẽ các đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định một điểm M thỏa các bất phương trình trong hệ. Lần lượt tô đậm các nửa mặt phẳng không chứa M và có bờ là các đường thẳng đã vẽ. Ta được miền nghiệm của hệ. BÀI TẬP DẠNG 2. Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x + y > 1, x − y < 2. Vẽ các đường thẳng d1 : x + y = 1; d2 : x − y = 2. Vì điểm M[0, 2] có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ và không chứa các tia giới hạn miền là miền nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x + y 1, y > −1. Lời giải. Vẽ các đường thẳng d1 : x + y = 2, d2 : x − y = 1, d3 : y = −1. Vì điểm M có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2, d3 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ, không bao gồm các đoạn giới hạn miền là miền nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau 2x + 5y > 2, x − 3y ≥ 1, x + y < 3. Vẽ các đường thẳng d1 : 2x + 5y = 2, d2 : x − 3y = 1, d3 : x + y = 3. Vì điểm M[2, 0] có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2, d3 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ có chứa đoạn AC và không chứa các điểm A, C, không chứa các đoạn AB, BC là miền nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. Lời giải. Vẽ các đường thẳng d1 : 2x + y = 2, d2 : x − 2y = 1, d3 : y = 2, d4 : x = 3. Vì điểm M[2, 1] có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2, d3, d4 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho bao gồm các đoạn thẳng xác định miền.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x + 2y ≥ 1, 3x − y ≤ 2. Bài 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x − 2y −2, −x + y < 2. Bài 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau 3x + y ≤ 5, x + y ≤ 4. x ≥ 0, y ≥ 0. Bài 6. Xác định hình tính của đa giác biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau 2x + y ≥ 1, x − 2y ≥ −2, 2x + y ≤ 5. x ≤ 3. Hướng dẫn: đa giác biểu diễn miền nghiệm là hình thang vuông. Bài 7. Xác định hình tính của đa giác biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. Hướng dẫn: Đa giác biểu diễn miền nghiệm là hình bình hành.
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.. Bài 7 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 – Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
7. Cho hai phương trình \[2x + y = 4\] và \[3x + 2y = 5\].
a] Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b] Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
a] \[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} – 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}-{1 \over 2} y{\rm{ }} + {\rm{ }}2\].
Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:
\[\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = – 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\] hoặc \[\left\{ \matrix{x = – {1 \over 2}y + 2 \hfill \cr y \in R \hfill \cr} \right.\]
\[3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y = – {3 \over 2}x + {5 \over 2}\].
Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
\[\left\{ \matrix{ x \in R\hfill \cr
y = – {3 \over 2}x + {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
b] Vẽ [d1]: \[2x + y = 4\]
Quảng cáo– Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 4\] được \[A[0; 4]\].
– Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 2\] được \[B[2; 0]\].
Vẽ [d2]: \[3x + 2y = 5\]
– Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {5 \over 2}\] ,ta được \[M\left[ {0;{5 \over 2}} \right]\].
– Cho \[y = 0 \Rightarrow x = {5 \over 3}\] ,ta được \[N \left[ {{5 \over 3};0} \right]\].
Hai đường thẳng cắt nhau tại \[D[3; -2]\].
Thay \[x = 3, y = -2\] vào từng phương trình ta được:
\[2 . 3 + [-2] = 4\] và \[3 . 3 + 2 . [-2] = 5\] [thỏa mãn]
Vậy [x = 3; y = -2] là nghiệm chung của các phương trình đã cho.