Các dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất lớp 9

Tìm giá trị lớn nhất [GTLN] – giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức là một trong những dạng bài toán khó của chương trình toán trung học cơ sở. Dạng bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi và đề thi nâng cao từ lớp 6 đến lớp 9. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và một số bài tập minh họa đơn giản giúp các em có thể hiểu rõ hơn về dạng toán này nhé.

Dạng bài số 1: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tính chất ΙxΙ ≥ 0. Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức bất kì A về dạng A ≥ a [với một số a đã biết trước], từ đó có thể suy ra giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức A là a. Đối với bài tập đi tìm giá trị lớn nhất [GTLN], biến đổi biểu thức bất kì B về dạng B ≤ b , vậy giá trị lớn nhất [GTLN] của biểu thức B là b

Dạng bài số 2: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hai biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với những biểu thức có chứa hai hạng tử và là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, áp dụng tính chất:

Với mọi x,y ∈ Q, có:             Ιx+yΙ ≤ ΙxΙ + ΙyΙ

Ιx-yΙ ≥ ΙxΙ – ΙyΙ

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = [x-15]² – 12

B = -24 + Ιx-8Ι

C = 2[x-4]² + 19

D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

Gợi ý:

• Trong 2 ý a] và c] ta thấy hạng tử [x-15]² và hạng tử [x-4]² Ιx-8Ι[có chứa dấu giá trị tuyệt đối] luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.
• Đối với ý b] và d] là bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ xét theo 2 phương pháp tìm GTLN – GTNN cho bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải:

a] A=[x-15]² – 12

Vì [x-15]² ≥ 0 ∀ x ⇒ [x-15]² – 12 ≥ -12  ∀ x

⇒ A ≥ -12 ∀x

Dấu “=” xảy ra x – 15 = 0 ⇔ x =15

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của A = -12 khi x=15

b] B = -24 + Ιx-8Ι

Ta có: Ιx-8Ι ≥ 0  ∀ x ⇒ -24 + Ιx-8Ι ≥ -24  ∀ x

⇒B ≥ -24 ∀ x

Dấu “=” xảy ra x – 8 = 0 ⇔ x = 8

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của B = -2 khi x = 8

c] C = 2[x-4]² + 19

Ta có: [x-4]² ≥ 0  ∀x ⇒ 2[x-4]² ≥ 0  ∀x

⇒ 2[x-4]² ≥ 19  ∀x

⇒ C ≥ 19 ∀x

Dấu “=” xảy ra x – 4 = 0 ⇔ x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của C = 19 khi x=4

d] D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

Vì ΙxΙ = Ι-xΙ ⇒ Ιx-2019Ι = Ι[2019-x]Ι, ta có:

D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

D = Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ

Vì Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ ≥ Ιx-1 + 2019-xΙ

⇒ Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ ≥ 2018

⇒ D ≥ 2018

Vậy GTNN của D = 2018

Bài tập 2: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = 2Ι23x-1Ι – 4

 Vì: Ι23x-1Ι ≥ 0 ∀x ⇒ 2Ι23x-1Ι ≥ 0  ∀ x ⇒ 2Ι23x-1Ι – 4 ≥ -4

⇒ K ≥ -4 ∀x

Dấu “=” xảy ra 23x – 1 = 0 ⇔ x = 1⁄23

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của K = -4 khi x = 1⁄23

Dạng bài tập số 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một tam thức bậc hai

Biểu thức minh họa: ax² + bx + c. Đối với dạng bài tập có chứa biểu thức là tam thức bậc hai, ta sẽ biến đổi biểu thức đã cho về dạng bình phương của một tổng [hoặc một hiệu] cộng, trừ một số tự do.

Minh họa biểu thức sau biến đổi:

• d – [a±b]² ≤ d. d sẽ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
• [a±b]² ± e ≥ e. e sẽ là giá trị lớn nhất của biểu thức.

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức sau:

A = 2x² – 8x + 1

B = -5x² – 4x + 1

Lời giải:

A=2x² -8x +1 ⇔ A = 2[x-2]² – 7

Vì [x-2]² ≥ 0 ∀x ⇒ 2[x-2]² ≥ 0 ∀x ⇒ 2[x-2]² – 7 ≥ -7 ∀x

⇒ A – 7 ≥ -7 ∀x

Dấu “=” xảy ra x-2 = 0 ⇔ x=2

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của A = -7 khi x=2

B = -5x² – 4x + 1 ⇔ A = -5[x² +4⁄5 x] +1 = -5[x² + 2 2⁄5 x + 4⁄25] + 9⁄5 = -5[x +2⁄5]² + 9⁄5

Vì [x +2⁄5]² ≥ 0 ∀x ⇒ -5[x +2⁄5]² ≤ 0 ∀x ⇒ -5[x +2⁄5]² + 9⁄5  ≤ 9⁄5  ∀x

⇒ B ≤ 9⁄5  ∀x

Dấu “=” xảy ra x +2⁄5 = 0 ⇔ x = -2⁄5 

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của A = 9⁄5  khi x = 2⁄5 

Tìm giá tị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức [biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...] là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bạn đang xem: Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất lớp 9

Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất [GTLN, Max] và giá trị nhỏ nhất [GTNN, Min] của biểu thức [biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...] qua một số bài tập minh họa cụ thể.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]

- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2[x] + const ;[A biểu thức theo x, const = hằng số].

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = [x + 1]2 - 4

- Vì [x + 1]2 ≥ 0 ⇒ [x + 1]2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -[x - 3]2 + 4 = 4 - [x - 3]2

- Vì [x - 3]2 ≥ 0 ⇒ -[x - 3]2 ≤ 0 ⇒ 4 - [x - 3]2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức: 

- Tìm x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức [x2 + 2x + 5] đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = [x + 1]2 + 4

- Vì [x + 1]2 ≥ 0 nên [x + 1]2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

 

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]

- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

 

 hoặc 

- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta thấy: 

 

 

 Vì [x - 1]2 ≥ 0 ⇒ 2[x - 1]2 ≥ 0 ⇒ 2[x - 1]2 + 3 ≥ 3

 nên 

 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: 

 

 Vì [x - 1]2 ≥ 0 ⇒ -3[x - 1]2 ≤ 0 ⇒ -3[x - 1]2 + 5 ≤ 5

 nên 

 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có:

 

 

 

 

 nên giá trị nhỏ nhất của B là 

 đạt được khi:

 

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì 

 đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: 

 

 Lại có: 

 Dấu"=" xảy ra khi 

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]

- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm [bình phương, trị tuyệt đối,...] và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy [Cosi] cho hai số a, b không âm: 

 [Dấu "=" xảy ra khi a =b] hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 [dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0]; 

, [dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0].

Xem thêm: Top 20 Kỹ Năng Giải Quyết Vấn Đề Tiếng Anh Là Gì Mới Nhất 2021

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

- Vì a,b>0 nên 

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy [còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM [Arithmetic Means - Geometric Means]].