Cách chia đa thức cho đa thức bằng máy tính

Mục lục [show]

biến số [𝐵≠0], khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho 𝐴=𝐵.𝑄+𝑅, trong đó 𝑅=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. 

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B. 

Nếu 𝑅=0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. 

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

[𝐴3+𝐵3]:[𝐴+𝐵]=𝐴2−𝐴𝐵+𝐵2

[𝐴3−𝐵3]:[𝐴−𝐵]=𝐴2+𝐴𝐵+𝐵2

[𝐴2−𝐵2]:[𝐴+𝐵]=𝐴−𝐵

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

1. [125𝑥3+1]:[5𝑥+1]
2. [𝑥2–2𝑥𝑦+𝑦2]:[𝑦–𝑥]

Hướng dẫn giải:

1. [125𝑥3+1]:[5𝑥+1]=[[5𝑥]3+1]:[5𝑥+1]=[5𝑥]2−5𝑥+1=25𝑥2−5𝑥+1
2. [𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2]:[𝑦−𝑥]=[𝑥−𝑦]2:[−[𝑥−𝑦]]=−[𝑥−𝑦]=𝑦−𝑥

         Hoặc [𝑥2–2𝑥𝑦+𝑦2]:[𝑦−𝑥]=[𝑦2−2𝑥𝑦+𝑥2]:[𝑦−𝑥]

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức 

Phương pháp giải: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức 4𝑛3−4𝑛2−𝑛+4 chia hết cho biểu thức 2𝑛+1

Hướng dẫn giải:

Thực hiện phép chia 4𝑛3−4𝑛2−𝑛+4 cho  2𝑛+1 ta được:

4𝑛3−4𝑛2−𝑛+4=[2𝑛+1][𝑛2+1]+3

Từ đó suy  ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho  2𝑛+1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để   2𝑛+1 là ước của 3, ta được:

2𝑛+1=3⇔𝑛=1

2𝑛+1=1⇔𝑛=0

2𝑛+1=−3⇔𝑛=−2

2𝑛+1=−1⇔𝑛=−1

Vây 𝑛=1;𝑛=0;𝑛=2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải 

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Giải câu 67 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

1.  [x3 – 7x + 3 – x2] : [x – 3].
2. [2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x] : [x2 – 2].

Hướng dẫn giải:

1. [x3 – 7x + 3 – x2] : [x – 3]

     2. [2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x] : [x2 – 2]

Giải câu 69 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

Cho hai đa thức 𝐴=3𝑥4+𝑥3+6𝑥−5 và 𝐵=𝑥2+1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng 𝐴=𝐵.𝑄+𝑅

Hướng dẫn giải:

Để có thể tìm được dư R và Q thì ta cần đặt phép tính và thực hiện phép chia đa thức:

Phép chia đa thức  𝐴=3𝑥4+𝑥3+6𝑥−5 cho 𝐵=𝑥2+1 được thực hiện như sau:

Suy ra 𝑄=3𝑥2+𝑥−3;𝑅=5𝑥–2

Kết luận: 3𝑥4+𝑥3+6𝑥−5=[𝑥2+1][3𝑥2+𝑥−3]+5𝑥–2

Giải câu 71 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

1. 𝐴=15𝑥4−8𝑥3+𝑥2

𝐵=12𝑥2

      2. 𝐴=𝑥2−2𝑥+1

𝐵=1−𝑥

Hướng  dẫn giải:

1. Ta thấy từng hạng tử của A : 15𝑥4;8𝑥3;𝑥2  đều chia hết cho𝑥2

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

     2. Ta có: 𝐴=𝑥2−2𝑥+1=[1−𝑥]2, chia hết cho 1−𝑥

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

Giải câu 73 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Tính nhanh:

1. [4𝑥2−9𝑦2]:[2𝑥−3𝑦]
2. [27𝑥3−1]:[3𝑥−1]
3. [8𝑥3+1]:[4𝑥2−2𝑥+1]                       
4. [𝑥2−3𝑥+𝑥𝑦−3𝑦]:[𝑥+𝑦]

Hướng dẫn giải:

1. [4𝑥2−9𝑦2]:[2𝑥−3𝑦]=[[2𝑥]2–[3𝑦]2]:[2𝑥−3𝑦]=2𝑥+3𝑦
2. [27𝑥3−1]:[3𝑥−1]=[[3𝑥]3−1]:[3𝑥−1]=[3𝑥]2+3𝑥+1=9𝑥2+3𝑥+1
3. [8𝑥3+1]:[4𝑥2–2𝑥+1]=[[2𝑥]3+1]:[4𝑥2−2𝑥+1]=[2𝑥+1][[2𝑥]2–2𝑥+1]:[4𝑥2–2𝑥+1]=[2𝑥+1][4𝑥2–2𝑥+1]:[4𝑥2–2𝑥+1]=2𝑥+1
4. [𝑥2−3𝑥+𝑥𝑦−3𝑦]:[𝑥+𝑦]=[[𝑥2+𝑥𝑦]−[3𝑥+3𝑦]]:[𝑥+𝑦]=[𝑥[𝑥+𝑦]−3[𝑥+𝑦]]:[𝑥+𝑦]=[𝑥+𝑦][𝑥−3]:[𝑥+𝑦]=𝑥−3

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề chia đa thức cho đa thức: lý thuyết, ví dụ và cách làm. Chúc bạn luôn học tốt!