Nhóm Thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc chuyên đề hình học Oxyz với tài liệu "Gắn hệ tọa độ oxyz để giải các bài toán hình học không gian". Tài liệu gồm 34 trang hướng dẫn giải bài toán hình học không gian bằng cách gắn hệ trục tọa độ Oxy.
I. Vấn đề câu hỏi hình học Oxyz trong bài thi
Như các bạn đều biết, môn Toán là một môn rất quan trọng và có tầm ảnh hưởng rất lớn tới việc xét tuyển vào Đại Học hay Cao Đẳng sau này. Do đó để có được số điểm cao trong môn này, ta cần phải có 1 vốn kiến thức cần thiết và hiểu rõ những khái niệm, bản chất toán học. Và trong chuyên đề ngày hôm nay mình sẽ đề cập đến 1 trong 3 câu hình học luôn xuất hiện trong đề thi đại học. Đó chính là các bài toán về hình học không gian thuần túy [cổ điển] với phương pháp gắn hệ trục Oxyz và giải như một bài toán giải tích bình thường.
Đa số trong các bài toán này, mình thường thấy các bạn chỉ làm được 1/2 yêu cầu đề bài. Các câu hỏi còn lại như tìm khoảng cách giữa 1 điểm đến đường thẳng hay tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng hoặc chứng minh song song, vuông góc v.v….. các bạn đều bỏ. Lý do là bởi vì bạn đã quên 1 số kiến thức về hình học ở lớp 11 và các cách tư duy dựng hình. Vì thế mình sẽ giúp các bạn vượt qua các bài toán ấy bằng phương pháp tọa độ hóa này. Ưu điểm: + Dễ hiểu + Dễ làm + Công việc chính là chỉ tính toán + Không cần chứng minh nhiều
+ Phù hợp với các bạn học hình yếu
Nhược điểm: + Tính toán dễ sai + Đôi khi sẽ chậm hơn so với cách cổ điển + Ít được sử dụng
+ Đôi khi nhìn rất dễ nhầm lẫn
II. Nội dung chuyên đề hình học Oxyz
Phần 1: Các kiến thức quan trọng
1. Các công thức hình học
2. Các công thức tính thể tích các hình
3. Các công thức về hệ trục tọa độ Oxyz
Phần 2: Phương pháp giải toán
Phần 3: Các ví dụ minh họa
Phần 4: Các bài tập tự luyện tập
Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu về chuyên đề hình học Oxyz sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn!
THEO THUVIENTOAN.NET
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian - Thầy Trần Thế Mạnh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Chú ý:
2. Tọa độ của vectơ
a] Định nghĩa: u→ = [x; y; z] ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→
b] Tính chất: Cho a→ = [a1; a2; a3], b→ = [b1; b2; b3], k ∈ R
• a→ ± b→ = [a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; ]
• ka→ = [ka1; ka2; ka3]
• 0→ = [0; 0; 0], i→ = [1; 0; 0], j→ = [0; 1; 0], k→ = [0; 0; 1]
• a→ cùng phương b→ [b→ ≠ 0→] ⇔ a→ = kb→ [k ∈ R]
• a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
Quảng cáo
3. Tọa độ của điểm
a] Định nghĩa: M[x; y; z] ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ [x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ]
Chú ý: • M ∈ [Oxy] ⇔ z = 0; M ∈ [Oyz] ⇔ x = 0; M ∈ [Oxz] ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .
b] Tính chất: Cho A[xA; yA; zA], B[xB; yB; zB]
• AB→ = [xB - xA; yB - yA; zB - zA]
• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4. Tích có hướng của hai vectơ
a] Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = [a1; a2; a3], b→ = [b1; b2; b3]. Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b] Tính chất:
• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
• [a→, b→] = -[b→, a→]
• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin[a→, b→] [Chương trình nâng cao]
• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ [chứng minh 3 điểm thẳng hàng]
c] Ứng dụng của tích có hướng: [Chương trình nâng cao]
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : VABCD.A'B'C'D' = |[AB→, AD→].AA'→|
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|
Quảng cáo
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
5. Phương trình mặt cầu
a] Định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S[I; R] ⇔ S[I; R] = {M|IM = R}
b] Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Lưu ý: Khi mặt phẳng [P] đi qua tâm I thì mặt phẳng [P] được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
c] Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
* Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt [S] tại 2 điểm A, B thì bán kính R của [S] được tính như sau:
+ Xác định: d[I; Δ] = IH
+ Lúc đó:
ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
* Đường tròn [C] trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của [S] và mặt phẳng .
[S]: x2 + y2 + z2 - 2ax -2by - 2cz + d = 0
[α]: Ax + By + Cz + D = 0
* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của [C].
+ Tâm I' = d ∩ [α] .
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp[α]
+ Bán kính
d] Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu [S] tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của [S] ⇔ d[I; Δ] = R
+ Mặt phẳng [α] là tiếp diện của [S] ⇔ d[I;[α]] = R
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo[xo; yo; zo] .
Sử dụng tính chất :
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
* Cách 1: Bước 1: Xác định tâm I[a; b; c] .
Bước 2: Xác định bán kính R của [S].
Bước 3: Mặt cầu [S] có tâm I[a; b; c] và bán kính R.
[S]: [x - a]2 + [y - b]2 + [z - c]2 = R2
* Cách 2: Gọi phương trình [S]: x2 + y2 + z2 -2ax - 2by - 2cz + d = 0
Phương trình [S] hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. [a2 + b2 + c2 - d > 0]
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu [S], trong các trường hợp sau:
a] [S] có tâm I[2; 2; -3] và bán kính R = 3 .
b] [S] có tâm I[1; 2; 0] và [S] qua P[2; -2; 1].
c] [S] có đường kính AB với A[1; 3; 1], B[-2; 0; 1].
Hướng dẫn:
a] Mặt cầu tâm I[2; 2; -3] và bán kính R = 3, có phương trình:
[S]: [x - 2]2 + [y - 2]2 + [z + 3]2 = 9
b] Ta có: IP→ = [1; -4; 1] ⇒ IP = 3√2.
Mặt cầu tâm I[1; 2; 0] và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình:
[S]: [x - 1]2 + [y - 2]2 + z2 = 18
c] Ta có: AB→ = [-3; -3; 0] ⇒ AB = 3√2.
Gọi I là trung điểm AB ⇒
Mặt cầu tâm và bán kính
Bài 2:Viết phương trình mặt cầu [S] , trong các trường hợp sau:
a] [S] qua A[3; 1; 0], B[5; 5; 0] và tâm I thuộc trục Õ.
b] [S] có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng [α]: 16x - 15y - 12z + 75 = 0.
c] [S] có tâm I[-1; 2; 0] và có một tiếp tuyến là đường thẳng
Hướng dẫn:
a] Gọi I[a; 0; 0] ∈ Ox. Ta có : IA→ = [3-a; 1; 0], IB→ = [5-a; 5; 0].
Do [S] đi qua A, B ⇔ IA = IB
⇒ I[10; 0; 0] và IA = 5√2.
Mặt cầu tâm I[10; 0; 0] và bán kính R = 5√2, có phương trình [S] : [x - 10]2 + y2 + z2 = 50
b] Do [S] tiếp xúc với [α] ⇔ d[O,[α]] = R ⇔ R = 75/25 = 3
Mặt cầu tâm O[0; 0; 0] và bán kính R = 3, có phương trình [S] : x2 + y2 + z2 = 9
c] Chọn A[-1; 1; 0] ∈ Δ ⇒ IA→ = [0; -1; 0].
Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là uΔ→ = [-1; 1; -3] . Ta có: [IA→, uΔ→] = [3; 0; -1] .
Do [S] tiếp xúc với Δ ⇔ d[I, Δ] = R
Mặt cầu tâm I[-1; 2; 0] và bán kính R = √10/11 , có phương trình [S] :
Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của [S] ⇔ d[I; Δ] = R
+ Mặt phẳng [α] là tiếp diện của [S] ⇔ d[I; [α]] = R
* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
Bài 1: Cho đường thẳng
A. 0. B.1. C.2. D.3.
Hướng dẫn:
Đường thẳng [Δ] đi qua M[0; 1; 2] và có một vectơ chỉ phương là u→ = [2; 1; -1]
Mặt cầu [S] có tâm I[1; 0; -2] và bán kính R = 2
Ta có MI→ = [1; -1; -4] và [u→, MI→] = [-5; 7; -3] ⇒
Vì d[I,Δ] > R nên [Δ] không cắt mặt cầu [S]
Bài 2: Cho điểm I[1; -2; 3]. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. [x - 1]2 + [y + 2]2 + [z - 3]2 = √10
B. [x - 1]2 + [y + 2]2 + [z - 3]2 = 10
C. [x + 1]2 + [y 2 2]2 + [z + 3]2 = 10
D. [x - 1]2 + [y + 2]2 + [z - 3]2 = 9
Hướng dẫn:
Gọi M là hình chiếu của I[1; -2; 3] lên Oy, ta có : M[0; -2; 0].
IM→ [-1; 0; -3] ⇒ R = d[I,Oy] = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là : [x - 1]2 + [y + 2]2 + [z - 3]2 = 10
Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp