X căn x

Cách làm bài tìm x căn bậc 2

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

$\sqrt{A}=BA=B^{2}$
$\sqrt{A}=\sqrt{B}A=B$
$\sqrt{A}=\sqrt{B}+\sqrt{C}A=B+C+2\sqrt{B}\sqrt{C}$ $2\sqrt{B}\sqrt{C}=A-B-C$ 4.B.C = [A - B - C]$^{2}$

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a, $\sqrt{x+2}=3x-4$

b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{x+2}=3x-4$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{4}{3}$

$\sqrt{x+2}=3x-4$ x + 2 = [3x – 4] $^{2}$ 9$^{2}$ - 25x + 4 = 0

[9x – 7][x - 2] = 0 9x – 7 = 0 hoặc x – 2 = 0 x = $\frac{7}{9}$ hoặc x = 2

Kết hợp với điều kiện $x\geq \frac{4}{3}$ => phương trình có nghiệm x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

ĐKXĐ: $x\geq 3$

$\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ x – 3 = x$^{2}$ - 5x + 6

x$^{2}$ - 6x + 9 [x – 3] $^{2}$ = 0 x – 3 = 0 x = 3

Kết hợp với điều kiện $x\geq 3$ => x = 3 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}

c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

ĐKXĐ: $x\geq -2$

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$ $[\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}]^{2}=25$

2x + 9 + 2$\sqrt{[x+2][x+7]}$ = 25 $\sqrt{x^{2}+9x+14}$ = 8 – x

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+9x+14=[8-x]^{2} && \\ 8-x\geq 0 && \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}25x=50 && \\ x\leq 8 && \end{matrix}\right.$

x = 2

Kết hợp với điều kiện $x\geq -2$ => x = 2 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
Bước 2: Nhẩm nghiệm [thường là nghiệm nguyên]. Giả sử phương trình có nghiệm x = a
Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung [x – a].
Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương
Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: $x\geq 2$

Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, như vậy phương trình có thể phanan tích về dạng [x - 3].A[x] = 0. Ta tách và nhóm như sau:

$3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$ $3[\sqrt{x+1}-2]+[\sqrt{x+2}+1]=3x-9$

$\frac{3.[\sqrt{x+1}-2][\sqrt{x+1}+2]}{\sqrt{x}+2}+\frac{[\sqrt{x-2}-1][\sqrt{x-2}+1]}{\sqrt{x-2}+1}=3[x-3]$

$3\frac{[x+1]-4}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{[x-2]-1}{\sqrt{x-2}+1}=3[x-3]$

$3\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=3[x-3]$

$[x-3].\left [ \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right ]=0$

x - 3 = 0 [1] hoặc $\left [ \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right ]=0$ [2]

Với điều kiện $x\geq 2$ ta có $\sqrt{x}+2>2$ và $\sqrt{x-2}+1\geq 1$, kéo theo

$\left [ \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right ]