§6. SO SÁNH PHÂN SỐ A. Tóm tắt kiến thức So sánh hai phân sô cùng mẫu Trong hai phân số cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hon thì lớn hon. So sánh hai phân sô không cùng mẫu Muốn so sánh hai phân sô không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Lưu ý Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hon 0. Phân số lớn hon 0 được gọi là phân số dương. Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hon 0. Phân số nhỏ hon 0 được gọi là phân số âm. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. So sánh các cặp phân số sau: UA _ 114.116 _ 13224 - " 115.116 “ 13340 ; b] —— và 115 -116 1000 -35 1000 35 xr, , ,nnn^ 1 . - >000 u.„. 1 . 1000 Vì 1 > - 1000 nên — > —-3— hay _ > 35 35 Ví dụ 2. So sánh các cặp phân số sau: 35 -35 48 47 a] — và — 121 120 c] 16 24 và 10 -15 Giải, a] Tìm mẫu chung: 121 = 1 r, 120 = 23.3 . 5. Mẫu chung là 112.23.3 . 5 = 121 . 120 = 14520. Quy đồng mẫu: 48 121 48.120 5760 47 47.121 5687 5760 Vì 5760 > 5687 nên 120 120.121 14520 5687 , ■ 48 , 47 ■ -••••- hay —— > — 14520 14520 121 120 ? 8 5 5 Giải, a] Vì hai phân số có cùng mẫu dương và 28 < 55 nên — < —- 94 94 -35 b] Ta cần đổi —thành phân số'có mẫu dương. Ta có: 15 _ 115 116 116 -116 b] Đổi phân số —thành phân số có mâu dương ta được: „ ,, - , . . 114 . 115 _ . _ Quy đông máu hai phân sô —— và —— , ta được: 115 116 115 _ 115.115 _ 13225 H6 " 116.115 - 13340 ■ 10 -15 -5 Dơ đó z -16 24 á = 10 15 xn 13224 . 13225 u.„. 114 . ->15 Vì 13224 < 13225 nên ——- < ■ hay ——< ——- 13340 13340 ' 115 -116 . .,24 ' , , „ - c] Đôi phân sô — — thành phân sô có máu dương ta được: 24 -24 -15 15 -16 -24 Quy dóng mâu hai phân sô - và 10 15 ta được: -16 _ -16.3 _ -48 -24 -24.2 10 10.3 " 30 ’ 15 15.2 Vậy -16 -24 , -16 24 ■ = hav - — / . - XT-" . ... ... -16 ' 24 Lưu V. Nêu ta rút gọn hai phân số và ta được: 10 -15 16 -8 . 24 8 -8 - - — và — Ví dụ 3. Tìm các phán số —~ thoả mãn điều kiện: 30 -2x1 — < — < — 15 30 20 Phán tích. Đê so sánh các phàn số ta cần đổi chúng thành nhưng phân số cùng mẫu số dương. .,. . -2 X 1 Giái. Quy đồng mẫu ba phân sô —, — . — ta đươc: 15 30 20 -2 _ -2.4 _ -8 _x_ _ X .2 _ 2x 1 _ ♦ 1 . 3 _ 3 15 15.4 “ 60 : 30 - 30.2 - 60 ; 20 - 20.3 ” 60 ■ Bây giờ ta chi can tìm X đê —- < — < — . 60 60 60 Muốn vậy, ta phải có - 8 < 2x < 3. Vì 2x là số chắn nên - 8 < 2x < 2. Như vậy 2x e {-6;-4;-2;0;2}. Khi 2x = -6 thì X = -6 : 2 = -3; Khi 2x = -4 thì X = -4 : 2 = -2; Khi 2x =-2 thì X = —2 : 2 =-1; Khi 2x = 0 thì X = 0 : 2 = 0; Khi 2x = 2 thì x = 2 : 2= 1. Các phân số phái tìm là: 777 , 77 , 77,0, 77 hay —-, —7 , 777,0, 777. 30 30 30 30 '10 15 30 30 Ví dụ 4. a] Cho phán sỏ , với a > b > 0. Chứng tó rằng với mọi sô tự nhiên n > 0 ta có b] Áp dụng kết quả trôn chứng tỏ rằng ^2011+1 7*2011 ,2010 22O1O_1 Giải, a] Quy đổng mầu hai phân số — và 7—— . ta được: b b + n a _ a . [b + n] ab + an b b.[b + n] b[b + n] a + n _ [a + n]. b _ ab + bn b + n [b + n].b b[.b + n] Vì n > 0 và a > b nên an > bn. Do đó ab + an > ab + bn. ab +an ab + bn , a + n a \ Vì thê 7 > 7———- hay - < 7- b{b + n] b[b + n] ’ b + n b . , 'T.. ->2011 -,1010 20] 1 b] Ta có 3 > 2 . 32O11+1 _ 3 Ap dụng két quét trén ta có: - < 22 +1 2 -,2011 -.1010 -.2011 , -1010 fừ 3 >2 suy ra 3 - 1 > 2 Hơn nữa 32011 = [32011 - 1]+ 1 và 21010 = [21010 - 1] + 1. 2 2011 22O11_1 Vì 32011 - 1 > 21010 - 1 > 0 nên có thể áp dụng kết quả trên để được: 2010 22010 -! [32011 -l] + l 32011 -l 32011 [22010 -l] + l < 22010 -1 hay 22010 Vậy 32011 + 1 32011 _1 22010 +1 ' 22010 _ Ị c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 37. a] Vì - 11 1 00 1 105 ’ 280 - 80 ’ 126 - ' 84 14 14 14 14 Vì 80 < 82 < 84 < 105 nên — > — > > —— hay 80 82 84 105 49 7 21 14 — > — > —- - > . 280 41 126 105 a] Nếu a . d > b . c thì > h--- [vì a, b, c, d > 0] hay — > — • b.d b.d b d Ngược lại, nếu — > 4 thì —. b . d > 4 . b . d [vì a, b, c, d > 0] & b d b d hay a . d > b . c. b] Ta xét [IO2011 + 1]. [1O2O13 + 1] và [IO21112 + 1]. [102l>12+ 1]. Taco: [to2011 + 1]. [102ol3 + 1] = IO20" . 102ol3+ IO20" + 1020,3+ 1 [102O.2+ ,] [1O2O.2+ ,]= 102O.2 1 020,2 + lo2Ot2 + lũ2OI2+| Vi IO2'"1 . IO2"'3 = IO20" * 2013 = IO4024 và IO21"2 . IO2012 = IO4024 ,„i„u in2011 , i in2012 nên chí cân so sanh 10 + 10 va 2.10 Tacó: IO2011 + 102013 = IO2011 .[1 + 102] và 2 . IO2012 = IO2011 .2. 10. Vì 1 + IO2 = 101 > 2 . 10 nên IO2011 + IO2013 > 2 . IO2012. Vậy [IO2011 + 1]. GO2013 + 1] > [IO2012 + 1] . [IO2012 + 1]. IO2011 +1 102012 +l Ap dụng kêt qua trên ta co kêt luận ———; > —r—: . 102[]12+l IO2013 +1 Lưu ý. Ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau: 102011+l 102Ol2+10 _ 102O12 + l + 9 9 'io2°12+l~ 102012 +l ■ 102,,l2+l '■ + 1020l2+l' 102012 + l 102013 + 10 102013 + l + 9 9 ' 1O2013 + 1 ” 1O2013 +1 - ,1O2013 +1 - + ÌO2013 + 1 ' Vì 1O2012 < 1O2013 nên 1O2012 + 1 < 1O2013 + 1. Do đó 1O2012 +1 102013 +l Vì thế 10 . 1O2O11 +1 102[]12+l > 10. 10 2012 10 2013 +_! + 1 ’ 102[]11 + l 102OI2+l ậy 102“'2 + l > 102°13 + l’
Các dạng toán về so sánh phân số – Toán lớp 6
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. So sánh hai phân số cùng mẫu :
Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
2. So sánh hai phân số không cùng mẫu :
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng
một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
3. Chú ý :
Khi so sánh các phân số, trước hết’ta phải viết mỗi phân số có mẫu âm thành phân số
bằng nó và có mẫu dương.
– Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0. Phân số lớn hơn 0 gọi là
phân số dương.
– Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0. Phân số nhỏ hơn 0 gọi là
phân số âm.
B. CÁC DẠNG TOÁN.
Dạng 1. SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ CÙNG MẪU
Phương pháp giải
– Viết phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương.
– So sánh các tử của các phân số có cùng mẫu dương, phân số nào
có tử lớn hơn thì lớn hơn. ,
Ví dụ 1. [Bài 37 tr. 33 SGK]
Điền số thích hợp vào chỗ trống :
a] -11/13 < …/13 < …/13 < …/13 < -7/13.
b] -1/3 < …/36 < …/18 < -1/4.
Giải
a] -11/13 < -10/13 < -9/13 < -8/13 < -7/13.
b] Quy đồng mẫu các phân số đã cho, ta có :
-12/36 < -11/36 < -10/36 < -9/36 => -1/3 < -11/36 < -5/18 < -1/4.
Ví dụ 2. So sánh các phân số:
a] -1/3 và 2/-3 b] 2/-5 và 3/5 c] -3/7 và -4/-7.
Giải
a] 1/-3 = -1/3 , 2/-3 = -2/3 . Vì -1> -2 nên -1/3 > -2/3 , do đó: 1/-3 > 2/-3.
b] 2/-5 = -2/5. Vì -2 0]. Chứng tỏ rằng :
a] Nếu a/b < c/d thì ad < bc và ngược lại.
b] Nếu a/b > c/d thì ad > bc và ngược lại.
Giải
a] Quy đồng mẫu : a/b = ad/bd , c/d = bc/bd [b > 0, d > 0 nên bd > 0].
Nếu a/b < c/d thì ad/bd < bc/bd , do đó ad < bc.
Ngược lại, nếu ad < bc thì ad/bd < bc/bd , do đó a/b < c/d.
b] Làm tương tự câu a].
PHẦN TIẾP THEO:
Luyện tập so sánh phân số – Toán lớp 6