Cách tìm căn bậc hai của 2

Căn 2 Giá trị là giá trị của căn 2 hoặc căn bậc hai của 2 hoặc sqrt 2 hoặc √2 là 1. 414. Căn bậc hai của 2 hoặc căn 2 được biểu diễn bằng ký hiệu căn bậc hai √ và sẽ được gọi là √2. Nó là một số vô tỷ và không thể biểu diễn dưới dạng \[\frac{x}{y}\] và cũng giống như giá trị của số pi [π], nó có vô số số sau dấu thập phân. Do đó để tính toán, chúng tôi sử dụng giá trị gần đúng của căn bậc 2. Căn bậc hai là phép toán nghịch đảo của bình phương. Giá trị chính xác của gốc 2 không thể được xác định.  

Toán học là một môn học quan trọng mà học sinh thường khó học. Nhưng với việc luyện tập và đọc thường xuyên, học sinh có thể thành thạo môn học. Đọc bài viết này để biết cách tính căn bậc hai của 2

Tính toán giá trị gốc 2

Bất kỳ giá trị gốc nào khi nhân với chính nó sẽ cho số nằm dưới ký hiệu gốc. Ví dụ: √5 x √5 = 5 hoặc √44 x √44 = 44, tương tự, √2 x √2 = 2. Một số điểm quan trọng trên căn bậc hai được đưa ra dưới đây

• i] Căn bậc hai của số n là số m mà khi nhân với chính nó thì bằng n
• ii] Căn bậc hai của 36 là 6 và – 6 vì 62 = 36 và [– 6]2 = 36
• iii] Nếu m2 = n thì m là căn bậc hai của n

Giá trị của căn 2 lên đến 50 chữ số thập phân

√2 = 1. 41421356237309504880168872420969807856967187537694…

Làm thế nào để tìm giá trị gốc 2?

Học sinh dễ dàng tìm được giá trị sqrt của một số nếu số đó là số chính phương. Thí dụ. Giá trị của √4 là 2 vì 4 là số chính phương của 2 và giá trị của √625 là 25 vì 25 x 25 = 625. Vì vậy, việc tìm √ của một hình vuông hoàn hảo là dễ dàng

Thách thức là tìm căn bậc hai của các số không chính phương. Đối với các số không phải là số chính phương, chúng tôi sử dụng phương pháp chia dài

Giá Trị Căn Bậc Hai của 2 bằng Phương Pháp Chia Dài

Phương pháp chia dài là cách phổ biến để tìm ra gốc của bất kỳ số nào bất kể loại của nó. Thông qua phần này, chúng tôi sẽ giải thích phương pháp chia dài theo từng bước

• Bước 1. Đặt một thanh trên e. Đặt một thanh trên mỗi cặp chữ số bắt đầu từ vị trí của một. Nếu số chữ số trong đó là số lẻ thì chữ số ngoài cùng bên trái cũng sẽ có vạch
• Bước 2. Kiểm tra số lớn nhất có bình phương ≥ số dưới thanh ngoài cùng bên trái. lấy không. làm số chia mới và thương với số ở dưới cùng bên trái làm số bị chia và Chia để lấy số dư tiếp theo
• Bước 3. Đưa xuống số dưới thanh tiếp theo bên phải của phần còn lại
• Bước thứ 4. Nhân đôi thương số và nhập nó với khoảng trống bên phải
• Bước thứ 5. Lặp lại các bước 2, 3, 4 cho đến khi phần còn lại bằng 0 hoặc lặp đi lặp lại
• Bước thứ 6. thương sẽ là giá trị căn bậc hai

Một phép tính gần đúng ban đầu khác được đưa ra trong các văn bản toán học Ấn Độ cổ đại, Sulbasutras [c. 800–200 TCN], như sau. Tăng chiều dài [của cạnh] lên một phần ba và phần ba này bằng phần tư của chính nó trừ đi phần ba mươi tư của phần tư đó. Đó là,

1+13+13×4−13×4×34=577408=1. 4142156862745098039¯. {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac . 41421{\overline {56862745098039}}. }

Xấp xỉ này là phép tính gần đúng thứ bảy trong chuỗi các phép tính gần đúng ngày càng chính xác dựa trên chuỗi số Pell, có thể bắt nguồn từ việc mở rộng phân số liên tục của √2. Mặc dù có mẫu số nhỏ hơn nhưng nó chỉ kém chính xác hơn một chút so với phép tính gần đúng của người Babylon.

Pythagore đã phát hiện ra rằng đường chéo của một hình vuông là không thể so sánh với cạnh của nó, hay nói theo ngôn ngữ hiện đại, căn bậc hai của hai là vô tỷ. Người ta biết rất ít về thời gian hoặc hoàn cảnh của khám phá này, nhưng tên của Hippasus của Metapontum thường được nhắc đến. Trong một thời gian, những người theo trường phái Pythagore coi như một bí mật chính thức khi phát hiện ra rằng căn bậc hai của hai là vô tỷ, và theo truyền thuyết, Hippasus đã bị sát hại vì tiết lộ nó. [] Căn bậc hai của hai đôi khi được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, chẳng hạn bằng

Kiến trúc La Mã cổ đại[sửa | sửa mã nguồn]

Trong kiến ​​trúc La Mã cổ đại, Vitruvius mô tả việc sử dụng căn bậc hai của cấp số 2 hoặc kỹ thuật bậc hai. Về cơ bản, nó bao gồm một phương pháp hình học, chứ không phải số học, để nhân đôi một hình vuông, trong đó đường chéo của hình vuông ban đầu bằng cạnh của hình vuông kết quả. Vitruvius gán ý tưởng cho Plato. Hệ thống được sử dụng để xây dựng vỉa hè bằng cách tạo ra một hình vuông tiếp tuyến với các góc của hình vuông ban đầu ở 45 độ của nó. Tỷ lệ cũng được sử dụng để thiết kế tâm nhĩ bằng cách tạo cho chúng chiều dài bằng với đường chéo lấy từ một hình vuông có các cạnh tương đương với chiều rộng của tâm nhĩ dự định

Giá trị thập phân[sửa]

Thuật toán tính toán[sửa]

Có một số thuật toán để tính gần đúng √2 dưới dạng tỷ lệ giữa các số nguyên hoặc dưới dạng số thập phân. Thuật toán phổ biến nhất cho điều này, được sử dụng làm cơ sở trong nhiều máy tính và máy tính, là phương pháp Babylon để tính căn bậc hai. Nó diễn ra như sau

Đầu tiên, chọn một dự đoán, a0 > 0; . Sau đó, sử dụng phỏng đoán đó, lặp qua phép tính đệ quy sau

an+1=an+2an2=an2+1an. {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2} . }

Càng nhiều lần lặp thông qua thuật toán [nghĩa là càng thực hiện nhiều tính toán và "n" càng lớn], phép tính gần đúng càng tốt. Mỗi lần lặp gần gấp đôi số chữ số chính xác. Bắt đầu với a0 = 1, kết quả của thuật toán như sau.

• 1 [a0]
• 3/2 = 1. 5 [a1]
• 17/12 = 1. 416. [a2]
• 577/408 = 1. 414215. [a3]
• 665857/470832 = 1. 4142135623746. [a4]

Xấp xỉ hợp lý [ chỉnh sửa ]

Một xấp xỉ hợp lý đơn giản 99/70 [≈ 1. 4142857] đôi khi được sử dụng. Mặc dù có mẫu số chỉ là 70 nhưng nó khác với giá trị đúng chưa đến 1/10.000 [khoảng. +0. 72×10−4]

Hai xấp xỉ hợp lý tốt hơn tiếp theo là 140/99 [≈ 1. 4141414. ] với sai số nhỏ hơn một chút [khoảng. −0. 72×10−4] và 239/169 [≈ 1. 4142012] với sai số xấp xỉ −0. 12×10−4

Xấp xỉ hữu tỷ của căn bậc hai của hai xuất phát từ bốn lần lặp lại của phương pháp Babylon sau khi bắt đầu với a0 = 1 [665,857/470,832] là quá lớn khoảng 1. 6×10−12; . 0000000000045

Bản ghi trong tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1997, giá trị của √2 được tính đến 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi nhóm của Yasumasa Kanada. Vào tháng 2 năm 2006, kỷ lục về phép tính √2 đã bị lu mờ khi sử dụng máy tính gia đình. Shigeru Kondo tính toán 1 nghìn tỷ chữ số thập phân trong năm 2010. Trong số các hằng số toán học có phép mở rộng thập phân thách thức tính toán, chỉ có π, e và tỷ lệ vàng được tính chính xác hơn kể từ tháng 3 năm 2022. Các tính toán như vậy nhằm mục đích kiểm tra theo kinh nghiệm xem những con số đó có bình thường không

Đây là bảng các bản ghi gần đây trong việc tính toán các chữ số của √2

Datenamenumber của Digitsjan tháng 5, 2022Tizian Hanselmann10000000001000june 28, 2016ron Watkins1000000000000APRIL 3, 2016ron Watkins500000000000000

Bằng chứng về sự bất hợp lý[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng minh ngắn gọn về tính bất hợp lý của √2 có thể thu được từ định lý nghiệm hữu tỷ, nghĩa là, nếu p[x] là một đa thức bậc hai với các hệ số nguyên, thì bất kỳ nghiệm hữu tỷ nào của p[x] nhất thiết phải là một số nguyên. Áp dụng điều này cho đa thức p[x] = x2 − 2, suy ra √2 là số nguyên hoặc số vô tỷ. Vì √2 không phải là số nguyên [2 không phải là số chính phương], do đó √2 phải là số vô tỉ. Chứng minh này có thể được tổng quát hóa để chỉ ra rằng bất kỳ căn bậc hai nào của bất kỳ số tự nhiên nào không phải là số chính phương đều là vô tỷ

Đối với các bằng chứng khác rằng căn bậc hai của bất kỳ số tự nhiên không chính phương nào là vô tỷ, xem hoặc

Chứng minh bằng gốc vô tận[sửa]

Một bằng chứng về sự bất hợp lý của số là bằng chứng sau đây bằng phương pháp giảm dần vô tận. Nó cũng là một bằng chứng bằng mâu thuẫn, còn được gọi là một bằng chứng gián tiếp, trong đó mệnh đề được chứng minh bằng cách giả định rằng điều ngược lại với mệnh đề là đúng và chỉ ra rằng giả định này là sai, do đó ngụ ý rằng mệnh đề phải đúng

1. Giả sử √2 là một số hữu tỉ, nghĩa là tồn tại cặp số nguyên có tỉ số chính xác bằng √2
2. Nếu hai số nguyên có một nhân tử chung, nó có thể được loại bỏ bằng thuật toán Euclide
3. Khi đó √2 có thể viết dưới dạng phân số bất khả quy a/b sao cho a và b là các số nguyên tố cùng nhau [không có thừa số chung], điều này cũng có nghĩa là ít nhất một trong a hoặc b phải là số lẻ
4. Suy ra a2/b2 = 2 và a2 = 2b2. [  ]   [ a2 và b2 là số nguyên]
5. Do đó, a2 chẵn vì nó bằng 2b2. [2b2 nhất thiết phải là số chẵn vì nó gấp 2 lần một số nguyên khác. ]
6. Suy ra a phải chẵn [vì bình phương của các số nguyên lẻ không bao giờ chẵn]
7. Vì a chẵn nên tồn tại số nguyên k thỏa mãn a = 2k
8. Thay thế 2k từ bước 7 cho a trong phương trình thứ hai của bước 4. 2b2 = a2 = [2k]2 = 4k2, tương đương với b2 = 2k2
9. Vì 2k2 chia hết cho 2 và do đó là số chẵn, và vì 2k2 = b2 nên b2 cũng chẵn, nghĩa là b chẵn
10. Ở bước 5 và 8 a và b đều chẵn, điều này mâu thuẫn với a/b bất khả quy như đã nêu ở bước 3

Q. E. D

Vì mâu thuẫn nên giả thiết [1] rằng √2 là số hữu tỉ phải sai. Điều này có nghĩa là √2 không phải là một số hữu tỷ. Tức là, √2 là số vô tỉ

Bằng chứng này đã được gợi ý bởi Aristotle, trong Analytica Priora, §I. 23. Nó xuất hiện đầu tiên như một bằng chứng đầy đủ trong Cơ sở của Euclid, như mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ đầu thế kỷ 19, các nhà sử học đã đồng ý rằng bằng chứng này là một phép nội suy và không thể quy cho Euclid.

Chứng minh bằng phân tích thừa số duy nhất[sửa]

Giống như chứng minh bằng phương pháp hạ xuống vô hạn, ta có a2=2b2{\displaystyle a^{2}=2b^{2}}. Cùng một đại lượng, mỗi vế đều có cùng một thừa số nguyên tố theo định lý cơ bản của cấp số học, và đặc biệt, sẽ phải có thừa số 2 xuất hiện với số lần bằng nhau. Tuy nhiên, thừa số 2 xuất hiện số lần lẻ ở bên phải nhưng lại xuất hiện số lần chẵn ở bên trái – một mâu thuẫn.

Chứng minh hình học[sửa]

Hình 1. Chứng minh hình học của Stanley Tennenbaum về sự bất hợp lý của √2

Một bằng chứng đơn giản được John Horton Conway gán cho Stanley Tennenbaum khi ông này còn là sinh viên vào đầu những năm 1950 và lần xuất hiện gần đây nhất của ông là trong một bài báo của Noson Yanofsky trên tạp chí American Scientist số tháng 5–tháng 6 năm 2016. Cho hai hình vuông có các cạnh nguyên lần lượt là a và b, một trong hai hình này có diện tích gấp đôi hình kia, đặt hai bản sao của hình vuông nhỏ hơn vào hình vuông lớn hơn như trong Hình 1. Vùng chồng lấp hình vuông ở giữa [[2b − a]2] phải bằng tổng của hai hình vuông không che [2[a − b]2]. Tuy nhiên, các ô vuông trên đường chéo này có các cạnh nguyên dương nhỏ hơn các ô vuông ban đầu. Lặp lại quá trình này, có những hình vuông nhỏ tùy ý có diện tích gấp đôi diện tích của hình vuông kia, nhưng cả hai đều có các cạnh nguyên dương, điều này là không thể vì các số nguyên dương không thể nhỏ hơn 1

Hình 2. Chứng minh hình học của Tom Apostol về tính vô tỷ của √2

Một lập luận rút gọn hình học khác cho thấy √2 là số vô tỷ xuất hiện vào năm 2000 trên tờ American Mathematical Monthly. Nó cũng là một ví dụ về bằng chứng bằng cách giảm dần vô hạn. Nó sử dụng cấu trúc compa và thước kẻ cổ điển, chứng minh định lý bằng một phương pháp tương tự như phương pháp được sử dụng bởi các nhà hình học Hy Lạp cổ đại. Về cơ bản, nó là chứng minh đại số giống như trong đoạn trước, được xem xét về mặt hình học theo một cách khác

Cho △ ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền dài m và cạnh góc vuông n như trong Hình 2. Theo định lý Pitago, m/n = √2. Giả sử m và n là các số nguyên. để tôi. n là một tỷ lệ được đưa ra trong các điều khoản thấp nhất của nó

Vẽ các cung BD, CE tâm A. Tham gia DE. Suy ra AB = AD, AC = AE và ∠BAC, ∠DAE trùng nhau. Do đó, các tam giác ABC và ADE đồng dạng bởi SAS

Vì ∠EBF là góc vuông và ∠BEF là nửa góc vuông nên △ BEF cũng là tam giác vuông cân. Do đó BE = m − n ngụ ý BF = m − n. Theo tính chất đối xứng, DF = m − n, và △ FDC cũng là tam giác vuông cân. Cũng theo đó FC = n − [m − n] = 2n − m

Do đó, tồn tại một tam giác cân bên phải nhỏ hơn nữa, với cạnh huyền dài 2n − m và các cạnh góc vuông m − n. Các giá trị này là các số nguyên thậm chí còn nhỏ hơn m và n và có cùng tỷ lệ, mâu thuẫn với giả thuyết rằng m. n ở mức thấp nhất. Do đó, m và n không thể đồng thời là số nguyên, do đó √2 là số vô tỷ

Bằng chứng mang tính xây dựng[sửa]

Trong cách tiếp cận mang tính xây dựng, người ta phân biệt giữa một bên là không hợp lý và bên kia là không hợp lý [i. e. , khác biệt về mặt định lượng với mọi hợp lý], cái sau là một thuộc tính mạnh hơn. Cho a và b là các số nguyên dương sao cho 1 1 duy nhất mà f[c] = c2. Hoặc một cách tượng trưng.

√2 is also the only real number other than 1 whose infinite tetrate [i.e., infinite exponential tower] is equal to its square. In other words: if for c > 1, x1 = c and xn+1 = cxn for n > 1, the limit of xn as n → ∞ will be called [if this limit exists] f[c]. Then √2 is the only number c > 1 for which f[c] = c2. Or symbolically:

222 ⋅ ⋅ ⋅=2. {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2. }

√2 xuất hiện trong công thức của Viète cho π.

2m2−2+2+⋯+2→π as m→∞{\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{ .

for m square roots and only one minus sign.

Tương tự về hình thức nhưng với số lượng hữu hạn các số hạng, √2 xuất hiện trong các hằng số lượng giác khác nhau

sin⁡π32=122−2+2+2sin⁡3π16=122−2−2sin⁡11π32=122+2−2−2sin⁡π16=122−2+2sin⁡7π32=122−2−2 .

It is not known whether √2 is a normal number, which is a stronger property than irrationality, but statistical analyses of its binary expansion are consistent with the hypothesis that it is normal to base two.

Đại diện [ chỉnh sửa ]

Sê-ri và sản phẩm[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn vị cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng với các biểu diễn tích vô hạn cho , dẫn đến các tích như

12=∏k=0∞[1−1[4k+2]2]=[1−14][1−136][1−1100]⋯{\displaystyle {\frac {1}{ . \left[1-{\frac {1}{36}}\right]\. \left[1-{\frac {1}{100}}\right]\cdots }

and

2=∏k=0∞[4k+2]2[4k+1][4k+3]=[2⋅21⋅3][6⋅65⋅7][10⋅109⋅11] . \left[{\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right]\. \left[{\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right]\. \left[{\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right]\cdots }

hoặc tương đương,

2=∏k=0∞[1+14k+1][1−14k+3]=[1+11][1−13][1+15][1−17]⋯. {\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left[1+{\frac {1}{4k+1}}\right]\left[1-{ . \left[1-{\frac {1}{3}}\right]\. \left[1+{\frac {1}{5}}\right]\. \left[1-{\frac {1}{7}}\right]\cdots. }

Số này cũng có thể được biểu thị bằng cách lấy chuỗi Taylor của một hàm lượng giác. Ví dụ: chuỗi cho cos π/4 cho

12=∑k=0∞[−1]k[π4]2k[2k]. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {[-1]^{k}\left[{\frac { . }}. }

Chuỗi Taylor của √1 + x với x = 1 và sử dụng giai thừa kép n. cho

2=∑k=0∞[−1]k+1[2k−3]. [2k]. =1+12−12⋅4+1⋅32⋅4⋅6−1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅8+⋯=1+12−18+116−5128+7256+⋯. {\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }[-1]^{k+1}{\frac {[2k-3]. }{[2k]. }}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}- . }

Sự hội tụ của chuỗi này có thể được tăng tốc bằng phép biến đổi Euler, tạo ra

2=∑k=0∞[2k+1]. 23k+1[k. ]2=12+38+1564+35256+3154096+69316384+⋯. {\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {[2k+1]. }{2^{3k+1}[k. ]^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256} . }

Không biết liệu √2 có thể được biểu diễn bằng công thức kiểu BBP hay không. Tuy nhiên, các công thức kiểu BBP được biết đến với π√2 và √2 ln[1+√2].

Số này có thể được biểu diễn bằng một chuỗi vô hạn các phân số Ai Cập, với các mẫu số được xác định bởi các số hạng thứ 2n của một quan hệ truy hồi giống như Fibonacci a[n] = 34a[n−1] − a[n−2], a[0]

2=32−12∑n=0∞1a[2n]=32−12[16+1204+1235416+…]{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{

Continued fraction[edit]

Căn bậc hai của hai có biểu diễn phân số tiếp theo sau

 2=1+12+12+12+12+⋱. {\displaystyle \. \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots } . }

Các hội tụ p/q được hình thành bằng cách cắt bớt biểu diễn này tạo thành một chuỗi các phân số xấp xỉ căn bậc hai của hai để tăng độ chính xác và được mô tả bằng các số Pell [i. e. , p2 − 2q2 = ±1]. Các hội tụ đầu tiên là. 1/1, 3/2, 7/5, 12/17, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408 và hội tụ theo sau p/q là p + 2q/p + q. P/q hội tụ khác với √2 gần như chính xác 1/2√2q2, xuất phát từ.

. 2−pq. =. 2q2−p2. q2[2+pq]=1q2[2+pq]≈122q2{\displaystyle \left. {\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right. ={\frac {. 2q^{2}-p^{2}. }{q^{2}\. \left[{\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right]}}={\frac {1}{q^{2}\. \left[{\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right]}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}

Nested square[edit]

Các biểu thức bình phương lồng nhau sau hội tụ về √2

2=32−2[14−[14−[14−[14−⋯]2]2]2]2=32−4[18+[18+[18+[18+⋯]2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left[{\tfrac {1}{4}}-\left[{\tfrac . \end{aligned}}}

Khổ giấy[sửa]

Dòng khổ giấy A

Năm 1786, giáo sư vật lý người Đức Georg Christoph Lichtenberg phát hiện ra rằng bất kỳ tờ giấy nào có cạnh dài gấp √2 lần cạnh ngắn của nó đều có thể được gấp làm đôi và căn chỉnh với cạnh ngắn hơn để tạo ra một tờ giấy có tỷ lệ chính xác như tờ ban đầu. Tỷ lệ chiều dài của cạnh dài hơn so với cạnh ngắn hơn đảm bảo rằng việc cắt một nửa tờ giấy dọc theo một đường dẫn đến các tờ nhỏ hơn có cùng tỷ lệ [gần đúng] như tờ ban đầu. Khi Đức chuẩn hóa khổ giấy vào đầu thế kỷ 20, họ đã sử dụng tỷ lệ Lichtenberg để tạo ra khổ giấy. Ngày nay, tỷ lệ khung hình [xấp xỉ] của các khổ giấy theo ISO 216 [A4, A0, v.v. ] là 1. √2