Câu hỏi: tính chất đường trung bình trong tam giác vuông
Lời giải:
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; trong một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.
Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về tính chất của đường trung bình trong tam giác và các bài tập liên quan nhé:
Định nghĩa
- Đường trung bình của tam giác được hiểu là đoạn thẳng nối hai trung điểm bất kỳ của một tam giác, chính vì vậy một tam giác sẽ có ba đường trung bình. Đường trung bình tạo ra các cặp cạnh có tỷ lệ với nhau và song song với cạnh còn lại. Trong trường hợp nếu là tam giác đặc biệt như tam giác đều hay tam giác cân, thì đường trung bình có thể bằng nửa cạnh thứ 3.
Đường trung bình của tam giác
- Định lí 1:Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
- Định lí 2:Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Bài tập
Câu 1:Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC, Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của DC
Trong ΔBDC, ta có:
M là trung điểm của BC [gt]
E là trung điểm của CD [gt]
Nên ME là đường trung bình của ∆BCD
⇒ME // BD [tính chất đường trung bình tam giác]
Suy ra: DI // ME
AD = 1/2 DC [gt]
DE = 1/2 DC [cách vẽ]
⇒ AD = DE và DI//ME
Nên AI= IM [tính chất đường trung bình của tam giác].
Câu 2:Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thắng hàng.
Lời giải:
* Hình thang ABCD có AB // CD
E là trung điểm của AD [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
EF // CD [tỉnh chất đưòng trung bình hình thang] [1]
* Trong ∆ADC ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ∆ADC
⇒ EI // CD [tính chất đường trung bình tam giác] [2]
Từ [1] và [2] và theo tiên đề ƠClít ta có đường thẳng EF và EI trùng nhau. Vậy E, F, I thẳng hàng
Câu 3:Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung đếm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng: EI//CD, IF//AB
Lời giải:
Trong tam giác ADC, ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ΔADC
⇒EI // CD [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] và EI = CD / 2
* Trong tam giác ABC, ta có:
I là trung điểm của AC
F là trung điểm của BC
Nên IF là đường trung bình của ΔABC
⇒IF // AB [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] và IF= AB / 2
Câu 4: Cho hình thang ABCD [AB // CD], M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6Cm, CD = l4cm. Tính độ dài MI, IK, KN.
Lời giải:
Hình thang ABCD có AB // CD
M là trung điểm của AD [gt]
N là trung điểm của BC [gt]
Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD⇒ MN//AB// CD
MN = [AB + CD] / 2 = [6 + 14] / 2 = 10 [cm]
* Trong tam giác ADC, ta có:
M là trung điểm của AD
MK // CD
⇒ AK= KC và MK là đường trung bình của ΔADC.
⇒ MK = 1/2 CD = 1/2 .14= 7 [cm]
Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 [cm]
* Trong ΔADB, ta có:
M là trung điểm của AD
MI // AB nên DI = IB
⇒ MI là đường trung bình của ΔDAB
⇒ MI = 1/2 AB = 1/2 .6 = 3 [cm]
IK = MK – Ml = 7 – 3 = 4 [cm]
Câu 5:Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE//IK, DE= IK.
Lời giải:
* Trong ∆ABC, ta có:
E là trung điểm của AB [gt]
D là trung điểm của AC [gt]
Nên ED là đường trung bình của ∆ABC
⇒ ED//BC và ED = BC/2 [tính chất đường trung bình của tam giác] [l]
* Trong ∆GBC, ta có:
I là trung điểm của BG [gt]
K là trúng điểm của CG [gt]
Nên IK là đường trung bình của ∆GBC
⇒ IK // BC và IK = BC/2 [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [l] và [2] suy ra: IK // DE, IK = DE.
Câu 6:Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh AE = 1/2 EC.
Lời giải:
Gọi F là trung điểm của EC.
Trong ΔCBE, ta có:
M là trung điểm của CB;
F là trung điểm của CE.
Nên MF là đường trung bình của ΔCBE
⇒ MF// BE [tính chất đường trung bình của tam giác] hay DE// MF
* Trong ∆AMF, ta có: D là trung điểm của AM
DE // MF
Suy ra: AE = EF [tính chất đường trung bình của tam giác]
Mà EF = FC = EC/2 nên AE = 1/2 EC
Câu 7:Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh MI = IK = KN.
Lời giải:
Trong ΔABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
Nên ED là đường trung bình của Δ ABC
⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC
[tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE⇒ MN // DE
[tính chất đường trung bình hình thang]
Trong ΔBED, ta có: M là trung điểm BE
MI // DE
Suy ra: MI là đường trung bình của ΔBED
⇒ MI = 1/2 DE - 1/4 BC [tính chất đường trung bình của tam giác]
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến
Tính chất của đường trung tuyến
Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.
Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:
- 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
- Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1:Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lý 2:Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC
Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân
- Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau
Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mclà độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó
Ví dụ minh họa
Bài 1:Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến [là độ dài đoạn thẳng] nên nó luôn dương, do đó:
Bài 2:Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP
Lời giải
Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP
Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M
=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
=> MI ﬩ NP
Bài 3:Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2+ c2= 5a2thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Lời giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Vậy b2+ c2= 5a2thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. [đpcm]
Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a] M là trung điểm của CD
Lời giải:
a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác
Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b. A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra AM = 1/2 BC
Bài 5:Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải:
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC [c - c - c]
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC [1]
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC [2]
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Bài 6:Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:
a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau
b. KB = KC
c. BC < 4KM
Lời giải:
a. Ta có: AB = AC [gt]
⇒ BN = CM
Xét ΔBCN vàΔCBM có:
BC là cạnh chung
BN = CM
Nên tam giác KBC cân tại A
Suy ra KB = KC
c. Xét ΔABCcó:
NA = NB [CN là đường trung tuyến]
MA = MC [MB là đường trung tuyến]
Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC
Xét tam giác NKM có:
NM < NK + KM [bất đẳng thức Cauchy trong tam giác]
NK = CN – CK
⇒ BC/2 < CN - CK + KM[1]
ΔBNC = ΔCMB⇒ CN = BM [2]
Tam giác KBC cân tai K⇒ CK = BK [3]
Từ [1], [2], [3]⇒ BC/2 < BM - BK + KM
⇒ BC/2 < 2KM
⇒ BC < 4KM