Câu 50 trang 48 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao
\(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = - 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho phương trình \({{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x - \sin x}} = \cos 2x.\) LG a Chứng minh rằng \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) nghiệm đúng phương trình. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\) (nghĩa là bằng 1 nếu k chẵn, bằng -1 nếu k lẻ) Thay \(x = {\pi \over 2} + k\pi \)vào phương trình ta được : \(\begin{array}{l} Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi \)là nghiệm phương trình LG b Giải phương trình bằng cách đặt \(\tan x = t\) (khi \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) ) Lời giải chi tiết: * \(x = {\pi \over 2} + k\pi \)là nghiệm phương trình. * Với \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \)chia tử và mẫu của vế trái cho \({\cos ^3}x\) ta được : \({{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 - {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\) Đặt \(t = \tan x\) ta được : \(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = - {\pi \over 4} + k\pi ,\) \(x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
|