Cho hình chóp SABCD tính khoảng cách từ B đến SAC
Xét bài toán khoảng cách trong không gian.Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên(SHB). Show
KẻAH⊥HBta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết
Trang trước Trang sau Quảng cáo
Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α) Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α) Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng Hướng dẫn giải - Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM - Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC) Chọn đáp án C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng: Hướng dẫn giải SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD Suy ra (SAD) ⊥ CD Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H Khi đó AH ⊥ (SCD) Chọn đáp án C Quảng cáo
Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng : A. 2aB. a√3 C. aD. a√5 Hướng dẫn giải + Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC) Chọn đáp án C Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng: Hướng dẫn giải Chọn D Kẻ AH ⊥ SB Ta có: Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A; (SBC)) = AH Trong tam giác vuông SAB ta có: Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng: Hướng dẫn giải Chọn C Kẻ AH ⊥ SD Ta có: Lại có; AH vuông góc SD (2) Từ (1); (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) và d(A, (SCD)) = AH Trong tam giác vuông SAD ta có: Quảng cáo
Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: Hướng dẫn giải Chọn C + Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều) Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều) ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3 + Gọi M là trung điểm của BC Kẻ OH ⊥ SM, ta có nên suy ra d(O; (SBC)) = OH. Ta có: OM = (1/3).AM = (a√3)/3 Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có: Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:
Chọn B Gọi O là trọng tâm tam giác BCD ⇒ OB = OC = OD (do tam giác BCD là tam giác đều) Lại có: AB = AC = AD = a ⇒ AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ⇒ AO ⊥ (BCD) Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:
Chọn C + Trong mặt phẳng ( ABCD), kẻ OK ⊥ BC (K ∈ BC) + Mà BC ⊥ SO nên suy ra hai mặt phẳng (SOK) và (SBC) vuông góc nhau theo giao tuyến SK. + Trong mặt phẳng (SOK), kẻ OH ⊥ SK (H ∈ SK) Suy ra: OH ⊥ (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = OH + Xét mp(ABCD) có: + xét tam giác SOK vuông tại O ta có: Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến (ABC) bằng A. 3√3 cmB. 6√3 cmC. 6 cmD. 6√2 cm
+ Gọi M là trung điểm AB. Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM ⊥ AB; DM ⊥ AB suy ra: AB ⊥ (CDM) + Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên ∠CMD = 60° + Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM ⇒ DH = d(D, (ABC)) Xét tam giác DHM có: DH = DM.Sin 60° = 6√3 Chọn đáp án B
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ A đến (B’CD’) bằng
Ta có: AB’ = AC = AD’ = B’D’ = B’C = CD’ = a√2 ⇒ Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều. Gọi I là trung điểm B’C và G là trọng tâm tam giác B’CD’. Ta có : AC = AD’ = AB’ và GB’ = GC = GD’ nên AG ⊥ (B'CD') Khi đó ta có: d(A , (B’CD’)) = AG Vì tam giác B’CD’ đều cạnh a√2 nên Theo tính chất trọng tâm ta có: Trong tam giác vuông AGD’ có: Chọn C Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC) .
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) , vì mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC) nên H ∈ BC Dựng HI ⊥ AB, HJ ⊥ AC, theo đề bài ta có ∠SIH = ∠SJH = 45°. Do đó: ΔSHI = ΔSHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn) Suy ra : HI = HJ Lại có ∠B = ∠C = 45° ⇒ ΔBIH = ΔCJH ⇒ HB = HC Vậy H trùng với trung điểm của BC Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2 Tam giác SHI vuông tại H và có ∠SIH = 45° ⇒ ΔSHI vuông cân. Do đó: SH = HI = a/2 Chọn đáp án A Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b√3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.
Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABC) ⇒ d(S, (ABC)) = SH Chọn C Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (C1D1M) bằng bao nhiêu?
Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD (c.g.c) Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng: A. 4aB. 3aC. aD. 2a
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC) Tam giác SAG vuông tại G có: Chọn đáp án C Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a√2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:
Chọn B Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) Kẻ OH ⊥ SM, ta có: Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc ∠BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
Vì hình thoi ABCD có ∠BAD bằng 120° nên ∠ABC = 60° ⇒ tam giác ABC đều cạnh a. Kẻ đường cao AM của tam giác ABC ⇒ AM = a√3/2 Kẻ OI ⊥ BC tại I ⇒ OI = AM/2 = a√3/4 . Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d(O; (SBC)) = OH Xét tam giác vuông SOI ta có: Chọn D Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, ∠ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng
Xác định khoảng cách: - Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ∠ABC = 120° nên ∠ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a Ta có: AC = a√3, AG = a√3/3 Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB = SD = a. - Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD): Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi. AH = a√6/3 Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a. Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy AH = SG = a√6/3 Chọn đáp án D Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM)?
+ Ta có: Khi đó; SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° nên ∠CSB = 30° + Xác định khoảng cách: d(A; (SBC)) = AH Tính AH: Chọn đáp án B Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
+ SC có hình chiếu vuông góc lên mp(ABCD) là HC ⇒ (SC, (ABCD)) = ∠SCH = 30° Đặt AD = 4x (x > 0) Xét tam giác SAD vuông tại S ta có: Chọn D Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) là
Chọn A + Do góc giữa SA và mp(ABC) là 60° nên ∠SAH = 60° + Ta có; CI = CA.sin60° = (a√3)/2; AI = AB/2 = a/2 Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra Trong tam giác SHA vuông tại H và ∠SAH = 60° suy ra SH = AH √3 = a√21/4 Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE. Khi đó d(H; (SAC)) = HF Ta có:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết
Trang trước Trang sau Quảng cáo
TH1: Dựng đường thẳng AH // (α) . Lúc đó: d(A, (α)) = d(H, (α)) TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I} . Lúc đó: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng: Hướng dẫn giải Ta có; AB // CD nên d(B, (SCD))= d(A; (SCD)). Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) : SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD Suy ra (SAD) ⊥ CD Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H . Khi đó AH ⊥ (SCD) Chọn đáp án C Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) Hướng dẫn giải Chọn C + Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều). Lại có: SA = SB = SC ( vì S.ABC là hình chóp đều) ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3 + Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ OH ⊥ SM, ta có Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có: AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d(A, (SBC))= 3.d(O; (SBC)) = 3OH. Chọn D Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: Gọi H là hình chiếu của J lên AB Gọi Z là hình chiếu của G lên AB Gọi I là hình chiếu của G lên SZ. + Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: + áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH + Do G là trọng tâm tam giác ABC nên: Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi G là trọng tâm tam giác ABC DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC) Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp (ABC) là 60° nên ∠SCG = 60° Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = (a√3)/2 và CG = 2/3.CM = (a√3)/3 Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC√3 = ((a√3)/3).√3 = a Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE. Khi đó d(C, (SMN)) = 3 d(G; (SMN))= 3 GF Ta có : Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng Hướng dẫn giải Chọn A Quảng cáo
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng
Chọn D Ta có: Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng
Ta chứng minh: NC ⊥ MD Thật vậy: ΔADM = ΔDCM vì ∠A = ∠D = 90°; AD = DC; AM = DN ⇒ ∠ADM = ∠DCN Mà ∠ADM + ∠MDC = 90° ⇒ ∠MDC + ∠DCN = 90° ⇒ NC ⊥ MD Chọn C Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a√3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60°. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng
+ Từ giả thiết suy ra: SM ⊥ (ABCD) và góc giữa SB tạo với mặt phẳng (ABCD) là + Ta có: Chọn đáp án C Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; DC . Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) bằng
+ Do đáy ABCD là hình vuông nên AN ⊥ BM. + Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) là góc ∠AIS = 45° . Vậy tam giác ASI vuông cân tại A nên AI = SA = a + Xác định khoảng cách: Vì M là trung điểm của AD nên d(D; (SBM))= d(A; (SBM)) = AH Với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAI. - Tính AH: Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60°. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)?
Gọi E là trọng tâm của tam giác ABD. Do hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD nên SE ⊥ (ABCD) Do đó, góc giữa SD tạo với mặt phẳng (ABCD) là ∠SDE = 60° Chọn đáp án B Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
Kẻ HK ⊥ CD Do đó; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là ∠SKH = 60° Có HK = AD = 2a, SH = HK.tan60° = 2a√3 Chọn C Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
+ Ta có: DM // AB nên DM // mp (SAB) ⇒ d( M; (SAB)) = d( D; (SAB)) + Ta có: SA ⊥ AD (vì SA vuông góc với (ABCD)) Và AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông) ⇒ AD ⊥ (SAB) Do đó d(M, (SAB)) = d(D, (SAB)) = a Chọn đáp án D
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,( rm( ))AC = acăn 3 . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng ( (SAC) ).Câu 8850 Thông hiểu Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,{\rm{ }}AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$. Đáp án đúng: c Phương pháp giải Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng --- Xem chi tiết ... |
