Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.
Trả lời:
– Cách 1: Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm O thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn tâm O.
– Cách 2: Chứng minh các điểm này cùng nhìn một cạnh dưới các góc vuông thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn nhận cạnh là đường kính và nhận trung điểm của cạnh là tâm.
Bài tập mẫu: Cho tứ giác ABCD có tổng hai góc C và D là 900. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P , Q cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.
Giải:
Gọi K là giao điểm của AD và BC
Vì:
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
M, Q là trung điểm của AB và AC ⇒ MQ là đường trung bình của tam giác BAC
⇒ MQ // BC [3]
Ta có: AD ⊥ BC nên từ [1] và [3] suy ra MN ⊥ MQ
Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.
Ta có: IM = IN = IP = IQ [tính chất giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật]
⇒ 4 điểm M, N, P , Q cách đều điểm I nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn
[I; IM].
Cùng Top lời giải tìm hiểu về Đường tròn, cách định lý liên quan đến đường tròn và các bài tập khác chúng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn nhé!
1. Định nghĩa đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu [O;R], là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.
+ Nếu A nằm trên đường tròn [O;R] thì OA=R
+ Nếu A nằm trong đường tròn [O; R] thì OAR.
2. Định lí về sự xác định một đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
3. Tính chất đối xứng của đường tròn
a] Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
b] Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn
4. Bài tập
Ví dụ 1 : Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120o.
Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC.
⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120o dựng trên đoạn BC.
Ví dụ 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E [ E nằm giữa A và D]. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.
a. Chứng minh IF ⊥ AB tại J
b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB
⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB
Mà BE giao AD tại I
⇒ I là trực tâm của tam giác AFB
⇒ IF là đường cao của tam giác AFB
⇒ IF ⊥ AB tại J [đpcm]
b.
P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF
⇒ PQ // BF
Mà AD BF
⇒ AD ⊥ PQ
R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA
Từ [*] và [**] suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
ΔBAD có góc A bằng 90o A nằm trên đường tròn đường kính BD.
ΔBED có góc E bằng 90o [E là hình chiếu của D lên BC] ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.
F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD [tính chất đối xứng của đường tròn].
Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.
Ví dụ 4 : "Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.
Hướng dẫn giải
Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.
Gọi H là trung điểm của PQ, ta có:
+ Vẽ cung chứa góc 37o12’ dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m.
Dạng 5: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn:
BÀI TOÁN 6:Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.
Gợi ý: Gọi I là giao điểm của AH và BN. Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB, K là giao điểm của OC và AP.
Áp dụng tính chất giữa các đường [đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình] trong tam giác.
Kiến thức về tứ giác nội tiếp.
Tính chất góc ngoài tam giác.
Dạng toán chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn
Bài toán chứng minh dạng này là bài toán phức tạp hơn với ba điểm. Đây là dạng toán được học ngay trong chương trình cơ bản. Đồng thời cũng nằm trong các đề thi vào 10 thậm chí là cả đề thi THPT Quốc Gia môn Toán. Do vậy, học sinh cần đánh giá được tầm quan trọng của nó.
Dạng toán này có liên quan trực tiếp đến nhiều kiến thức hình học quan trọng như:
- Các yếu tố trong tam giác và mối liên hệ giữa chúng
- Tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp
- Tính chất của đường tròn
Chỉ với 3 kiến thức liệt kê trên đây thôi nhưng nó đã có liên hệ với hàng loạt chuyên đề khác. Do đó, nếu muốn làm chủ chuyên đề này thì phải ôn tập các chuyên đề bên trên trước.
Những tính chất cụ thể cần để chứng minh
Với những dạng toán bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn thì cần chú ý những tính chất sau:
- Các điểm tạo thành các đỉnh của một tam giác vuông thì cùng nằm trên một đường tròn ngoại tiếp.
- Các điểm cách đều một điểm khác thì cùng nằm trên một đường tròn.
- Các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông thì cùng nằm trên một đường tròn
- Giao điểm của các đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
- Bốn điểm tạo thành tứ giác có hai góc đối bằng 180 độ thì cùng nằm trên 1 đường tròn.
- Các đỉnh của hình vuông, hình thang, hình chữ nhật, đa giác đều
Đây là một số tính chất trọng tâm học sinh cần ghi nhớ. Chúng hoàn toàn là những kiến thức hết sức dễ nhớ. Kết hợp với việc làm bài tập thường xuyên để nâng cao kĩ năng làm bài nhé!