Chuyên đề toán hình tọa độ vecto nâng cao
- 1. ĐỘ PHẲNG GV:Phan Nhật Nam PHƢƠNG PHÁP VECTƠ
- 2. NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ : [ ; ]B A B AAB x x y y 1 1 2 2[ , ]a b a b a b ; 1 2[ , ]ka ka ka Rk 2. Hai vectơ cùng phƣơng : a cùng phương b 1 2 1 2 1 2 [ , 0] a a b b b b hoặc 1 2 1 2 0 a a b b Chú ý : A, B, C thẳng hàng ACAB, cùng phương 3. Tích vô hƣớng của hai vectơ : Định nghĩa: . . .cos[ . ]a b a b a b Các tính chất : 2 2 1 2a a a 2 2 [ ] [ ]B A B AAB AB x x y y a b 0. 2211 bababa 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 ABC a a S a b a b b b 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 sin[ , ] . a b a b a b a a b b 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos[ , ] a b a b a b a a b b B. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG I. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH 1] d qua ];[ 000 yxM và có VTCP ];[ 21 uuu d: 0 1 0 2 x x u t y y u t [ ]t hoặc d: 0 0 1 2 x x y y u u 2] Pt tổng quát [d] 0 CByAx [ 022 BA ] d có VTPT [ ; ]n A B 3] Pt đường thẳng [d] qua ];[ 000 yxM và có VTPT [ ; ]n A B : 0][][ 00 yyBxxA [ 022 BA ] 4] Pt đường thẳng d cắt Ox tại ]0;[aA và cắt Oy tại ];0[ bB : 1 x y a b [ ; 0]a b 5] Đường thẳng d đi qua 11; yxA và 22 ; yxB d: 12 1 12 1 yy yy xx xx [ với 21 xx và 21 yy ] II. Các công thức liên quan đến đƣờng thẳng : 1] Khoảng cách từ M0 [x0 ; y0 ] đến : 0 CByAx là 0 0 0 2 2 [ , ] Ax By C d M A B Hệ quả: Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 0:][ 1111 CyBxAd và 0:][ 2222 CyBxAd là : 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA 2] Góc giữa 2 đƣờng thẳng [d1] và [d2] : Cos[d1,d2]= 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . . . n n A A B B n n A B A B [0 ] 2
- 3. NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com SƠ ĐỒ TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM SƠ ĐỒ LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Tìm tọa độ điểm M Tìm thêm một đƣờng thẳng d’ qua M. Tính độ dài [với A có trước tọa độ] Tính khoảng cách [với biết trước phươgn trình] Lập đẳng thức vec tơ chứa điểm M cần tìm M [thuôc đt cho trước] . . . A [thuộc đt cho trước] B [cho trước tọa độ] M [chư có thông tin] . . .A [cho trước tọa độ] B [cho trước tọa độ] M [thuôc đt cho trước] . . . A [thuộc đtròn cho trước] B [cho trước tọa độ] Viết Phƣơng trình Đƣờng Thẳng d Tìm Tìm thêm tìm vuông góc d tìm song song d Tìm góc Tìm khoảng cách Tìm được trực tiếp VTPT của d Gọi là VTPT của d Công thức góc [hoặc khoảng cách ] Chon 1 biến biến còn lại
- 4. NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG A. MỤC ĐÍCH & PHƢƠNG HƢỚNG: 1. Sử dụng 2 vectơ bằng nhau hoặc cùng phương để tìm tọa độ điểm : [thường xét cho bài toán chứa tỷ số độ dài] . . N canhAB AN k NB AN k NB hệ gồm hai phương trình theo biến là tọa độ của điểm cần tìm A, B, C thẳng hàng 1 1 2 2[ ; ], [ ; ]AB a b AC a b cùng phương 1 1 2 2 a b a b [nếu 2 0a thì 1 0a hoặc nếu 2 0b thì 1 0b ] 2. Sử dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau: Chọn cặp vecto cơ sơ a , b [thông thường là các vecto nằm trên cạnh và vuông góc nhau] Nếu dự đoán AB MN thì ta phân tích : 1 1 2 2 AB a b MN a b với 1 1 2 2, , , là các số cụ thể 1 1 2 2. 0AB MN a b a b AB MN 3. Sử dụng vectơ để tìm độ dài đoạn hoặc xác định góc: Chọn cặp vecto cơ sơ a , b [thông thường là các vecto nằm trên cạnh va vuông góc nhau] Nếu dự đoán AB MN thì ta phân tích : 1 1 2 2 AB a b MN a b 2 2 222 1 1 1 1 1 12 ...AB AB a b a a ab . cos cos , . AB AC BAC AB AC AB AC B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có 3AC = 2AB, N là trung điểm của CD. M[-1; 2] thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh ABCD biết BN: 13x – 10y +13 = 0 và H thuộc đường thẳng d: 2x – 3y = 0. Bình luận: Bài toán này có dấu hiệu tương đối rỏ ràng với tỷ số độ dài AC = 4AM, và 3 giả thuyết điểm M, đường thẳng BN và điểm H thuộc đường thẳng cho trước, điều này khiến ta nghĩ đến tìm điểm H bằng đẳng thức vectơ. Hƣớng dẫn giải: Đặt: 0AD a 3 ; 2H d H a a 13 13 ; 10 b K BN K b Theo talet cho ACD ta có: 3 3 4 4 MI a MI AD Theo talet cho BCN ta có: 1 5 2 2 2 4 IF NI BC a a IF MF MI IF BC NC A B D C . . . . M[-1;2] N . H E F K I
- 5. NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com Theo talet cho NEH ta cos: 2 2 2 EH NH EH BC a BC NC Theo talet cho KEH ta có: 195 3 8 1 8 57 387 5 8 ;13 13 13 13 335 7 75 2 8 2 10 10 13 a b b a KH EH KH KM Hb b KM FM a b Ta có: 3AC = 2AB 4 3 2 2 3 CM CN CM CN CH MNH nội tiếp trong đtròn tâm C MN MH đường thẳng MN đi qua M có VTPT 50 62 ; : 25 31 37 0 7 7 MH MN x y N BN MN N C là trung điểm HN C N là trung điểm CD D 4 3 CA CM A CB DA B Ví dụ 2: [A – 2014] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M[1; 2] và N[2; - 1]. Hƣớng dẫn giải: Gọi E MN DC . [ ; ]D a b . 1; 3MN , [2 ; 1 ]DN a b Theo talet ta có: 1 3 NE EC NC NM MA NA 2 1 3[ 2] 7 3 ; 2 1 2 3[ 1] 3 E E x MN NE E y 3 3 1 4 4 4 DN AN AD AD AB AD AB AD 3 1 1 3 4 2 4 4 MN AN AM AD AB AB AB AD Khi đó ta có: 2 23 1 1 3 3 3 . 0 4 4 4 4 16 16 DN MN AB AD AB AD AB AD [vì ABCD là hình vuông] 2 2 2 2 23 1 8 1 9 4 4 16 16 16 DN AB AD AB AD AB [vì AB = AD] 2 2 2 2 21 3 8 1 9 4 4 16 16 16 MN AB AD AB AD AB Suy ra : . 0DN MN DN MN 2 2 2 5 3 5 3 5 03 3 1 10 1 1 a b a b a bb b b hoặc 1 2 a b A D B C . M[1; 2] N[2; -1] E
- 6. NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com TH1: 5 0 a b [5; 0]D Đường thẳng DC đi qua hai điểm D[5; 0] và 7 ; 2 3 E :3 4 15 0DC x y TH1: 1 2 a b [ 1; 2]D Đường thẳng DC đi qua hai điểm [ 1; 2]D và 7 ; 2 3 E : 2 0DC y Ví dụ 3: Cho ABC có góc A nhọn. Gọi I[4; 2] là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0 Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A. Biết DE: 3 18 0x y ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Hƣớng dẫn giải: Ta có : 0 , 90 ,AE AB EAB EAC CAB CAB DAC AD AC cos , cos ,AD AC AE AB và . 0 . 0 AE AC AE AC AD AB AD AB DE AE AD và 1 2 AI AB AC Ta có: 1 1 1 1 . . . . . 2 2 2 2 DE AI AE AB AE AC AD AB AD AC 1 1 . cos , . cos , 0 2 2 AE AB AE AB AD AC AD AC DE AI [vì AB = AD và AC = AE] Suy ra đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường thẳng DE :3 14 0AI x y 3; 5A d AI A . : 3 18 0 3 18;D DE x y D m m Áp dụng Pitago cho tam giác ABD ta có: 2 2 2 2 2 6 [ ]2 5 10 3 15 5 10 4 6; 42 2 m loaiAD AB BD BD AB AD m m m DAD AB Đường thẳng AB đi qua A và có VTPT là 9;1DA :9 32 0AB x y . ;32 9B AB B m m 2 2 5 5 10 3 27 9 10 3 3 41 41 AB m m m m Với 5 5 5 3 3 ; 5 9 41 41 41 m B [loại vì A,B nằm khác phía so với DE] Với 5 5 5 3 3 ; 5 9 41 41 41 m B A d:2x–y–1= 0 B C D E I[4; 2]
- 7. NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com Vì I là trung điểm của BC 5 5 5 ; 1 9 41 41 C Vậy các điểm cần tìm là : 3; 5A , 5 5 3 ; 5 9 41 41 B và 5 5 5 ; 1 9 41 41 C Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M[2; -2] là trung điểm đoạn AC.Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN, 4 8 ; 5 5 H là giao điểm của 2 đường thẳng ANvà BM. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc d: x + 2y – 6 = 0. Hƣớng dẫn giải: M là trung điểm AC 1 2 BM BC BA . Lại có : BC = 4BN 1 4 AN BN BA BC BA 22 2 2 01 1 1 1 . 2 0 90 8 2 8 2 BM AN BC BA BA BA BM AN MHN Gọi 1 1 1 1 1 4 1 m m AH mHN AH mHN BH BA BN BA BC m m m m Vì B, H, M thẳng hàng 1 4 11 4 4 1 1 2 2 m mm m AH HN . Ta cũng có thể tìm tỷ số AN và NH theo hệ thức lượng trong NBA , cụ thể là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 5. [2 ] 5 NH BN BN BN NH NA BN NA NH NA NA BN BA BN BN C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [A – 2014] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M[1; 2] và N[2; - 1]. Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC: 5x + y + 4 = 0. Gọi 23 15 ; 7 7 H là trực tâm của tam giác ABC và 2 ;4 3 G là trọng tâm tam giác ACD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành A, B, C, D. Bài 3: [B – 2014] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M[-3; 0] là trung điểm của cạnh AB, điểm H[0; - 1] là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm 4 ; 3 3 G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm A và B
- 8. NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com Bài 4: [A – 2012] Cho hình vuông ABCD. Gọi 11 1 ; 2 2 M là trung điểm BC, N thuộc cạnh CD sao cho CN = 2ND. Biết AN: 2x – y – 3 = 0, tìm tọa độ điểm A. Bài 5: [B – 2013] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình 2 6 0x y và tam giác ABD có trực tâm là H[-3; 2]. Tìm tọa độ các đỉnh C và D. Bài 6: [A – 2013] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 0x y . Đường tròn [C] có bán kính 10R cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của [C] tại A, B cắt nhau tại điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn [C] Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm I . Gọi G là trọng tâm của ABI và điểm E[7; -2] thuộc đoạn BD sao cho GA = GE. Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D biết đường thẳng GA: 3x – y – 13 = 0 và 4Ax Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD [vuông tại B, C] có AB = BC = 2CD. Gọi M là trung điểm BC và 4 8 ; 5 5 H là giao điểm BD và AM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết AB: x – y + 4 = 0 và 0Ax Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD. E, F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A[1; 1], phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Bài 10: Cho ABC có góc A nhọn. Gọi I[4; 2] là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0 Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A. Biết DE : 3 18 0x y ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M[2; -2] là trung điểm đoạn AC.Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN, 4 8 ; 5 5 H là giao điểm của hai đường thẳng ANvà BM. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc đường thẳng d: x + 2y – 6 = 0. Bài 12: Trong không gian với hệ trục Oxy, Cho hình vuông ABCD có A[-1; 2]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x + y – 8 = 0 và điểm B có hoành
- 9. NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com độ lớn hơn 2. Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD và 3AD AB . Giã sử hai điểm O và A đối xứng nhau qua điểm B. Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 3BN. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết đường thẳng AN có phương trình 3 2 0x y và điểm B có tung độ dương . Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I là giao điểm hai đường chéo, G là trọng tâm của tam giác ABI và điểm E[7; -2] thuộc đường chéo BD sao cho GA = GE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông A, B, C, D biết đường thẳng GA có phương trình 3x – y -13 = 0 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 4.