Cùng tìm hiểu có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức [a+b]^n và một số ví dụ thông qua bài viết sau đây.
Trong khai triển nhị thức [a+b]^n, số hạng là số từ trong công thức mà chúng tạo nên kết quả cuối cùng. Trong trường hợp của khai triển nhị thức [a+b]^n, số hạng có thể được tính bằng công thức binôm:
Số hạng = [n!]/[k![n-k]!]
Trong đó:
- n là số mũ của nhị thức [a+b]^n.
- k là số hạng của từng từ trong công thức.
Ví dụ, trong khai triển nhị thức [a+b]^3, có tổng cộng 8 số hạng: 3 số hạng của từ a và 5 số hạng của từ b.
[a+b]^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Để tính số hạng của từng từ, ta sử dụng công thức binôm:
Số hạng của a = [3!]/[3!0!] = 1
Số hạng của b = [3!]/[2!1!] = 3
Do đó, trong khai triển nhị thức [a+b]^3, có tổng cộng 8 số hạng.
Nhị thức Newton
Khai triển [ a + b]n được cho bởi công thức sau:
Với a, b là các số thức và n là số nguyên dương, ta có:
Quy ước a0 = b0 = 1
Hệ quả:
Tính chất của công thức nhị thức Newton
Tính chất của công thức nhị thức Newton
- Số các số hạng của công thức là n + 1
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:
[ n – k] + k = n
- Số hạng tổng quát của nhị thức là:
Tk+1 = Cnk an-k bk [ Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển [ a + b]n ]
- Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau
Một số kiến thức liên quan
Công thức khai triển nhị thức newton:
Công thức số tổ hợp
Tính chất lũy thừa
BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON
Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau
Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m
Từ đó tìm: k = [ m – np] / [ p – q]
Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trên
Nếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển
P[x] = [ a + bxp + cxq]n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n
Ta làm như sau:
- Viết P [x] = [ a + bxp + cxq]n
- Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxp + cxq
- Thành một đa thức theo lũy thừa của x
- Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton
Ta làm như sau:
- Tính hệ số ak theo k và n
- Giải bất phương trình sau với ẩn số k
- Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển [ 2 – 3x]25
Giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển là:
C2025. 25 [ -3x]20 = 25. 320. C2025. X20
Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển [3x2 –y]10
Giải:
Trong khai triển [3x2 –y]10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -35 .C510
Ví dụ 3: Tìm hệ số của x3 , [x >0] trong khai triển sau:
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: Tk + 1 = Ck6 .x6-k. 2k. x[-k/2]
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – [ k /2] = 3 => k = 3
Khi đó hệ số của x3 là: C36.23 = 160
Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm hệ số xk trong khai triển nhị thức newton
Phương pháp chung:
- Sử dụng công thức khai triển nhị thức newton
- Tìm số hạng có chứa xk và tìm hệ số tương ứng
Ví dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển [ 2 + x]5
Giải:
Ta có
Cho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35. 25-3 = 40
Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải
[a + b]n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn
Suy ra điều phải chứng minh
- Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.
Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Phương pháp giải các bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
- Chọ một khai triển [ a+ x]n phù hợp, ở đây a là hằng số
- Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân
- Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể
Bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợp
Ví dụ: Giải bất phương trình sau: [ A22x – A2x < = [ 6/ x]. C3x + 10
Giải:
Điều kiện: x phải là một số nguyên dương và x > = 3
Ta có bất phương trình đã cho tương đương với:
Vì x là nghiệm nguyên dương và x > = 3 nên x thuộc {3 ; 4}
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau:
Giải:
Công thức khai triển của biểu thức là:
Để số hạng chứa x5 vậy k = 2 và n = 3
Vậy hệ số của x5 là C211 + C37 = 90
Bài tập 2: Tính B = 2n C0n – 2n-1 C1n + 2n-2 C2n + … + [-1]k 2n-k Ckn + … + [-1]2 Cnn
Giải:
Bài tập 3: Tính C = C610 + C710 + C810 + C910 + C1010
Giải:
Bài tập 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
x[ 1- 2x]5 + x2 [1 + 3x]10
Bài tập 5: Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của [ x2 + 1]n [ x + 2]n. Tìm n để a3n – 3 = 26n
Bài tập 6: Tính tổng S = C02013 + 3 C12013 + 32 C22013 + … + 32013 C20132013
Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu thức:
Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển [ 1 + 2x]10
Bài tập 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P [x] = [ x+1]6 + [ x+1]7 + … + [ x+1]12
Bài tập 10: Tìm hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển [ 2a – b]5
1,169
Chọn B
Vậy khai triển trên có 2019 số hạng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Số vectơ khác 0⇀, có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho là
Xem đáp án 6,194
Từ các chữ số thuộc tập X = {0;1;2;3;4;5;6;7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó đều chia hết cho 18.
Xem đáp án 3,116
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ, đồng thời ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ đứng xen kẽ?
Xem đáp án 3,072
Cho k, n [k < n] là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem đáp án 1 2,371
Số cách chọn ra 3 học sinh trong số 10 học sinh không tính thứ tự là
Xem đáp án 2,357
Sắp xếp 20 người vào 2 bàn tròn A, B phân biệt, mỗi bàn gồm 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp là
Xem đáp án 1,814
Cho khai triển [1+2x]2019 = a0 + a1x + a2x2 + ..... +anxn. Tính tổng các hệ số trong khai triển?
Xem đáp án 1,521
Trong khai triển [1+x]n biết tổng các hệ số Cn1 + Cn2 + Cn3 + .... + Cnn-1 = 126. Hệ số của x3 bằng
Xem đáp án 1,464
Tìm tất cả các giá trị của n thỏa mãn Pn.An2 + 72 = 6.[An2 + 2Pn].
Xem đáp án 1,448
Cuối năm học trường Chuyên Sư phạm tổ chức 3 tiết mục văn nghệ chia tay khối 12 ra trường. Tất cả các học sinh lớp 12A đều tham gia nhưng mỗi người chỉ được đăng kí không quá 2 tiết mục. Biết lớp 12A có 44 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách để lớp lựa chọn?
Xem đáp án 1,377
Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
Xem đáp án 1,370
Cho tập hợp S có 12 phần tử. Hỏi có bao nhiêu cách chia tập hợp S thành hai tập con [không kể thứ tự] mà hợp của chúng bằng S ?
Xem đáp án 1,143
Một lớp có 33 học sinh, cần chọn ra 6 học sinh để trực trường vào buổi chiều. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Xem đáp án 1,061
Trong mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có các đỉnh thuộc 18 điểm đã cho là
Xem đáp án 1,045
Tổng S = C20190 + C20193 + C20196 + .....+ C20192019 bằng
Xem đáp án 834