Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m\] thuộc đoạn \[\left[ {0;2022} \right]\] để bất phương trình \[\left[ {\left[ {m 1} \right]{4^x} \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1} \right]\left[ { x + {4^{1 x}}} \right] \le 0\] nghiệm đúng với mọi \[x\] thuộc \[\left[ {0;1} \right]\]?
A. \[1011\].
B. \[2021\].
C. \[2022\].
D. \[1\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét hàm số: \[f\left[ x \right] = x + {4^{1 x}} \Rightarrow f\left[ x \right] = 1 {4^{1 x}}.\ln 4 < 0\,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
Do đó: \[\forall x \in \left[ {0\,;1} \right]\] \[ \Rightarrow f\left[ 0 \right] \ge f\left[ x \right] > f\left[ 1 \right]\] hay \[4 \ge x + {4^{1 x}} > 0\].
Bất phương trình đã cho tương đương với: \[\left[ {m 1} \right]{4^x} \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1 \le 0\,,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;1} \right]\].
Biến đổi BPT về dạng \[m \le \frac{{{4^{2x}} {4^x} + 2}}{{{4^x}\left[ {{4^x} + 2} \right]}}\,,\,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;1} \right]\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\].
Đặt \[t = {4^x}\]. Với \[x \in \left[ {0\,;1} \right]\] \[ \Rightarrow t \in \left[ {1\,;4} \right]\].
Xét hàm số \[g\left[ t \right] = \frac{{{t^2} t + 2}}{{{t^2} + 2t}}\], với \[t \in \left[ {1\,;4} \right]\]\[ \Rightarrow g\left[ t \right] = \frac{{3{t^2} 4t 4}}{{{{\left[ {{t^2} + 2t} \right]}^2}}}\].
Cho \[g\left[ t \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{2}{3} \notin \left[ {1\,;4} \right]\end{array} \right.\].
Ta có bảng biến thiên sau:
Vậy \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\]. Vì \[m\] thuộc đoạn \[\left[ {0;2022} \right]\] nên có giá trị \[m = 0\] thỏa mãn.