Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn (2^x^2-4^x)(log3(x+25)-3)
|
Giải chi tiết: Xét bất phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\,\left( 1 \right)\). ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + y > 0\end{array} \right.\) Nếu x = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln y\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln y \le 0 \Leftrightarrow y = 1\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài) Nếu x = 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow y = 0\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài) Nếu x khác 0 và 1, ta có 2 trường hợp sau: TH1: x + y = 1, bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\), luôn đúng với mọi x nguyên TH2: x + y > 1, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} \ge \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}\,\,\,\left( 2 \right)\) Với mỗi giá trị x nguyên, ta coi x là tham số, xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}}\) với y > 1 – x Ta có \(f'\left( y \right) = \dfrac{{\dfrac{{\ln \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + y}} - \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{x + y}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\ln \left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + y} \right)\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + y} \right){{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}}\) Do hàm số \(g\left( t \right) = t\ln t\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(1 < x + y < {x^2} + y\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ {0;1} \right\}\)nên ta có f’(y) < 0 với mọi y thỏa mãn điều kiện. Suy ra hàm f(y) nghịch biến trên \(\left( {1 - x; + \infty } \right)\)và \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 - x < y < {y_0}\) (*) với y0 là nghiệm của phương trình \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}} \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right)\) (3) Đặt \({\log _4}\left( {{x^2} + {y_0}} \right) = {\log _3}\left( {x + {y_0}} \right) = u\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y_0} = {4^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = {4^u} - {3^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right.\) Tổng kết cả hai trường hợp, ta thấy số các số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) là \(\left[ {{y_0}} \right] - \left( {1 - x} \right) + 1 = \left[ {{y_0}} \right] + x\) Giá trị này sẽ không vượt quá 242 khi và chỉ khi \({y_0} + x < 243 \Leftrightarrow {3^u} < 243 \Leftrightarrow u < 5 \Leftrightarrow {4^u} - {3^u} < 781\) (Lưu ý là các hàm số \({3^u}\) và \({4^u} - {3^u}\) đều đồng biến) Điều này xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} - x = {4^u} - {3^u} < 781 \Leftrightarrow {x^2} - x - 781 < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 27,45 \approx \dfrac{{1 - 25\sqrt 5 }}{2} < x < \dfrac{{1 + 25\sqrt 5 }}{2} \approx 28,45\\x e 0;x e 1\end{array} \right.\). Kết hợp với các giá trị \(x = 0,\,\,x = 1\) ta có tất cả 56 giá trị của \(x\) thỏa mãn bài toán. Chọn D.
Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\), biểu diễn \(P = x + y\) và \(S = xy\) theo \(t\). - Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) (ẩn t). - Tìm điều kiện để phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của \(t\). - Từ đó chặn khoảng giá trị của \({x^2} + {y^2}\) và tìm các số nguyên x thỏa mãn. Giải chi tiết: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.\). Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\) Khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) phải có nghiệm, khi đó ta có \(\Delta {'_{\left( * \right)}} \ge 0\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} - 2.\left( {{9^t} - {4^t}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left( C \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\). Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\).  Tập hợp các cặp giá trị của \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (I) là miền bôi đậm. Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\). Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ta có bảng xét dấu Suy ra \(f(x) \leqslant 0 < = > \left[ \begin{gathered} - 30 < x \leqslant 0 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) Mặt khác x thuộc Z nên \(x \in {\text{\{ }} - 29; - 28; - 27;.....; - 2; - 1;0;2\} \) Vậy có 31 số nguyên x thỏa mãn Chọn A Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải AMBIENT-ADSENSE/ Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁC
UREKA |
