- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các dạng bài toán liên quan đến mặt cầu - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
1. Phương pháp giải
Quảng cáo
Cho mặt cầu có bán kính R, khi đó:
• Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 .
• Thể tích khối cầu V =
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là:
A. 4√3πR2 . B. 4πR2 . C. 6πR2 . D. 12πR2 .
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức: S = 4πR2
Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là:
S = 4π[R√3]2 = 12πR2 .
Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng:
A.
Hướng dẫn giải:
Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.
Thể tích khối cầu là:
V = πR3 = π[2a]3 = πa3 .
Chọn A
Quảng cáo
Ví dụ 3. Khối cầu [ S] có diện tích mặt cầu bằng [đvdt]. Tính thể tích khối cầu.
A.
C.
Hướng dẫn giải:
Do khối cầu [S] có diện tích mặt cầu bằng nên ta có:
S = 4πR2 = 16π ⇒ R = 2
Thể tích của khối cầu là:
V = πR3 = π23 = π [đvdt].
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho khối cầu có thể tích là 36π [cm3] . Bán kính R của khối cầu là:
A. R = 6 cm B. R= 3 cm.
C. R = 3√2 cm D. R = √6 cm
Hướng dẫn giải:
Thể tích của khối cầu V =
πR3 = 36π
⇒ R3 = 27 ⇔ R = 3 cm.
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ 5. Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ [như hình vẽ].
Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là
A. 50π[m2] B. 64π[m2]
C. 40π[m2] D. 48π[m2]
Hướng dẫn giải:
Gọi 4x [ m] là đường sinh hình trụ.
Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x [m].
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R = x;
đường sinh l = h = 4x và thể tích khối cầu có bán kính R= x.
Do đó, thể tích bồn chứa nước là:
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
π[4x2 + 2.x.4x] = 48π[m2] .
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Phương pháp xác định mặt cầu cực hay
- Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay
- Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay
- Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay
- Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay
- Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải
- Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay
- Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ cực hay, có lời giải
- Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương cực hay
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp
10:42:5728/10/2020
Như các em đã biết, mặt cầu tâm O bán kính r là tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r [r>0].
Vậy công thức và cách tính diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu được viết như thế nào? Nội dung bài viết này chúng ta cùng ôn lại các công thức tính này và vận dụng vào các bài tập minh họa cụ thể.
I. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
1. Công thức tính diện tính mặt cầu
- Mặt cầu có bán kính r có diện tích là:
2. Công thức tính thể tích khối cầu
- Khối cầu có bán kính r có thể tích là:
> Chú ý: - Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn nhất của mặt cầu đó.
- Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.
II. Bài tập vận dụng tính diện tích mặt cầu và Thể tính khối cầu
* Bài 1 [Bài 10 trang 49 SGK Hình học 12]: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
* Lời giải:
- Minh họa hình như sau:
- Ta có, ΔSAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên:
⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
- Kẻ đường thẳng Δ qua M và vuông góc với mp[SAB], khi đó ta có:
Δ//SC và Δ là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB.
- Trong mp[Δ,SC], đường trung trực của SC cắt Δ tại điểm I.
- Ta có: IS = IC. [1]
và IS = IB = IA [2].
Từ [1] và [2] suy ra: IA = IB= IC = IS
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
- Diện tích mặt cầu là:
- Thể tích khối cầu là:
* Bài 2 [Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12]: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
* Lời giải:
- Hình minh họa như sau:
- Giả sử Δ là trục của hình vuông ABCD, vậy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nằm trên Δ.
- ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có:
- Vì SO = a/2 < OC nên tâm I của mặt cầu phải nằm trên phần kéo dài SO.
- Ta có:
- Vậy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nằm trên SO mà SI = R = 31/4; [R là bán kính hình cầu], khi đó:
- Diện tích mặt cầu là:
- Thể tích khối cầu là:
* Bài 3 [Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12]: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] và SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng bao nhiêu?
* Lời giải:
- Hình minh họa như sau:
- Gọi M là trung điểm của BC, khi đó MC = MB = MA ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
- Dựng Mt ⊥ [ABC] ta có: Mt//SA và Mt là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC
- Trong mp[SA,Mt] đường trung trực của SA cắt Mt tại I, ta có:
IS = IA và IA = IB = IC
⇒ IS = IA = IB = IC
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
- Bán kính mặt cầu:
Đến đây nếu muốn tính diện tích mặt cầu tâm I bán kính R hay thể tích mặt cầu tâm I bán kính R ta chỉ việc vận dụng công thức là ra kết quả.
Như vậy, việc vận dụng công thức tính diện tích mặt cầu mà thể tích khối cầu tương đối dễ dàng, tuy nhiên việc xác định được bán kính của mặt cầu hay bán kính của khối cầu là điều không dễ.
Vì vậy, các em cần làm nhiều các bài tập liên quan để xác định được bán kính của mặt cầu, khối cầu từ đó mới vận dụng được công thức chúng ta có.
Hy vọng với bài viết về công thức, cách tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu, bài tập vận dụng của Hay Học Hỏi ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.