Công thức tính số hạng đầu tiên của dãy số
|
Công thức tính tổng dãy số cách đều là gì? Công thức tính tổng dãy số không cách đều là gì? Đây là kiến thức rất quan trọng lớp 5, nhưng rất nhiều em còn chưa nắm rõ. Do vậy, hôm nay chúng tôi sẽ đưa ra công thức tính tổng dãy số cách đều và không đều và những bài tập có lời giải để các em thực hành và nắm rõ kiến thức. Show >>Xem thêm:
 Bài toán tính tổng dãy số là gì?Bài toán tính tổng dãy số là bài có một dãy số gồm nhiều số hạng, tuy nhiên trước mỗi số hạng không nhất định phải là dấu cộng mà có thể là dấu trừ hoặc bao gồm cả dấu cộng và dấu trừ Công thức tính tổng dãy số cách đềuCông thức tính tổng dãy số cách đều = (số hạng đầu + số hạng cuối) x số số hạng có trong dãy : 2 Tính số cuối cách đều = số hạng đầu + (số số hạng – 1) x đơn vị khoảng cách Tính số đầu cách đều = số hạng cuối– (số số hạng trong dãy – 1) x đơn vị khoảng cách Tính số số hạng trong dãy = (số hạng cuối – số hạng đầu) : đơn vị khoảng cách + 1 Tính trung bình cộng = trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy Chú ý:
Ví dụ: Cho dãy số 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Biết dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối bằng 26 Lời giải: Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều ở trên ta có: Tổng = (2 + 26) x 9 : 2 = 126 Số cuối = 2 + 3 x (9 – 1) = 26 Số đầu = 26 – 3 x (9 – 1) = 0 Số số hạng = (26 – 1) : 3 + 1 = 9,3 TB cộng = (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26) : 9 = ( 2 + 26) : 2 = 14 hay = số ở giữa là 14 Công thức tính tổng dãy số không cách đềuDãy số không cách đều là dãy số Fibonacci hoặc tribonacci. Dãy số có tổng ( hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số Ví dụ: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4+….+n(n + 1) Lời giải 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3+…+n(n + 1).3 = 1.2.(3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2)+….+n(n + 1)[(n + 2) – (n + 1)] = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4+….+n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) Một số bài toán về tính tổng dãy số cách đều và không cách đềuBài tập tính tổng dãy số cách đềuBài tập 1: Tính giá trị của T biết: T = 2 + 3 + 4 + 5 +….+2015 Lời giải Dãy số trên có số số hạng là: (2015 – 1) : 2 + 1 = 1008 Giá trị của T là: (2015 + 2) x 1008 : 2 = 1016568 Đáp số: 1016568 Bài tập 2: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy số là 2011? Lời giải Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2011 – (40 – 1) x 2 =1933 Tổng của 40 số lẻ cần tìm là: (2011 + 1933) x 40 : 2 = 78880 Đáp số:78880 Bài tập 3: Một khu phố có 25 nhà. Số nhà cuả 25 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy số đó bằng 1145. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của khu phố đó là số bao nhiêu? Lời giải Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu tiên là: (25 – 1) x 2 = 48 Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 1145 x 2 : 25 = 91,6 Số nhà đầu tiên trong khu phố đó là: (91,6 – 48) : 2 = 21,8 Đáp số: 21,8 Bài tập tính tổng dãy số không cách đềuBài tập 1: Tính M = 1.2.3 + 2.3.4+….+(n – 1)n(n + 1) Lời giải 4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.4+ … + (n – 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4 (5 – 1)+….+ (n – 1)n(n + 1).[(n + 2) – (n – 2)] = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4+….+ (n – 1)n(n + 1)(n + 2) – (n – 2)(n – 1)n(n + 1) = (n – 1_n(n + 1)(n + 2) Bài tập 2: Tính N = 1.4 + 2.4 + 3.6 + 4.7+…+ n(n + 3) Lời giải Ta có: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1) + 2.1 2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1) + 2.2 3. 6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1) + 2.3 4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1) + 2.4 …………………….. N(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy N = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3+ … + n(n + 1) + 2n = 1.2 + 2 + 2.3 + 4 + 3.4 + 6 + ….. + n(n + 1) + 2n = [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n(n + 1) + (2 + 4 + 6 +… + 2n) Mà 1.2 + 2.3 + 3.4+ …. + n(n + 1) Hy vọng với những công thức và bài tập ở trên sẽ giúp các em học sinh lớp 5 dễ dàng giải bài toán tính tổng dãy số cách đều và không cách đều. Nếu như gặp bài toán nâng cao nào khó hãy để lại bình luận bên dưới chúng tôi sẽ giúp các em phân tích bài toán và giải bài toán đó. Chúc các em có một buổi học tốt. Dưới đây là cách tính số số hạng Tính tổng của dãy số tự nhiên theo quy luật là phần tính toán quan trọng trong chủ đề: “Dãy quy luật”. Cùng ôn lại và luyện tập thêm các dạng bài tập liên quan qua bài giảng dưới đây. Hãy tham khảo với Mobitool nhé. ===>> Bải tập công thức tìm số hạng thứ n nâng cao
Ví dụ 1: Cho một dãy số cách đều: 1; 3; 5; 7; 9; …; 2017. Tìm số số hạng. Số đầu là: 1 Số cuối là: 2017 Khoảng cách giữa 2 số hạng trong dãy số cách đều: 2 SSH (Số số hạng) = (2017 – 1) : 2 + 1 = 1009 Ví dụ 2: Cho một dãy số cách đều: 0; 3; 6; 9; …Tìm số hạng thứ 51. Số đầu là: 0 Khoảng cách giữa 2 số hạng trong dãy số cách đều: 3 Số hạng thứ 51 = (51 – 1) x 3 + 0 = 150 Bài tập 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; 13; … a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) Hãy cho biết, trong các số 2016; 2017; 2018 số nào thuộc dãy? Là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? Hướng dẫn giải: a) – Số đầu là: 1 – Khoảng cách giữa hai số hạng trong dãy số cách đều: 3 – Số hạng thứ 100 = (100 – 1) x 3 + 1 = 298 b) Vì khoảng cách giữa các số hạng là 3, số hạng đầu tiên là 1 => Các số đều là chia 3 dư 1. Xét ba số: 2016; 2017; 2018 xem số nào có đặc điểm tương tự (Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3). 2016: Có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 3 2017: Có tổng các chữ số là 10, chia 3 dư 1 2018: Có tổng các chữ số là 11, chia 3 dư 2 Vậy, 2017 là số thuộc dãy, và là số hạng thứ: (2017 – 1) : 3 + 1 = 673 Bài tập 2: a) Cho dãy số: 1; 6, 11; 16; …; 256. Dãy này có … số hạng. b) Số hạng thứ 18 của dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; … là số … c) Số hạng thứ 26 của dãy số: 1; 5; 9; 13; 17; … là số … d) Số hạng thứ 25 của dãy số: 2; 5; 8; … là … Hướng dẫn giải:
Bài tập 3: Chia dãy nhóm số tự nhiên sau: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), … a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 50. b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 50. c) Tính tổng các số thuộc 50 nhóm đầu tiên. Hướng dẫn giải: a) Nhận xét: Nhóm 1 có 1 số hạng; Nhóm 2 có 2 số hạng; Nhóm 3 có 3 số hạng; => Nhóm thứ n có n số hạng. Nhóm 1: (1) – Nhóm 2: (2; 3) Nhóm 3: (4; 5; 6) Nhóm n: 1 + 2 + 3 + .. + (n – 1) Số hạng đầu tiên của nhóm thứ 50 = 50 x 49 : 2 + 1 = 1226. b) Nhóm 50: (1226; 1227, …,) Số thứ 50 của nhóm 50 = (50 – 1) x 1 + 1226 = 1275 Tổng các số thuộc nhóm 50 = (1226 + 1275) x 50 : 2 = 62525 c) Tổng các số thuộc 50 nhóm đầu tiên: 1 + 2 + 3 + … + 1275 = (1275 + 1) x 1275 : 2 = 813450 Bài tập 4: Tính tổng sau a) 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + … + 99 x 100 b) 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + … + 99 x 101 Hướng dẫn giải: a) Gọi A là tổng của phép tính đầu tiên. Đặt phép tính với hiệu của số phía sau của 100 trừ đi số phía trước của 99. Khoảng cách giữa các số là 1 đơn vị. 101 – 98 = 3 Đặt phép tính (A x 3) = (1 x 2 x 3) + (2 x 3 x 3) + (3 x 3 x 4) + … + (99 x 101 x 3) = (1 x 2 x 3) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) x … x 99 x 100 x (101 – 98) = 99 x 100 x 101 = 999900 Vậy A = 999900 : 3 = 333300 b) Đặt phép tính với hiệu của số phía sau 101 và phía trước của 99. Khoảng cách giữa các số là 2 đơn vị. 103 – 97 = 6 Đặt phép tính (B x 6) = 1 x 3 x 6 + 3 x 5 x (7 – 1) + … + 99 x 101 x (103 – 97) = 1 x 3 x 6 – 1 x 3 x 5 + 99 x 101 x 103 = 1029900 Vậy B = 1029900 : 6 = 171650 Bài giảng “Tính tổng của dãy số tự nhiên theo quy luật” của thầy Bùi Minh Mẫn (HOCMAI) gồm 6 dạng bài tập kèm theo với mức độ khó tăng dần. Nếu như dạng 1 vẫn chỉ là ghép công thức với mức độ thông hiểu thì sang đến dạng 3, bài tập đã phức tạp và đòi hỏi học sinh cần phải biết tưởng tượng và vận dụng tư duy mới có thể hoàn thành. Những bài tập nâng cao là điều cần thiết đối với những học sinh chuẩn bị thi tuyển sinh vào 6 các trường THCS hàng đầu. Trong thời điểm hiện tại, khi học sinh vẫn được nghỉ học tại nhà thì nên luyện tập càng nhiều các tốt những bài tập với mức độ khó cao. Điều này sẽ rèn cho học sinh phản xạ nhanh, học được cách tư duy khi đối diện với một bài tập phức tạp. Hãy ôn luyện an toàn tại nhà với HM6 – Toàn Diện của HOCMAI – Hệ thống giáo dục trực tuyến với hơn 13 năm kinh nghiệm ôn luyện thi. Với phương pháp giáo dục chất lượng, học sinh hoàn toàn tiếp thu kiến thức hiệu quả ở nhà. GIẢI PHÁP HM6 – LUYỆN THI TOÀN DIỆN TẠI NHÀ >>> TẠI ĐÂY <<< |
