Công thức tính the tích hình chóp đều

• Đã đăng 2018-08-01 10:54:34
• 60.236 lượt xem
• 2 bình luận
• Kiến thức toán học

Công thức tổng quát và công thức tính nhanh thể tích khối chóp đều:

1. Một số trường hợp đặc biệt

• Khối tứ diện đều cạnh $a$ có $V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ trong đó $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ là chiều cao khối tứ diện đều.  
• Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
• Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2[2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}]}}{6}.$
• Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a,$ có $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
• Khối bát diện đều cạnh $a$ là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
• Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3[{{b}^{2}}-{{a}^{2}}]}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và thể tích của khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học sinh - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? để hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất.

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thi sinh:

1. PRO X 2019: Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, đều có thể theo học khoá này.
2. PRO XMAX 2019: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X
3. PRO XPLUS 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán gồm 20 đề 2019 và được tặng kèm 20 đề khoá Luyện đề PRO XPLUS 2018. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình khoá PRO X. 
4. PRO XMIN 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Hình chóp, hình chóp đều

+ Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung đỉnh.

Trên hình 1 ta có hình chóp $S.ACBD$, $SH \bot {\rm{mp}}\left[ {ABCD} \right]$, $S$ là đỉnh, $SH$ là đường cao của hình chóp.

+ Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh [là đỉnh của hình chóp đều].

Trên hình  ta có hình chóp tứ giác đều, $SO$ là đường cao, $O$ là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của lục giác $ABCD$.

Đường cao $SK$ của mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp.

+ Khi cắt hình chóp đều bởi mộ mặt phẳng song song với đáy, phần hình chóp nằm giữa hai mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều.

Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

Trên hình 2, ta có hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$.

2. Diện tích xung quanh của hình chóp đều

  Diện tíchxung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

\[{S_{xq}} = p.d\]  [$p$ là nửa chu vi đáy; $d$ là trung đoạn của hình chóp đều].

+ Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy.

+ Với hình chóp, để tính diện tích xung quanh ta tính tổng diện tích của các mặt bên.

+  Để tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều, ta tính diện tích một mặt bên rồi nhân với số mặt bên, hoặc lấy diện tích xung quanh của hình chóp đều lớn trừ đi diện tích xung quanh của hình chóp đều nhỏ.

3. Thể tích hình chóp đều

+  Thể tích của hình chóp đều bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao:  $V = \dfrac{1}{3}S.h$

[ $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao]

+  Để tính thể tích của hình chóp cụt đều, ta lấy thể tích của hình chóp đều lớn trừ đi thể tích của hình chóp đều nhỏ.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1:  Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố [cạnh, mặt phẳng…] trong hình chóp đều, hình chóp cụt đều.

Phương pháp:

+ Sử dụng mối quan hệ  song song và vuông góc giữa các đường thăng, các mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.

+ Sử dụng kiến thức về hình chóp đều

Dạng 2: Tính độ dài cạnh, diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều.

Phương pháp:

Ta thường sử  dụng các công thức sau:

 + Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

\[{S_{xq}} = p.d\]  [$p$ là nửa chu vi đáy; $d$ là trung đoạn của hình chóp đều].

+ Diện tích toàn phần của hình chop bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy.

+ Với hình chóp, để tính diện tích xung quanh ta tính tổng diện tích của các mặt bên.

+  Để tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều, ta tính diện tích một mặt bên rồi nhân với số mặt bên, hoặc lấy diện tích xung quanh của hình chóp đều lớn trừ đi diện tích xung quanh của hình chóp đều nhỏ.

+  Thể tích của hình chóp đều bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao  $V = \dfrac{1}{3}S.h$

[ $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao]

+  Để tính thể tích của hình chóp cụt đều, ta lấy thể tích của hình chóp đều lớn trừ đi thể tích của hình chóp đều nhỏ.

Hình chóp là hình được học rất nhiều ở lớp 11, lên lớp 12 các bạn gặp lại trong chủ đề khối đa diện. Nếu bạn gặp khó khăn về công thức tính thể tích khối chóp, hay công thức tính thể tích hình chóp cụt thì xem bài viết này.

Ở bài viết này Toán học sẽ nêu rõ hình chóp là gì; công thức tính thể tích chóp và hình chóp cụt; thể tích hình chóp tứ giác đều; … chuẩn xác nhất. Cuối bài là bài tập minh họa kèm lời giải chi tiết.

1. Hình chóp là gì?

Một đa giác [tam giác, tứ giác, lục giác, … ] có các điểm nối với một điểm khác ngoài đa giác được gọi là hình chóp [hay khối chóp]. Đa giác được gọi là mặt đáy và điểm nằm ngoài đa giác được gọi là đỉnh của hình chóp.

Ta thường gặp:

• hình chóp tam giác là hình chóp có đáy là tam giác.
• hình chóp tứ giác là hình chóp có đáy là tứ giác.
• hình chóp tam giác đều là hình chóp đáy là tam giác đều.
• hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đấy là tứ giác đều.
• …..

Hình chóp cụt là hình được tạo bởi thiết diện của một mặt phẳng song song với đáy của hình chóp

2. Thể tích khối chóp

Công thức tính thể tích hình chóp

Công thức tính thể tích hình chóp cụt:

công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp đều

3. Những công thức hình chóp cần nhớ

4. Bài tập

Bài tập 1. Cho S.ABCD là hình chóp đều có AB = SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{{{a^3}}}{3}$

B. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$

C. ${a^3}$

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S lên [ABCD]

$\begin{array}{l} AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ {S_{ABCD}} = {a^2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} \end{array}$

Bài tập 2. Thể tích khối tam diện vuông O.ABC vuông tại O có OA = a, OB = OC = 2a là

A.$\frac{{{a^3}}}{6} \cdot $

B. $2{a^3}$.

C. $\frac{{2{a^3}}}{3} \cdot $

D. $\frac{{{a^3}}}{2} \cdot $

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_{OBC}} = \frac{1}{2}OB.OC = 2{a^2}\\ h = OA = a \end{array} \right.{\rm{ }}\\ \Rightarrow {V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}OA \cdot {S_{OBC}} = \frac{{2{a^3}}}{3} \end{array}$

Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giácABC vuông tại A, SA = 2 cm, AB = 4cm, AC = 3 cm. Tính thể tích khối chóp.

A. $\frac{{12}}{3}c{m^3}$.

B. $\frac{{24}}{5}c{m^3}$.

C. $\frac{{24}}{3}c{m^3}$.

D. $24c{m^3}$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 6\,c{m^2}\\ h = SA = 2\,cm \end{array} \right.{\rm{ }}\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{{12}}{3}c{m^3} \end{array}$

Bài tập 4. Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, $SA = a\sqrt 3 ,AC = a\sqrt 2 $. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2} \cdot $

B. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} \cdot $

C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2} \cdot $

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} \cdot $

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} SA = a\sqrt 3 \\ AB = AC.\cos \left[ {{{45}^0}} \right] = a \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2} \end{array} \right.{\rm{ }}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} \end{array}$

Bài tập 5.

Bài tập 6.

Những chia sẻ về các công thức tính thể tích hình chóp, thể tích hình chóp cụt kèm bài tập minh họa xin tạm dừng tại đây. Đừng quên quay lại trang toanhoc.org để đón xem những chủ đề tiếp theo nhé.