Véc tơ đơn vị trên trục \[Oy\] là:
Điểm \[M\left[ {x;y;z} \right]\] nếu và chỉ nếu:
Hình chiếu của điểm \[M\left[ {1; - 1;0} \right]\] lên trục ${\rm{O}}z$ là:
Điểm \[M \in \left[ {Oxy} \right]\] thì tọa độ của \[M\] là:
Tọa độ điểm \[M\] là trung điểm đoạn thẳng \[AB\] là:
Tọa độ trọng tâm tam giác \[ABC\] là:
Tọa độ trọng tâm tứ diện \[ABCD\] là:
Tính chất của trọng tâm và cách xác định trọng tâm trong Hình học
Như các bạn đã biết giao điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác chính là trọng tâm của tam giác đó, vậy chúng là điểm như thế nào và có những tính chất đặc biệt gì. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!
I. Lý thuyết về trọng tâm
1. Trọng tâm là gì?
Trọng tâm trong tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh.
Cho tam giác ABC, trong đó AM, BN, CP lần lượt là trung tuyến của tam giác xuất phát từ đỉnh A, B, C. AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G chính là trọng tâm của tam giác
Công thức liên quan:
- Hình đa giác đều n cạnh
- Hình lục giác
2. Tính chất trọng tâm của tam giác
Để xác định trọng tâm của một tam giác ta thực hiện:
Cách 1:
- Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
- Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
- Tương tự với các đường trung tuyến còn lại.
- Giao 3 đường trung tuyến là điểm G. Suy ra G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cách 2:
- Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
- Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
- Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G sao cho: \[AG=\dfrac{2}{3} AM\]
- Vậy theo tính chất trọng tâm ta có G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung tuyến tại đỉnh A, B, C. Ta có giao của ba đường trung tuyến là điểm G. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có tính chất:
\[\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Rightarrow AG=\dfrac{2}{3} AM\]
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\]
II. Trọng tâm của các hình học đặc biệt
Tam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA, vì BA là đường trung tuyến của góc vuông nên: BA = 1/2 CD=AD = AC.
Vậy tam giác ADB và tam giaisc ABC lần lượt cân tại A,
Cho tam giác ABc cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác cùa tam giác ABC.
Hệ quả:
- \[\widehat{BAG}=\widehat {CAG}\]
- AG vuông góc với BC.
- Trọng tâm tam giác đều là gì
Cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trựa tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Ta có G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.
III. Luyện tập
Bài tập: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A
Lời giải:
Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:
\[\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}\]
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét \[\Delta BNG \ và \ \Delta CGM\] ta có:
BG = CN
GN = GM
\[\widehat{BGN}= \widehat{CGM}\] [ 2 goc đối đỉnh]
Suy ra : \[\Delta BNG \ đồng \ dạng \ \Delta CMG\]
Suy ra: BN = CM [1]
mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC [2]
Từ [1] và [2] ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A[ đpcm].
Tham khảo bộ công thức cực chất >>>>Toàn bộ công thức siêu nhanh Toán 12 đầy đủ nhất từ A - Z ôn thi THPTQG
Vậy là chúng ta đã tìm hiểu xong về khái niệm trọng tâm. Nếu có thắc mắc và ý kiến thú vị xin vui lòng để lại dưới mục bình luận nhé, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp từ các bạn!
Trọng tâm là gì, công thức tính trọng tâm của tam giác như thế nào? Mời các bạn đọc bài viết dưới đây để hiểu thêm về trọng tâm tam giác, kiến thức rất quan trọng và phổ biến trong những năm học phổ thông nhé.
Trọng tâm là gì?
Một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.
Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Tính chất của trọng tâm trong tam giác
Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:
|
Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.
Tam giác MNP vuông tại M. 3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN. |
Trọng tâm tam giác cân
Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm. Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:
|
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC. Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên: AB = AC. =>BP = CN và BN = AN = CP = AP. |
Trọng tâm tam giác đều
Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. |
Cách tìm trọng tâm tam giác
Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến
Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E. Bước 3:Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC. |
Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến
Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC. Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC. |
Bài tập về trọng tâm tam giác
Bài 1 : Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?
Giải:
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = [2/3] AD [theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác]. Do đó: AG = [2/3].9 = 6 [cm]. Vậy đọan AI có độ dài 6 cm. |
Bài 2:
Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Giải:
Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S. Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I. Ta có ∆MNP đều, suy ra: MS = PR = NO [1]. Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến: MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO [2]. Từ [1] , [2] ⇒ GA = GB = GC. |
Ngoài trọng tâm, tam giác còn có các kiến thức khác như diện tích tam giác, chu vi tam giác, đường cao tam giác, mời các bạn tham khảo.