Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $[ - 2021;2021]$ để hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] thuộc khoảng \[[ - 2021;2021]\] để hàm số \[y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1\] đồng biến trên khoảng \[[1;2]?\]
- \[2021.\]
- \[2022.\]
- \[2023.\]
- \[2024.\]
Đáp án D
Chọn D Ta có \[y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx.\] Để hàm số đồng biến trên khoàng \[[1;2]\] thì \[y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right] \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - m} \right] \ge 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right].\] Hay \[{x^2} - m \ge 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow m \le {x^2},\forall x \in \left[ {1;2} \right].\] Suy ra \[m \le \mathop {Max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {x^2} = 4.\] Mặt khác \[m \in \left[ { - 2021;2021} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;4} \right\}.\] Vậy có 2024 giá trị nguyên của tham số \[m\] thỏa mãn bài toán.
Để hàm số \[y = \dfrac{{x - 2}}{{x - m}}\] đồng biến trên từng khoảng xác định khi \[y' > 0 \Leftrightarrow - m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 2\].
Kết hợp điều kiện đề bài ta có: \[m \in \left[ { - 2020;2} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2020; - 2019;...;0;1} \right\}\].
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc khoảng $\left[ { - 1000;1000} \right]$ để hàm số $y = 2{x^3} - 3\?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \[m\] thuộc khoảng \[\left[ { - 1000;1000} \right]\] để hàm số \[y = 2{x^3} - 3\left[ {2m + 1} \right]{x^2} + 6m\left[ {m + 1} \right]x + 1\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {2; + \infty } \right]\]?
- \[999.\]
- \[1001.\]
- \[1998.\]
- \[998.\]
- Chia từng trường hợp dấu của đạo hàm, trong mỗi trường hợp xác định GTLN của hàm số trên \[\left[ {1;3} \right]\] và giải bất phương trình \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y > 0\].
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\].
Ta có: \[y' = \dfrac{{ - m - m - 6}}{{{{\left[ {x - m} \right]}^2}}} = \dfrac{{ - 2m - 6}}{{{{\left[ {x - m} \right]}^2}}}\].
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \[\left[ {1;3} \right]\] thì \[m \notin \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\]. Kết hợp điều kiện đề bài ta có \[m \in \left[ { - 20;1} \right] \cup \left[ {3;20} \right]\] [*].
TH1: \[ - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\], khi đó \[y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 3}} = 1\] là hàm hằng nên không có giá trị lớn nhất.
TH2: \[ - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\], khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số đồng biến trên \[\left[ {1;3} \right]\] \[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left[ 3 \right] = \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}}\] \[ \Rightarrow \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 9 < m < 3\].
Kết hợp điều kiện \[ \Rightarrow - 9 < m < - 3\].
TH3: \[ - 2m - 6 < 0 \Leftrightarrow m > - 3\], khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số nghịch biến trên \[\left[ {1;3} \right]\] \[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left[ 1 \right] = \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}}\] \[ \Rightarrow \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\].
Kết hợp điều kiện \[ \Rightarrow - 3 < m < 1\].
Kết hợp 2 TH ta có: \[m \in \left[ { - 9;1} \right]\backslash \left\{ { - 3} \right\}\].
Kết hợp điều kiện [*] ta có: \[m \in \left[ { - 9;1} \right]\backslash \left\{ { - 3} \right\}\]. Mà \[m \in \mathbb{Z}\].