Đề bài
Cho khối hộpHcó tâmI. Chứng minh rằng nếu \[mp\left[ \alpha \right]\] chiaHthành hai phần có thể tích bằng nhau thì \[\left[ \alpha \right]\] phải đi qua điểmI.
Lời giải chi tiết
Giả sửHlà khối hộp có tâmIvà \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng không đi quaI.
Ta phải chứng minh rằng \[\left[ \alpha \right]\] chiaHthành hai khối đa diệnH1vàH2có thể tích không bằng nhau.
Ta gọi \[\left[ {\alpha '} \right]\] là mặt phẳng đi quaIvà song song với \[\left[ \alpha \right]\]. Khi đó, \[\left[ \alpha \right]\] chiaHthành hai khối đa diệnH1vàH2.
VìIlà tâm củaHnên phép đối xứng tâmIbiếnH1thànhH2.
Vậy hai khối đa diện có thể tích bằng nhau và bằng \[{V \over 2}\]. Trong đóVlà thể tích củaH.
Hiển nhiên phần củaHnằm giữa hai mặt phẳng song song \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ {\alpha '} \right]\] có thể tích khác 0 nên thể tích củaH1vàH2không thể bằng nhau.