Đề bài
a] Cho hai phân số \[\displaystyle{1 \over n}\]và \[\displaystyle{1 \over {n + 1}}\left[ {n \in Z,n > 0} \right]\]. Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.
b] Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:
\[\displaystyle{\rm{A}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} \]\[\displaystyle+ {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\]
\[\displaystyle B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}}\]\[\displaystyle+ {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng các quy tắc :
- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ.
-Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau, nhân các mẫu với nhau.
b] Áp dụng kết quả câu a] để tính nhanh.
Lời giải chi tiết
a] \[\displaystyle{\rm{}}{1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over {n[n + 1]}}\] \[[1] \;\; [n Z, n 0]\]
\[\displaystyle{1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = {1 \over n} + {{ - 1} \over {n + 1}} \]
\[\displaystyle= {{n + 1} \over {n[n + 1]}} + {{ - n} \over {n[n + 1]}} \]\[\displaystyle= {{n + 1 - n} \over {n[n + 1]}} \]
\[\displaystyle= {1 \over {n[n + 1]}}\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] ta có: \[\displaystyle{1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}}\]\[\left[ {n \in Z,n > 0} \right].\]
b] Áp dụng kết quả câu a ta có:
\[\displaystyle{\rm{A}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} \]\[\displaystyle+ {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\]
\[\displaystyle = {1 \over 2} - {1 \over 3} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 4} - {1 \over 5} \]\[\displaystyle+ {1 \over 5} - {1 \over 6} + {1 \over 6} - {1 \over 7} + {1 \over 7} - {1 \over 8}\]\[\displaystyle+ {1 \over 8} - {1 \over 9} \]
\[\displaystyle ={1 \over 2} - {1 \over {9}} = {{9} \over {18}} - {{ 2} \over {18}} = {7 \over {18}} \]
\[\displaystyle B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} \]\[\displaystyle+ {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\]
\[\displaystyle= {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9} \]\[\displaystyle+ {1 \over 9}.{1 \over {10}} + {1 \over {10}}.{1 \over {11}} + {1 \over {11}}.{1 \over {12}}\]
\[\displaystyle= {1 \over 5} - {1 \over 6} + {1 \over 6} - {1 \over 7} + {1 \over 7} - {1 \over 8} \]\[\displaystyle+ {1 \over 8} - {1 \over 9} + {1 \over 9} - {1 \over {10}} + {1 \over {10}} - {1 \over {11}} \]\[\displaystyle+ {1 \over {11}} - {1 \over {12}} \]
\[\displaystyle= {1 \over 5} - {1 \over {12}} = {{12} \over {60}} - {{ 5} \over {60}} = {7 \over {60}} \]