Đề thi học sinh giỏi toán 8 cấp huyện

1. VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút [không kể thời gian giao đề] [Đề thi gồm có 01 trang] ĐỀ BÀI Câu 1 [2 điểm]: Phân tích đa thức thành nhân tử a] 62 −− xx b] 241423 +−− xxx Câu 2 [3 điểm]: Cho biểu thức A = 933193 363143 23 23 −+− − xxx xxx a] Tìm giá trị của x để biểu thức A xác định. b] Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0. c] Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 3 [5 điểm]: Giải phương trình: a] 12][4][ 222 =+ xxxx b] 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx c] 0653856 234 =+−−− xxxx [phương trình có hệ số đối xứng bậc 4] Câu 4 [4 điểm]: a] Tìm GTNN: 20158425yx 22 +−− yxxy b] Tìm GTLN: 1 ]1[3 23 + + xxx x Câu 5 [6 điểm] Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a] Tính tổng 'CC 'HC 'BB 'HB 'AA 'HA ++ b] Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. c] Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. ___*HẾT*___ ĐỀ CHÍNH THỨC
2. VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN Câu 1 [2 điểm]: Phân tích đa thức thành nhân tử a] 62 −− xx [1 điểm] = 6322 −−+ xxx = ]2[3]2[ +−+ xxx = ]2][3[ +− xx b] 241423 +−− xxx [1 điểm] = 241222 223 +−−+− xxxxx = ]2[12]2[]2[2 −−−+− xxxxxx = ]12][2[ 2 −+− xxx = ]1234][2[ 2 −−+− xxxx = ]3][4][2[ −+− xxx Câu 2 [3 điểm]: Cho biểu thức A = 933193 363143 23 23 −+− − xxx xxx a] ĐKXĐ: 0933193 23 ≠−+− xxx [1 điểm]  3 1 ≠x và 3≠x b] 933193 363143 23 23 −+− − xxx xxx [1 điểm] = 2 2 ]3][13[ ]43[]3[ −− +− xx xx = 13 43 − + x x A = 0  3x + 4 = 0  x = 3 4− [ thỏa mãn ĐKXĐ] Vậy với x = 3 4− thì A = 0. c] A = 13 43 − + x x = 13 513 − +− x x = 1 + 13 5 −x [1 điểm] Vì Zx ∈  ZA∈  Z x ∈ −13 5  3x – 1 ∈ Ư[5] mà Ư[5] = {-5;-1;1;5} Vậy tại x ∈ {0;2} thì A ∈ Z. 3x – 1 -5 -1 1 5 x -4/3 [loại] 0 [nhận] 2/3 [loại] 2 [nhận]
3. điểm]: Giải phương trình: a] 12][4][ 222 =+ xxxx [1 điểm] Giải phương trình ta được tập nghiệm S = {-2;1} b] 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx [2 điểm]  1 2003 6 1 2004 5 1 2005 4 1 2006 3 1 2007 2 1 2008 1 + + + + =+ + + + xxxxxx  2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 2009 2008 2009 + + + + + = + + + + + xxxxxx  0 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 2009 2008 2009 = + − + − + − + + + + + xxxxxx  0] 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 ][2009[ =−−−+x  02009 =+x vì [ 0 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 ≠−−− ]  x = -2009 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2009} c] 0653856 234 =+−−− xxxx [2 điểm]  Chia cả 2 vế cho 2 x , ta được: 0 65 3856 2 2 =+−−− xx xx  038] 1 [5] 1 [6 2 2 =−+−+ x x x x [*]  Đặt x x 1 + = y => 2 2 1 x x + = 2 y Thay vào phương trình [*] rồi giải phương trình, ta được Tập nghiệm của phương trình là: {-2; 2 1− ;0; 3 1 } Câu 4 [4 điểm]: a] Tìm GTNN: P= 20158425yx 22 +−− yxxy b] Tìm GTLN: Q= 1 ]1[3 23 + + xxx x a] P = 20158425yx 22 +−− yxxy [2 điểm] P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = [x2 + y2 + 2xy] – 4[x + y] + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = [x + y – 2]2 + [2y – 1]2 + 2010 ≥ 2010 => Giátrịnhỏnhấtcủa P=2010khi 3 1 ; 2 2 x y= = b] Q = 1 ]1[3 23 + + xxx x [2 điểm] = ]1[]1[ ]1[3 2 + + xxx x = ]1][1[ ]1[3 2 ++ + xx x
4.  12 +x đạt GTNN Mà 12 +x 1≥ => 12 +x đạt GTNN là 1 khi x = 0. => GTLN của C là 3 khi x = 0. Câu 5 [6 điểm]: Vẽ hình đúng [0,5điểm] B A C I B’ H N x A’ C’ M D B A C I B’ H N x A’ C’ M D a] 'AA 'HA BC'.AA. 2 1 BC'.HA. 2 1 S S ABC HBC == ; [0,5điểm] Tương tự: 'CC 'HC S S ABC HAB = ; 'BB 'HB S S ABC HAC = [0,5điểm] 1 S S S S S S 'CC 'HC 'BB 'HB 'AA 'HA ABC HAC ABC HAB ABC HBC == [0,5điểm] b] Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI === [0,5điểm ] AM.IC.BNCM.AN.BI 1 BI IC . AC AB AI IC . BI AI . AC AB MA CM . NB AN . IC BI =⇒ === [0,5điểm ] c]Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx [0,5điểm] -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ [0,5điểm] - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD [0,5điểm] - ∆BAD vuông tại A nên: AB2 +AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ [BC+CD]2 [0,5điểm] AB2 + 4CC’2 ≤ [BC+AC]2 4CC’2 ≤ [BC+AC]2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ [AB+AC]2 – BC2 4BB’2 ≤ [AB+BC]2 – AC2 [0,5điểm] -Chứng minh được : 4[AA’2 + BB’2 + CC’2 ] ≤ [AB+BC+AC]2 4 'CC'BB'AA ]CABCAB[ 222 2 ≥ [0,5điểm] [Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔
5.
6.