Đồng quy trong hình học không gian là gì

Đồng quy là một dạng bài mà chúng ta thường gặp trong Toán hình học cấp 2 cũng như cấp 3. Vậy đồng quy là gì? Làm thế nào để chứng minh được 3 đường thẳng đồng quy? Trong nội dung bài viết dưới đây, maynenkhikhongdau.net sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Đồng quy là gì?

Trước khi tìm hiểu 3 đường thẳng đồng quy là gì chúng ta hãy cùng xem qua giải thích thế nào là đồng quy nhé! Đồng quy thực chất là một từ Hán Việt nhưng được sử dụng khá nhiều trong cuộc sống hàng ngày.

  • Đồng: Có nghĩa là cùng nhau, song hành, sát cánh
  • Quy: Có nghĩa là tụ lại, tập trung, tập hợp tại một điểm

Nói tóm lại “đồng quy” tức là cùng gặp nhau tại một vị trí cụ thể.

Ba đường thẳng đồng quy là gì?

Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.

Đồng quy trong hình học không gian là gì
Ba đường thẳng đồng quy khi nào?

Đường đồng quy sẽ có những tính chất nổi bật gì?

Dưới đây là một số tính chất vô cùng quan trọng về đường đồng quy mà bạn cần ghi nhớ để có thể ứng dụng vào quá trình làm bài tập.

– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.

– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác. 

– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác. 

– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó. 

– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. 

– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác. 

– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác. 

Đồng quy trong hình học không gian là gì
Những tính chất đáng nhớ của đường đồng quy là gì?

Hướng dẫn cách chứng minh đồng quy trong toán học

Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy bạn có thể áp dụng những cách làm sau đây:

Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.

Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.

Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.

* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.

* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.

Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.

Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.

Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm

Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

Luyện tập giải các bài tập liên quan đến 3 đường thẳng đồng quy

Dưới đây là một số bài tập thường gặp về đường thẳng đồng quy mà bạn có thể tham khảo:

Bài 1: Cho tam giác ABC, qua lần lượt mỗi đỉnh A, B, C ta kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng sẽ cắt nhau tại F, D, E. Hãy chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.

Đồng quy trong hình học không gian là gì
Hình ảnh minh hoạ cho bài tập số 1

Lời giải:

Ta có:

AE // BC

AB // CE

Từ đó suy ra được ABCE là 1 hình bình hành.

⇒ AE = BC

Dùng cách chứng minh tương tự ta cũng có ACBF là hình bình hành.

⇒ AF = BC

⇒ AE = AF

Như vậy A là trung điểm của EF.

Tương tự ta cũng có được B là trung điểm của đường thẳng DF, C là trung điểm của DE.

Như vậy, A, B, C lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác DEF. Do đó ta có thể ⇒AD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.

Bài 2: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy tại 1 điểm.

Ta có 3 đường thẳng lần lượt là (d1): y = 2x + 1; (d2): y = (-x) – 2; (d3): y = (m-1)x – 4

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) ta có: y = 2x + 1 = (-x) – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1

Suy ra ta có y = 2 x (-1) + 1 = -1

Như vậy giao điểm của (d1) với (d2) sẽ là là I(-1;-1)

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm I sẽ phải thuộc vào đường thẳng (d3)

=> -1 = (m – 1) x (-1) – 4 ⇔ m = -2

Như vậy phương trình đường thẳng (d3) sẽ là: y = -3x – 4

Hy vọng bài viết trên của chúng tôi đã giúp bạn hiểu đường đồng quy là gì, tính chất của nó cũng như cách chứng minh để có thể giải bài tập liên quan một cách nhanh chóng nhất nhé!

Phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy chúng ta có 2 phương pháp

Phương pháp 1: 

Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

Tìm A = a ∩ b.

Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

Phương pháp 2: 

Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

Định lí: Nếu 3 mặt phẳng đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến thì chúng song song hoặc đồng quy

Bài tập áp dụng

Bài 5: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD, SB

a). Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)

b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hang

Câu hỏi: Thế nào là 3 đường thẳng đồng quy?

Trả lời:

Cho ba đường thẳngl, i, kkhông trùng nhau. Khi đó ta nói ba đường thẳngl, i, kđồng quy khi ba đường thẳng đó cùng đi qua một điểmOnào đó.

Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết về lý thuyết Ba đường thẳng đồng quy nhé

1. Tính chất của 3 Đường thẳng đồng quy trong tam giác

- Nếu hai đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường cao thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó

- Ba đường trung tuyến trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.

- Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

- Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường trung tuyến thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó. Trong tâm chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên đỉnh chiếm 2/3 độ dài trung tuyến đó.

- Ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

- Nếu hai đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường phân giác thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó. Giao điểm 3 đường phân giác cách đều 3 cạnh của tam giác.

- Ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

- Nếu hai đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường trung trực thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó. Giao điểm 3 đường trung trực cách đều 3 đỉnh của tam giác.

2. Điều kiện để 3 Đường thẳng đồng quy là gì

- Định lý trọng tâm: Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Đồng thời khoảng cách từ điểm này đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ điểm này đến trung điểm của cạnh đối diện. Giao điểm nói trên được gọi là trọng tâm của hình tam giác.

- Định lý tâm ngoại tiếp: các đường trung trực của ba cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm ngoại tiếp của tam giác.

- Định lý trực tâm: Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

- Định lý tâm nội tiếp: Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm nội tuyến của tam giác.

- Định lý tâm bàng tiếp: Tia phân giác của góc trong của tam giác và tia phân giác của góc ngoài ở hai đỉnh còn lại cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm bàng tiếp của tam giác. Hình tam giác có 3 tâm bàng tiếp.

- Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp đều là tâm của tam giác. Chúng đều có những mối liên hệ quan trọng đến hình tam giác.

3. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Trong các bài toán hình học phẳng THCS, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy thì chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây :

- Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.

- Sử dụng tính chất đồng quy trong tam giác:

+ Bađường trung tuyếncủa tam giác đồng quy tại trọng tâm tam giác.

+ Ba đường phân giác.đồng quy tạitâm đường tròn nội tiếp tam giác.

+ Bađường trung trựcđồng quy tạitâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+ Ba đường cao đồng quy tạitrực tâm tam giác.

- Đặc biệt ba điểm trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng nhau. Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi làđường thẳng Eulercủa tam giác

- Sử dụngđịnh lý Ceva:Cho tam giácABCvà ba điểm bất kìM,N,Pnằm trên ba cạnhBC,CA,AB. Khi đó ba đường thẳngAM,BN,CPđồng quy khi và chỉ khi :

4. Ví dụ bài tập có lời giải

Bài 1:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các đường thẳng AO và AO’ cắt (O) tại C và D và cắt (O’) tại E và F. Chứng minh rằng AB, CD, EF đồng quy

Lời giải:

Bài 2:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB (M không trùng với các điểm A và B). Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy.

Lời giải:

Bài 3: Cho tam giácABC. Qua mỗi đỉnhA,B,Ckẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng lần lượt cắt nhau tạiF,D,E. Chứng minh rằng ba đường thẳngAD,BE,CFđồng quy.

Bài 4: Cho tam giácABCcó đường caoAH. LấyD,Enằm trênAB,ACsao choAHlà phân giác của góc∠DHE. Chứng minh ba đường thẳngAH,BE,CDđồng quy.

QuaAkẻ đường thẳng song song vớiBCcắtHD,HElần lượt tạiM,N

Vậy: áp dụng định lý Ceva choΔABC⇒ba đường thẳngAH,BE,CDthẳng hàng.