F x m 0 tối đa bao nhiêu nghiệm năm 2024

Cho hàm số bậc ba $y = f\left[ x \right]$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương tr?

Cho hàm số bậc ba \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[f\left[ {{x^3}f\left[ x \right]} \right] + 1 = 0\] là

Đáp án C

Ta có \[f\left[ {{x^3}f\left[ x \right]} \right] + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left[ {{x^3}f\left[ x \right]} \right] = - 1\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3}f\left[ x \right] = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\ {x^3}f\left[ x \right] = a \in \left[ {2;3} \right]\,\,\,\left[ 2 \right]\\ {x^3}f\left[ x \right] = b \in \left[ {5;6} \right]\,\,\,\,\left[ 3 \right] \end{array} \right.\]

Ta có \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f\left[ x \right] = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = c \end{array} \right..\] Xét \[g\left[ x \right] = \dfrac{k}{{{x^3}}},\] với \[k > 0.\] Ta có \[g'\left[ x \right] = - \dfrac{{3k}}{{{x^4}}} < 0,\forall x \ne 0.\] Bảng biến thiên Với \[k = a,\] dựa vào đồ thị suy ra phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt khác 0 và \[c.\] Với \[k = b,\] dựa vào đồ thị suy ra phương trình [3] có hai nghiệm phân biệt khác \[0,c.\] và khác hai nghiệm của phương trình [2]. Vậy phương trình \[f\left[ {{x^3}f\left[ x \right]} \right] + 1 = 0\] có 6 nghiệm phân biệt.

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - 1\\{x^2} = 1\\{x^2} = 2\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm \sqrt 2 \\x = \pm 2\end{array} \right.\] với \[x = \pm 1\] là nghiệm bội kép.