Giả sử x1 x2 là nghiệm của phương trình x 2 2mx 4 0

  • lý thuyết
  • trắc nghiệm
  • hỏi đáp
  • bài tập sgk

giả sử x1 x2 là nghiệm của phương trình x^2-(m+2)x+m^2+1=0. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức P=4(x1+x2)-x1x2 bằng

Các câu hỏi tương tự


Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.

khi m = 3. ta có : x2 - 6x + 4 = 0

\(\Delta\)' = (-3)2 - 4 = 5 > 0

=> pt có 2 nghiệm phân biệt

x1 = 3 - \(\sqrt{5}\)

x2 = 3 + \(\sqrt{5}\)

b) \(\Delta\)' = (-m)2 - 4 = m2 - 4

để pt có nghiệm thì m2 - 4 \(\ge\) 0

<=> m2 \(\ge\) 4

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

theo hệ thức vi - ét thì : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=4\end{matrix}\right.\)

ta có : ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2

<=> x12+ 2x1 + 1 + x22 + 2x2 + 1 = 2

<=> x12 + x22 + 2( x1 + x2 ) = 0

<=> x12 + 2x1x2 + x22 - 2x1x2 + 2( x1 + x2 ) = 0

<=> ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 + 2( x1+ x2 ) = 0

<=> (2m)2 - 2.4 + 2.2m = 0

<=> 4m2 + 4m - 8 = 0

nhận thấy a + b + c = 4 + 4 - 8 = 0

<=> pt có 2 nghiệm pb :

m1 = 1 ( loại )

m2 = -2 ( TM )

vậy để pt (1) thỏa mãn ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2 thì m = -2

Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}m = \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m =  - \sqrt {2 + \sqrt 5 } 

\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có 2 nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\ \to {m^2} - 4 \ge 0\\ \to \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le  - 2\end{array} \right.\\Có:{\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3\\ \to \dfrac{{{x_1}^4 + {x_2}^4}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{\left( {{x_1}^4 + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^4} \right) - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)}^2} - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 2.4} \right)}^2} - 2.16}}{{16}} = 3\\ \to {\left( {4{m^2} - 2.4} \right)^2} = 80\\ \to \left[ \begin{array}{l}4{m^2} - 2.4 = 4\sqrt 5 \\4{m^2} - 2.4 =  - 4\sqrt 5 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 2 + \sqrt 5 \\{m^2} =  - 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m =  - \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = \sqrt { - 2 + \sqrt 5 } \left( l \right)\\m =  - \sqrt { - 2 + \sqrt 5 } \left( l \right)\end{array} \right.

\end{array}\)

x2+2mx+4=0x2+2mx+4=0

Δ=(2m)24.1.4=4m216Δ=(2m)2−4.1.4=4m2−16

Để phương trình có 2 nghiệm x1,x2x1,x2 thì Δ0Δ≥0

4m2160m240⇔4m2−16≥0⇔m2−4≥0

(m2)(m+2)0⇔(m−2)(m+2)≥0

Với (m2)(m+2)=0m=±2(m−2)(m+2)=0⇔m=±2 ta có bảng như hình vẽ

 [m2m2[m≥2m≤−2 (*)

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

{x1+x2=2mx1.x2=4{x1+x2=−2mx1.x2=4

Ta có:

x14+x24x14+x24 

=(x12+x22)22x12.x22=(x12+x22)2−2x12.x22 

=[(x1+x2)22x1x2]22x12.x22=[(x1+x2)2−2x1x2]2−2x12.x22 

=[(2m)22.4]22.42=[(−2m)2−2.4]2−2.42

=(4m28)232=(4m2−8)2−32

Để x14+x2432x14+x24≤32

thì (4m28)23232(4m2−8)2−32≤32

(4m28)264=82⇔(4m2−8)2≤64=82

84m288⇔−8≤4m2−8≤8

04m216⇔0≤4m2≤16

0m24⇔0≤m2≤4

2m2⇔−2≤m≤2 kết hợp với điều kiện (*)

Vậy m=±2m=±2.