Giả sử x1 x2 là nghiệm của phương trình x 2 2mx 4 0
giả sử x1 x2 là nghiệm của phương trình x^2-(m+2)x+m^2+1=0. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức P=4(x1+x2)-x1x2 bằng Các câu hỏi tương tự
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho khi m = 3. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.
khi m = 3. ta có : x2 - 6x + 4 = 0 \(\Delta\)' = (-3)2 - 4 = 5 > 0 => pt có 2 nghiệm phân biệt x1 = 3 - \(\sqrt{5}\) x2 = 3 + \(\sqrt{5}\) b) \(\Delta\)' = (-m)2 - 4 = m2 - 4 để pt có nghiệm thì m2 - 4 \(\ge\) 0 <=> m2 \(\ge\) 4 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\) theo hệ thức vi - ét thì : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=4\end{matrix}\right.\) ta có : ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2 <=> x12+ 2x1 + 1 + x22 + 2x2 + 1 = 2 <=> x12 + x22 + 2( x1 + x2 ) = 0 <=> x12 + 2x1x2 + x22 - 2x1x2 + 2( x1 + x2 ) = 0 <=> ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 + 2( x1+ x2 ) = 0 <=> (2m)2 - 2.4 + 2.2m = 0 <=> 4m2 + 4m - 8 = 0 nhận thấy a + b + c = 4 + 4 - 8 = 0 <=> pt có 2 nghiệm pb : m1 = 1 ( loại ) m2 = -2 ( TM ) vậy để pt (1) thỏa mãn ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2 thì m = -2 Đáp án: \(\left[ \begin{array}{l}m = \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = - \sqrt {2 + \sqrt 5 } \end{array} \right.\) Giải thích các bước giải: Để phương trình có 2 nghiệm \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\ \to {m^2} - 4 \ge 0\\ \to \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 2\end{array} \right.\\Có:{\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3\\ \to \dfrac{{{x_1}^4 + {x_2}^4}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{\left( {{x_1}^4 + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^4} \right) - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)}^2} - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 2.4} \right)}^2} - 2.16}}{{16}} = 3\\ \to {\left( {4{m^2} - 2.4} \right)^2} = 80\\ \to \left[ \begin{array}{l}4{m^2} - 2.4 = 4\sqrt 5 \\4{m^2} - 2.4 = - 4\sqrt 5 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 2 + \sqrt 5 \\{m^2} = - 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = - \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = \sqrt { - 2 + \sqrt 5 } \left( l \right)\\m = - \sqrt { - 2 + \sqrt 5 } \left( l \right)\end{array} \right. \end{array}\) x2+2mx+4=0x2+2mx+4=0 Δ=(2m)2−4.1.4=4m2−16Δ=(2m)2−4.1.4=4m2−16 Để phương trình có 2 nghiệm x1,x2x1,x2 thì Δ≥0Δ≥0 ⇔4m2−16≥0⇔m2−4≥0⇔4m2−16≥0⇔m2−4≥0 ⇔(m−2)(m+2)≥0⇔(m−2)(m+2)≥0 Với (m−2)(m+2)=0⇔m=±2(m−2)(m+2)=0⇔m=±2 ta có bảng như hình vẽ ⇔ [m≥2m≤−2[m≥2m≤−2 (*) Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: {x1+x2=−2mx1.x2=4{x1+x2=−2mx1.x2=4 Ta có: x14+x24x14+x24 =(x12+x22)2−2x12.x22=(x12+x22)2−2x12.x22 =[(x1+x2)2−2x1x2]2−2x12.x22=[(x1+x2)2−2x1x2]2−2x12.x22 =[(−2m)2−2.4]2−2.42=[(−2m)2−2.4]2−2.42 =(4m2−8)2−32=(4m2−8)2−32 Để x14+x24≤32x14+x24≤32 thì (4m2−8)2−32≤32(4m2−8)2−32≤32 ⇔(4m2−8)2≤64=82⇔(4m2−8)2≤64=82 ⇔−8≤4m2−8≤8⇔−8≤4m2−8≤8 ⇔0≤4m2≤16⇔0≤4m2≤16 ⇔0≤m2≤4⇔0≤m2≤4 ⇔−2≤m≤2⇔−2≤m≤2 kết hợp với điều kiện (*) Vậy m=±2m=±2. |