Cách tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay
Cách tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay
A. Phương pháp giải
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:
+ Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1
+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1
+ Bất đẳng thức bunhia -copski: Cho hai bộ số [a1; a2] và [b1;b2] khi đó ta có:
[a1.b1+ a2.b2 ]2 ≤ [ a12+ a22 ].[ b12+ b22 ]
Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2
+ Giả sử hàm số y= f[x] có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].
+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.
A. M=3 ; m= – 1.
B. M= 1 ; m= -1.
C. M=2 ;m= -2.
D. M=0 ; m= -2.
Lời giải:.
Chọn B.
Với mọi x ta có : – 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1
⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2
Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.x0=π+k2π, kϵZ .
B.x0=π/2+kπ, kϵZ .
C.x0=k2π, kϵZ .
D.x0=kπ ,kϵZ .
Lời giải:.
Chọn B.
Ta có – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ – 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.
A.M= 3 ;m= 0
B. M=2 ; m=0.
C. M=2 ; m= 1.
D.M= 3 ; m= 1.
Lời giải:.
Chọn C.
Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = [sin2x+ cos2x] + cos2x = 1+ cos2 x.
Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx – 3
A.M= 1; m= – 7
B. M= 7; m= – 1
C. M= 3; m= – 4
D. M=4; m= -3
Lời giải
Chọn A
Ta có : – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên – 4 ≤ 4sinx ≤ 4
Suy ra : – 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1
Do đó : M= 1 và m= – 7
Ví dụ 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .
A. [5; 9]
B.[6;10]
C. [ 8;12]
D. [10; 14]
Lời giải:
Chọn C
Với mọi x ta có : – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2
⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12
Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]
Ví dụ 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y= 10- 2cos2x
A. 10
B. 8
C.6
D. 4
Lời giai
Với mọi x ta có: – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2
Suy ra: 8 ≤ 10-2cos2x ≤ 12
Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 – 8= 4
Chọn D.
Ví dụ 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= √3 sin[ 2016x+2019]
A. – 4032
B. √3
C. -√3
D. 0
Lời giải:
Chọn D
Với mọi x ta có :- 1 ≤ sin[2016x+2019] ≤ 1
⇒ -√3 ≤ √3sin[2016x+2019] ≤ √3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -√3 và giá trị lớn nhất của hàm số là √3
⇒ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là – √3+ √3=0
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/[1+sinx]
A. m= 1/2
B. m= 1/√2
C. m= 1
D. m= √2
Lời giải:
Chọn A
Điều kiện xác định : sinx ≠ -1 hay x ≠ [- π]/2+k2π
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : – 1 0
+ Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất
Hay 1+ sinx=2 < ⇒ sinx= 1[ thỏa mãn điều kiện] .
Khi đó ymin = 1/2
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin[ 9x+π/100]+2000
A. m=18 ; M=4018
B. m = -18; M= 18
C. m=-18; M= 4018
D. Đáp án khác
Lời giải:
Chọn C
Hàm số xác định trên R.
Với mọi x ta có: – 1 ≤ sin[ 9x+π/100] ≤ 1 nên – 2018 ≤ 2018sin[ 9x+π/100] ≤ 2018
⇒ -18 ≤ 2018sin[ 9x+π/100]+2000 ≤ 4018
⇒ giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin[ 9x+π/100]=-1
Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin[ 9x+π/100]=1
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= ∜sinx- √cosx.
A. m= -1; M=1.
B. m = 0; M=1
C. m= -1;M=0
D. m= -1 và M không tồn tại.
Lời giải:
Chọn A
Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có:
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= – 1 khi: [sinx=0 và cosx=1 ⇒ x= k2π.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi [sinx=1 và cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π.
Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos2 x – 6cosx + 11. Tính M.m
A.30
B.36
C.27
D.24
Lời giải:
Ta có: cos2 x – 6cosx +11 = [ cos2x – 6cosx + 9] +2 = [cosx -3]2 + 2
Do – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ – 4 ≤ cosx-3 ≤ -2
⇒ 0 ≤ [cosx-3]^2 ≤ 16
⇒ 2 ≤ [cosx-3]^2+2 ≤ 18
Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36.
Chọn B.
Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4]. Tính S= M+11m
A.4
B.5
C. 6
D. 8
Lời giải:.
Gọi y0 là một giá trị của hàm số.
Khi đó phương trình y0=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4] có nghiệm.
⇒ y0.[ 2cosx- sinx + 4] = cosx +2sinx + 3 có nghiệm
⇒ banmaynuocnong.com – sinx.y0 + 4y0- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm
⇒ [ 2y0 -1]cosx – [ y0+2].sinx =3- 4y0 [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi :
[2y0-1]2 + [ y0 + 2]2 ≥ [3-4y0]2
⇒ 4y02 – 4y0 +1 +y02 +4y0 + 4 ≥ 9-24y0+16y02
⇒ 11y02 – 24y0 + 4 ≤ 0 2/11 ≤ y0 ≤ 2
Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4
Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hàm số y= √[1+2sin2 x]+ √[1+2〖cos2 x]-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất?
A. 3,23
B. 3,56
C. 2,78
D.2,13
Lời giải:
+ Xét t= √[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x]
⇒ t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ 2. √[[1+2sin2 x].[ 1+2cos2 x] ]
=4+2√[3+ sin2 2x]
Mà sin22x ≥ 0 nên t2 ≥ 4+ 2√3
Mà t > 0 nên t ≥ √[4+2√3] =1+ √3
Suy ra: y= t-1 ≥ √3
Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0 .
+ Lại có:
√[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x] ≤ √[[1^2+ 1^2 ].[ 1+2sin2x+ 1+2cos2 x] ]= 2√2
⇒ y= √[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x]-1 ≤ 2√2-1
Dấu “=” xảy ra khi sin2 x= cos2x
Vậy {[m= √3 và M=2√2-1] ⇒ M+ m≈3,56
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin2x+3cos2x . Tính P= M- 2m.
A. P= – 1
B. P= 1
C. P= 2
D. P=0
Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x .
A. M= 3
B. M= 1
C. M= 5
D. M= 4
Câu 3:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin2x – 4sinx+ 5. Tính M+ m.
A.3
B.8
C.10
D.12
Câu 4:Cho hàm số y= cos2x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 5:Hàm số y= cos2x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
A. x= [-π]/2+k2π.
B. x= π/2+k2π.
C. x= k π
D. x= k2π
Câu 6:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin4x -2 cos2x+ 1.
A.M= 2; m= – 2
B.M=1; m=0
C.M=4;m= – 1
D M=2;m= – 1
Câu 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin4x – cos4x.
A. – 3
B. – 1
C. 3
D. 5
Câu 8:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2[ sinx – cosx]. Tính P= M+ 2m.
A. 2
B. – 2√2
C. – √2
D. 4√2
Câu 9:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= √[1- cos2 x]+1là:
A. 2 và 1
B. 0 và 3
C. 1 và 3
D.1 và 1+ √2
Câu 10:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin2 x+ 6cos2x+ 2 là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Câu 11:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
A.max y=4,min y=3/4
B.max y=3,min y=2
C.max y=4,min y=2
D.max y=3,min y=3/4
Câu 12:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1
A. max y=6,min y=-2
B. max y=4,min y=-44
C. max y=6,min y=-4
D.max y=6,min y=-1
Câu 13:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin2x+3sin2x-4cos2x
A. min y= -3√2 -1, max y=3√2 +1
B. min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1
C. min y= -3√2 , max y=3√2 -1
D. min y= -3√2 -2, max y=3√2 -1
Câu 14:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x+3sin2x+3cos2x
A. min y= 2+√10 , max y=2-√10
B. min y= 2+√5, max y=2+√5
C. min y= 2+√2, max y=2-√2
D. min y= 2+√7, max y=2-√7
Câu 15:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ √[2-sin2]
A.min y= 0, max y=3
B.min y= 0, max y=4
C.min y= 0, max y=6
D.min y= 0, max y=2
Câu 16:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
A. min y= -2/11, max y=2
B. min y= 2/11, max y=3
C. min y= 2/11, max y=4
D. min y= 2/11, max y=2
Câu 17:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=[2sin23x+4sin3xcos3x+1]/[sin6x+4cos6x+10]
A. min y= [11-9√7]/83, max y=[11+9√7]/83
B. min y= [22-9√7]/11, max y=[22+9√7]/11
C. min y= [33-9√7]/83, max y=[33+9√7]/83
D. min y= [22-9√7]/83, max y=[22+9√7]/83
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác