Giải bài tập quá trình quá độ trong mạch điện

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUÁ ĐỘ TRONG MẠCHĐIỆN TUYẾN TÍNH 2014MỞ ĐẦU1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài.Trong chuyên ngành Công nghệ kỹ thuật Điện – Điện Tử, học phần Cơ sở lýthuyết mạch điện 2 là một trong những học phần cơ sở quan trọng. Đây là cơ sở đểnghiên cứu các học phần khó sau này như Máy điện, Công suất v v. Các bài tậpcủa học phần này thường dài và khá phức tạp trong công việc tính toán đặc biệt làvề phần quá độ.Hiện nay, ở trường Đại học Hùng Vương các đề tài nghiên cứu về lĩnh vựcnày còn ít và chưa sâu. Do đó việc nghiên cứu, tổng hợp lại các phương pháp giảidạng bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính này là vô cùng quan trọng nhằmgiúp người học giải quyết các bài tập dạng này nhanh và chính xác nhất.2. Tính cấp thiết của đề tài.Trong công cuộc công nghiệp hoá hiện đại hoá đất nước, máy móc chiếmmột vai trò vô cùng quan trọng. Máy móc có hoạt động mới có thể sản xuất, đểmáy móc hoạt động liên tục thì ngành công nghiệp Điện và nghiên cứu về các lĩnhvực liên quan đến Điện là một trong những yếu tố quan trọng nhất. Chuyên ngànhCông nghiệp kĩ thuật điện – Điện tử là một trong những chuyên ngành căn bản vàquan trọng nhất.Hiện nay trong chương trình đào tạo Đại học ngành Công nghệ kỹ thuật điện– Điện tử của trường Đại học Hùng Vương thì học phần cơ sở lý thuyết mạch điệnlà học phần rất quan trọng, nó là học phần cơ sở để nghiên cứu các học phầnchuyên sâu sau này như học phần Máy điện, Điện tử công suất, Cung cấp điệnv v. Môn Cơ sở lý thuyết mạch điện không đi sâu vào việc giải thích các hiệntượng vật lý, mà chú ý nhiều đến việc tính toán và ứng dụng kỹ thuật, phục vụ chochuyên ngành và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác liên quan đến kic thuật điện– điện tử.2Với số lượng bài tập lớn, khối lượng phải tính toán là rất nhiều, phải thườngxuyên làm việc với những mạch điện phức tạp có số lượng dữ liệu ( nhánh, nút)lớn, làm việc ở các chế độ khác nhau và có các số liệu thay đổi liên tục cho nênviệc giải các bài tập của môn học Lý thuyết mạch mất một thời gian khá lớn, vìvậy việc có một phương pháp tính toán, giải mạch điện phù hợp sẽ giúp cho việctìm ra lời giải của bài toán trở nên dễ dàng, thuận tiện và chính xác hơn rất nhiều.Trong các dạng bài tập thuộc học phần Cơ sở lý thuyết mạch điện thì bài tậpphần quá độ là một trong những phần bài tập phức tạp, có khối lượng tính toán lớn,việc tính toán dễ gặp nhầm lẫn. Quá trình quá độ thường xảy ra trong những mạchvà hệ thống thuộc các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật điện, vô tuyếnđiện, đo lường, tự động điều khiển Thường cần nghiên cứu và giải các thông sốcủa bài toán quá độ nhằm biết rõ quy luật chung của mạch và hệ thống trong quátrình quá độ, hoặc để tìm hiểu các đáp ứng của mạch và hệ thống đối với nhữngkích thích cụ thể, hoặc xét ảnh hưởng của các điều kiện đầu v v Trong một sốtrường hợp cần xét quá trình quá độ để phòng tránh tác hại, chẳng hạn như dòngđiện, điện áp quá độ có thể có những giá trị vượt xa giá trị xác lập, ảnh hưởng tớian toàn của thiết bị. Tóm lại cần nghiên cứu và giải các thông số của quá trình quáđộ hoặc là để sử dụng nó hoặc là để hạn chế tác hại của nó, vì vậy bài toán quátrình quá độ rất quan trọng về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn.Với mục đích nghiên cứu và hệ thống lại các phương pháp giải bài tập quáđộ trong mạch điện tuyến tính giúp cho việc tính toán, tìm được lời giải chính xácvà dễ dàng hơn, mà chúng tôi đã chọn chọn đề tài:“ Một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính”3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.3.1. Mục tiêu của đề tài. Đưa ra một số phương pháp giải bải tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.3.2.Nhiệm vụ của đề tài.3Nghiên cứu tài các tài liệu, giáo trình liên quan đến các phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.Lý thuyết một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.4.1. Đối tượng nghiên cứu:Quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính.Các phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.4.2. Phạm vi nghiên cứu:Phần bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.5. Nội dung nghiên cứu.6. Phương pháp nghiên cứu.Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp sau:5.1. Phương pháp tổng hợp khái quát hoá tài liệu : Thông qua đọc, dịch tài liệu, sách, báo, tạp chí và các tài liệu khác, chúng tôidùng phương pháp này để phân tích, tổng hợp lý thuyết liên quan đến đề tài đểthu thập thông tin cần thiết.5.2. Phương pháp thống kê :Thống kê một số dạng bài tập Cơ sở lý thuyết mạch điện phần bài tập quá độtrong mạch điện tuyến tính thường gặp để từ đó trình bày rõ ràng về các phươngpháp giải.5.3. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia :4Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và các Thầy cô trong Bộ mônCơ Điện, trường Đại học Hùng Vương.CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH1.1. Định nghĩa quá trình quá độ trong mạch điện và đặt ra bài toán quá độ.1.1.1. Định nghĩa.Khi mạch điện làm việc thường xảy ra các tác động làm biến đổi đột ngộtnguồn kích thích hoặc thông số của mạch như: Đóng cắt thay đổi nguồn điện, đóngcắt thay đổi cấu trúc của mạch điện. Nhìn chung khi tác động đóng cắt mạch khôngchuyển ngay từ trạng thái cũ sang trạng thái xác lập mới, mà phải trải qua một giađoạn chung gian gọi là quá độ, các diễn biến của mạch xảy ra trong giai đoạn quáđộ gọi là quá trình quá độ.Mốc thời gian ( t=0 ) là một thời điểm tuỳ ý, thường chọn tại thời điểm tácđộng, thời gian lân cận trước lúc tác động ký hiệu t= -0, thời gian lân cận sau khitác động ký hiệu là t= +0.1.1.2. Nguyên nhân gây ra quá trình quá độ.5Khi có tác động đóng cắt xảy ra do có sự đột biến về thông số và kết cấu củamạch điện, trong mạch có những phần tử tích luỹ năng lượng điện trường ( L, C )sẽ phân bố lại, quá trình phân bố đó đòi hỏi có thời gian.1.1.3. Ý nghĩa của việc nghiên cứu quá trình quá độ và đặt ra bài toán quá độ.Quá trình quá độ thường xảy ra trong những mạch và hệ thống thuộc cáclĩnh vực kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật điện – điện tử, kỹ thuật vô tuyến điện, đolường, tự động điều khiển.v v Ta cần nghiên cứu để biết rõ trạng thái, quy luậtcủa mạch và hệ thống trong chế độ quá độ, hoặc để tìm đáp ứng của mạch và hệthống đối với kích thích cụ thể, hoặc xét ảnh hưởng của các điều kiện đầu Trong một số trường hợp cần xét quá trình quá độ để phòng tránh các tác hạixấu. Ví dụ như trường hợp dòng điện, điện áp quá độ có thể có những giá trị vượtquá giá trị xác lập, ảnh hưởng tới an toàn của thiết bị điện, lại có những quá trìnhquá độ cần được khống chế sớm kết thúc như quá trình mở máy các động cơ điện,quá trình dao động của các cơ cấu trong các dụng cụ đo lường, quá trình điềukhiển chiều và tốc độ quay motor Vì vậy, việc nghiên cứu các quy luật biếnthiên của đáp ứng quá độ và giải các thông số của bài toán quá độ trong mạch điệntuyến tính nhằm để hạn chế hoặc sử dụng những tác động do quá trình quá độ gâyra.1.2. Các điều kiện đầu và các luật đóng mở.1.2.1. Các điều kiện đầu.Ta gọi các điều kiện đầu ( hoặc sơ kiện ) của bài toán quá độ là các đáp ứngdòng điện, điện áp trong mạch cùng các đạo hàm của chúng đến cấp cần thiết ở lâncận đủ nhỏ ngay sau khi tác động đóng mở xảy ra.Điều kiện đầu: iR(+0); iL(+0); iC(+0); uR(+0); uL(+0); uC(+0); iR’(+0); iL’(+0);iC’(+0) Người ta chia điều kiện đầu của bài toán quá độ thành 2 loại:+ Điều kiện đầu độc lập: Là các giá trị iL(+0); uC(+0).6+ Điều kiện đầu phụ thuộc: Ngoài iL(+0); uC(+0) thì các sơ kiện khác đềulà điều kiện đầu phụ thuộc.1.2.2. Phân loại bài toán quá trình quá độ.Bài toán chỉnh: Tất cả các phép đóng mở trong bài toán phải đảm bảo sựbiến thiên liên tục của năng lượng trong các kho điện, kho từ.Bài toán không chỉnh: Có chứa phép đóng mở không đảm bảo sự biên thiênliện tục của năng lượng trong các kho điện, kho từ.Dấu hiệu của bài toán không chỉnh là trong mạch có ít nhất hai phần tử cùngloại và sau khi đóng mở thì hình thành một nút chỉ có các nhánh chứa phần tử điệncảm L hoặc hình thành một mạch vòng chỉ chứa các phần tử điện dung C.1.2.3. Các luật đóng mở.1.2.3.1. Đối với bài toán chỉnh:a. Luật đóng mở 1:Phát biểu: Dòng điện trong điện cảm iL, biến thiên liên tục ( tức khônggián đoạn) tại thời điểm đóng mở. iL(-0) = iL(+0) (1-2)Chứng minh: Thật vậy, từ phương trình trạng thái trên điện cảm:uL = LdiLdtNếu chấp nhận điện áp trên điện cảm là hữu hạn thì tốc độ biến thiêncủa dòng điện trong điện cảm Ldidt phải hữu hạn, do đó dòng điện trong điệncảm iL ở mọi thời điểm phải liên tục và riêng ở thời điểm đóng mở cũng phảiliên tục.b. Luật đóng mở 2:7Phát biểu: Điện áp trên điện dung uC biến thiên liên tục ( tức không giánđoạn) tại thời điểm đóng mở.uC(+0) = uC(-0) (1-2)Chứng minh: Tương tự như trên, từ phương trình trạng thái của điệndung:CCdui Cdt=Cho rằng iC hữu hạn sẽ có Cdudt hữu hạn, điện áp uC phải liên tục vàriêng ở thời điểm đóng mở cũng phải liên tục.1.2.3.2. Đối với bài toán không chỉnh.a. Luật đóng mở 3:Phát biểu: Tổng từ thông mắc vòng trong một vòng kín phải liên tục tạithời điểm đóng mở:k k( 0) ( 0)ψ + = ψ −∑ ∑ hay k kk L k LL i ( 0) L i ( 0)+ = −∑ ∑ (1-3)Nếu không đảm bảo điều kiện (1-3) tổng từ thông mắc vòng trong vòngkín sẽ gián đoạn tại t = 0, khiến sức điện động cảm ứng tổng trong vòng sẽvô cùng lớn.b. Luật đóng mở 4:Phát biểu: Tổng điện tích tại một nút phải liên tục tại thời điểm đóngmở:k kq ( 0) q ( 0)+ = −∑ ∑hay kkk C kCC u ( 0) C u ( 0)+ = −∑ ∑ (1-4)8Nếu (1-4) không được thoả mãn, điện tích ở nút sẽ gián đoạn khiếndòng điện ở nút sẽ vô cùng lớn.1.3. Các xác định các điều kiện đầu.1.3.1. Tính sơ kiện độc lập.Đối với bài toán chỉnh.+ Giải mạch điện ở chế độ xác lập cũ để tìm iL(-0), uC(-0).+ Áp dụng luật đóng mở 1 và 2: iL(-0) = iL(+0), uC(-0) = uC(+0).Đối với bài toán không chỉnh.+ Giải mạch ở chế độ xác lập cũ để tìm iL(-0), uC(-0).+ Áp dụng luật đóng mở 3 và phương trình cho nút chỉ chứa L để tìmiL(0).+ Áp dụng luật đóng mở 4 và phương trình mạch vòng chỉ chứa C đểtìm uL(0).Ví dụ : Hãy tính sơ kiện độc lập của bài toán quá độ hình 1.1, khi khoá Kđóng. Biết:r1 = r2 = r3 = 10 ΩL1 = 0,1 H, C= 100 μF E = 20 V Hình 1.19Giải:Ở chế độ xác lập cũ ( K mở )iL(-0) = 0, uC(-0) = E = 20 VTheo luật đóng mở 1 và 2 ta có:iL(0) = iL(-0) = 0, uC(0) = uC(-0) = 20 V1.3.2. Tính sơ kiện phụ thuộc.Xác định sơ kiện độc lập.Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch sau thời điểm đóng mở.Thay t = 0 và các giá trị đã biết vào hệ phương trình để tìm các giá trị cònlại.Đạo hàm hệ phương trình và thay t = 0 để tìm các giá trị chưa biết và quátrình cứ tiếp tục cho đến khi tìm đủ các sơ kiện.Ví dụ:Tìm các sơ kiện ir(0), iL(0), iC(0), i’r(0), i’L(0), i’C(0) của mạch hình 1.2r1 = r3 = 20 Ω, L3 = 0,1 H, C2 = 100 μF, E1 = 20 VGiải:Xét chế độ xác lập cũ ( K mở )iL(-0) = 0, uC(-0) = E = 20 VTheo luật đóng mở 1 và 2 ta có:10iL(0) = iL(-0) = 0, uC(0) = uC(-0) = 20 VXét chế độ xác lập mới.1 2 3t1 1 2 120'1 1 3 3 3 3 1i (t) i (t) i (t) 01ri (t) u(0) i (t)dt ECri (t) r i (t) L i (t) E+ + =+ + =+ + =∫ (1) Thay số và t = 0 ta có :1 21'1 3i (0) i (0) 0 020i (0) 20 2020i (0) 20.0 0,1.i (0) 20+ + =+ =+ + = ⇒ i2 = 0, i1(0) = 0, i3’(0) = 200 A Đạo hàm hệ (1) rồi thay t = 0:' ' '1 2 3'1 1 22' ' ''1 1 3 3 3 3i (0) i (0) i (0) 01ri (0) i (0) 0Cri (0) r i (0) L i (0) 0+ + =+ =+ + = ' '1 2'1' ''1 3i (0) i (0) 200 0120i (0) .0 00,000120i (0) 20.200 0,1.i (0) 0+ + =⇔ + =+ + = ⇒ ' '1 2i (0) 0,i (0) 200A= = −11CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUÁ ĐỘ TRONGMẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH.2.1. Phương pháp tích phân kinh điển2.1.1. Phân tích đáp ứng quá độ trong mạch điện tuyến tính thành đáp ứng tự do xếp chồng với đáp ứng xác lập.2.1.1.1. Phân tích đáp ứng quá độ.Phương pháp phân tích quá trình quá độ dựa trên sự tích phân phương trìnhvi phân cho thỏa mãn sơ kiện gọi là phương pháp tích phân kinh điển.Ta đã biết QTQĐ của mạch điện được mô tả bởi một hệ phương trình viphân viết theo các luật Kirhof. Với mạch tuyến tính ta có hệ phương trình vi phântuyến tính không thuần nhất: k lnút nútkk k k k kvòng vòngi jdi 1(R i L i dt) edt C=+ + =∑ ∑∑ ∑∫trong đó jl, ek là nguồn dòng và nguồn s.đ.đ.Do tính chất tuyến tính nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân khôngthuần nhất tương ứng bằng cách cho vế phải bằng không ∑ek = 0 và ∑jl = 0, cộngvới nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân không thuần nhất.Hệ phương trình vi phân thuần nhất ứng với mạch không có nguồn kíchthích nên nghiệm của nó không phụ thuộc quy luật biến thiên của nguồn kích thíchmà chỉ phụ thuộc riêng tính chất của mạch. Do đó nghiệm của hệ phương trìnhthuần nhất được gọi là đáp ứng tự do, ký hiệu là itd.12Hệ phương trình ứng với đáp ứng tự do viết: ktdktdk ktd k ktdi 0di 1(R i L i dt) 0dt C=+ + =∑∑∫Nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất quyết định bởi quy luậtcủa nguồn kích thích nên gọi là đáp ứng cưỡng bức. Trong trường hợp nguồn kíchthích không đổi hay chu kỳ, đáp ứng cưỡng bức cũng không đổi hay biến thiên vớichu kỳ của kích thích, ta gọi chúng là đáp ứng xác lập mới, kí hiệu ikxlm.Kết luận: Đối với mạch điện tuyến tính, đáp ứng quá độ bằng xếp chồngcủa đáp ứng tự do với đáp ứng xác lập mới.qd td xlmu u u= +& & &Nghĩa là bằng nghiệm của hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi khôngnguồn cộng với nghiệm của hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi có nguồn.Phương pháp tính đáp ứng quá độ trong mạch tuyến tính bằng cách phântích thành đáp ứng tự do xếp chồng với đáp ứng xác lập mới gọi là phương pháptích phân kinh điển.Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ. Xét quá trình quá độ của mạch saukhi đóng khóa K.Phương trình vi phân mô tả mạch sau khi đóngkhóa K là :ur + uc = E i.r + uc = EVì có i = C.u’C nên được phương trình vi phân biểu diễn giai đoạn quá độcủa mạch điện là: C.u’C.r +uC = E.Đây là phương trình vi phân có vế 2 ( vế 2 là nguồn một chiều E). Vì nguồnmột chiều E tác động vào mạch sau khi đóng khóa K nên sẽ có một nghiệm riêng13EKrCchính là nghiệm xác lập một chiều sau khi đóng khóa K. Vì là xác lập một chiềunên u’C = 0 còn u’Ctd = E.Phương trình thuần nhất (không vế 2) cho nghiệm xtd nên biến số lúc này là u’Ctd:C. u’Ctd.r + uCtd = 0 C.r.Ctddudt= -uCtd;du1Ctd dtu rCCtd= −∫ ∫Tích phân phương trình vi phân ta được nghiệm tự do uCtd:lnCtduA= tr.C−; uCtd = A.1r.Ce−Vậy ta có nghiệm quá độ uCqd = uCxl + uCtd = E + A.1r.Ce−2.1.2. Phương trình đặc trưng và dạng của đáp ứng tự do.2.1.2.1. Phương trình đặc trưng.a. Phép đại số hoá phương trình vi phân.Từ hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi không nguồn ktdktdk ktd k ktdi 0di 1(R i L i dt) 0dt C=+ + =∑∑∫ Trong toán học ta đã biết nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phântuyến tính thuần nhất có dạng: knp tktd kk=1i A e=∑ Trong đó:+ Ak là các hằng số tích phân - được xác định từ các điều kiện đầu của bàitoán.14+ pk là các số mũ tắt, được xác định từ phương trình đặc trưng ứng với hệphương trình vi phân đã cho.Xét nghiệm đơn giản có dạng itd = AeptThì: ' pt pttd td td td1 1i pAe pt ; i dt Ae ip p= = = =∫ Thay vào hệ ta được hệ phương trình dạng đại số thuần nhất đối với itd :ktdk k ktdki 01pL i 0pCr=+ + =∑∑Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (itd ≠ 0), thì định thức cáchệ số ∆p = 0, suy ra các số mũ p của đáp ứng tự do, nên ∆p = 0 chính là phươngtrình đặc trưng của mạch.b. Cách thành lập hệ phương trình đặc trưng.Cách 1: Đại số hoá phương trình vi phân mô tả mạch.Các bước:- Triệt tiêu các nguồn ngoài ( nối tắt nguồn áp, cắt bỏ nguồn dòng).- Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch sau thời điểm đóng mở.- Đại số hoá hệ phương trình vi phân bằng cách thay d 1p, dtdt p= =∫ - Lập định thức của các hệ số và cho bằng không.Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ. Lập phương trình đặc trưng củamạch điện.15ER1R2LKCi3i2i1Ta có hệ phương trình mạch sau khi xảy ra theo các định luật đóng mở theocác luật Kirhof đối với các dòng điện tự do:1td 2td 3td1 1td 3td2td1 1td 2 2tdi i i 01R i i dt) 0CdiR i R i L 0dt− − =+ =+ + =∫Sau khi đại số hóa ta được:1td 2td 3td1 1td 3td1 1td 2 2tdi i i 01R i i 0pCR i (R pL)i 0− − =+ =+ + =Ta được phương trình đặc trưng bằng cách lập định thức hệ số của hệphương trình trên và cho nó bằng 0.11 21 1 11(p) R 0 0pCR R pL 0 − −  ∆ = =  + Sau khi khai triển định thức ta được:21 1 2 1 2R LCp (R R C L)p (R R ) 0+ + + + =Ta được phương trình đặc trưng là một phương trình bậc 2. Nếu 2 nghiệmcủa nó là p1 và p2, đáp ứng tự do sẽ có dạng tổng 2 hàm mũ:1 2p t p ttd 1 2i A e A e= +Chú ý: Số bậc của phương trình đặc trưng bằng số kho ( số phần tử L, C ).16Cách 2: Đại số hoá sơ đồ.Các bước:- Triệt tiêu các nguồn ngoài.- Đại số hoá sơ đồ bằng cách: Thay 1L Lp,CCp→ → - Tính tổng trở vào đối với một nhánh bất kỳ rồi cho triệt tiêu.Ví dụ: Tính Z1V từ nhánh 1 ở hình :Theo hình tính Z1V1V 12 321 2 1 3 2 3 2 3 11(r2 )(r3 Lp)CpZ (p) r 01r r LppC(r r )LCp (rr C r r C L)p (r r ) 0+ += + =+ + +→ + + + + + + = 2.1.2.2. Dạng của đáp ứng tự do.Thông thường phương trình đặc trưng có bậc từ 2 trở lên nên có thể có 3trường hợp nghiệm: Nghiệm đơn, nghiệm kép và nghiệm phức.a. Phương trình đặc trưngcó nghiệm thực đơn vàthường là âm.17itdt0Pk < 0Nghiệm của đáp ứng tự do có dang:1 2p t p ttd 1 2i A e A e= + Mỗi số hạng kp tkA e đều là hàm số mũ tắt dần, do vậy quá trình tự do có tínhchất không dao động.b. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp.Khi p1 = p2 thì nghiệm của đáp ứng tự do có dạng:1 kp t p ttd 1 2i A e A te= +Đáp ứng tự do có tính chất tới hạn giữa dao động và không dao động gọi làkhông giao động tới hạn. c. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợpKhi p1 = -∝ + jβ và p2 = -∝ - jβ thì đáp ứng tự do có dạng:18itdtkp tAe{ }A( j )t ( j )t ( j )ttdtAi Ae Ate 2Re A e e2 A e cos( t+ )γ−α+ β −α− β −α+ β−α= + == β γ Trong đó Aγ là acgumen của AĐáp ứng tự do có dạng dao động tắt dần ( Cường vẽ hình ).2.1.3. Các bước tính QTQĐ bằng phương pháp tích phân kinh điểnBước 1 : Tìm đáp ứng xác lập mới: Giải mạch điện sau khi tác động đóngcắt.Bước 2 : Lập và giải phương trình đặc trưng để tìm dạng của đáp ứng tự do.Bước 3 : Xếp chồng kết quảBước 4 : Tìm các điều kiện đầu: Dựa vào các luật đóng mở và hệ phươngtrình vi phân giải mạch tại thời điểm t = +0 ( tuỳ theo số lượng xác định hằng sốtích phân để tìm các điều kiện đầu cho phù hợp ).Bước 5: Tìm các hệ số của đáp ứng tự do: Dựa vào các điều kiện đầu vàbiểu thức đáp ứng quá độ tại thời điểm t= +02.1.4. Bài tập áp dụng.Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ : Biết: r1=5kΩ , r2=10kΩ, C1=100μF, E=300V=const. Xác định điện áp trêncác tụ điện sau khi đóng khoá K.Giải:19Theo phương pháp tích phân kinh điển có: uCqđ= uCxl + uCtd, ta cần xác địnhuCxl và uCtd.Trước khi đóng khoá K ta có:C1 C2u ( 0) u ( 0) E− + − =1 C1 2 C2C u ( 0) C u ( 0)− = −Giải ra C1u ( 0)−= 200 = C1u ( 0)+, C2u ( 0)−= 100 = C2u ( 0)+Tính quá trình xác lập sau khi đóng K:C1xl 11 2E 300.5000u .r 100 (V)r r 500.10000= = =+C2xl 21 2E 300.10000u .r 200 (V)r r 500.10000= = =+Ta có sơ đồ đại số hoá của mạch điện đầu bài ra là:Từ sơ đồ đại số hoá tính tổng trở vào theo p được:1 21 2v2 21 21 1r rpC pCZ (p)1 1r rpC pC= ++ + Cho Zv(p) = 0Rút ra: pr1r2(C1 + C2) + r1 +r2 = 0Tính được:201 261 2 1 2(r r ) (5000 10000)p 2r r (C C ) 5000.10000.(50 100).10−− + − += = = −+ +Dạng nghiệm QTQĐ:uC1qđ = uC1xl + uC1td = 100 + 2t1A .e− và uC2qđ = uC2xl + uC2td = 200 + 2t2A .e−Thay tại t = 0 xác định các hằng số tích phân:uC1qđ(0) = uC1(0) = 100 + A1 = 200 ⇒ A1 = 100Và uC2qđ(0) = uC2(0) = 200 + A2 = 100 ⇒ A1 = -100Được nghiệm QTQĐ là: uC1qđ =100 + 100e-2t và uC2qđ= 200 - 100e-2tVí dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽĐóng khóa K khi (t) me E sin(ωt + α)=(V)đạt giá tị cực đại âm.Xác định dòng điện quá độ qua R2 biết :R1 = 25Ω; R2 = 50Ω; L = 0.25H; C = 400μF.Giải:Ta có: i2qđ = i2td + i2xl- Xác định i2xlMạch điện sau đóng mở ở chế độ xác lậpXL = 2πf.L = 78,5 (Ω)21XLixli1xli2xlR2R1XCE&LKii1i2R2R1e(t)pLR2R11/pCabXC = 12πf.C = 7,96 (Ω)Tại thời điểm t = 0 thực hiện quá trình đóng cắtNên (t) me E sinα==m- E => α = -90˚=> e(t) = 400sin(314t - 90˚)=> E= - 400j& (V)Ta có Zab = R2 // (R1 - j.Xc) = 17 - 3,5j (Ω)xlL abE - 400jI = = =5,2 - 167,2°(A)j.X + Z 78,5j + 17 - 3,5j∠&&ab LU = E - j.X .I = 90,5 - 178,8°(V)∠& &ab2xl2UI = = 1,8 - 178,8°(A)R∠&&=> 2xli = 1,8sin(3,14t - 178,8°) (A)- Xác định i2tdXác định số mũ đặc tính p:ab 212,5pZ = R //pL = 50 + 0,25pv ab 1-61 12,5p 1Z = Z + R + = + 25 + pC 50 + 0,25p p.400.10 275p + 7500p + 50000=(200 + p)p222v75p + 7500p + 50000Z = = 0(200 + p)p=> 275p + 7500p + 50000 = 0=>12p = -50 + 64,55jp = -50 - 64,55j=> -50t2tdi = 2.A.e .cos(64,55t + ψ) (A)Trong đó A và ψ là các hệ số cần xác định.Xác định sơ kiện: vì trong biểu thức thành phần tự do có hai hệ số cần xác định nên ta cần xác định 2 sơ kiện là i2(0) và i’2(0)Xác định: i(0), uc(0) theo định luật đóng mở chỉnh: (0) (-0)c(0) c(-0)i = iu = uXét mạch trước đóng mở (khi khóa K chưa mở)L C1X - X78,5 - 7,96tgφ = = = 2,8216R 25=> φ = 70,4˚mm2 2 2 21 L CE400I = = = 5,34 (A)R + (X - X ) 25 + (78,5 - 7,96)=>(t)i = 5,34.sin(314t - 160,4°) (A)Cm m C U = I .X = 5,24 .7,96 = 42,50 (V)23LR1Ce(t)i=>c(t)u = 42,50.sin(314t - 250,4°) (V)(0)c(0)i = 5,34.sin(- 160,4°) = - 1,70 (A)u = 42,50.sin(- 250,4°) = 40,03 (V)Hệ phương trình mô tả sau đóng mở(t) 1(t) 2(t)2(t) 2 (t)2(t) 2 1(t) 1(t) 1i - i - i = 0diL + i .R = edt1i .R - i .dt - i .R = 0C∫ ( I )Thay t = 0 vào hệ ( I ) ta được (0) 1(0) 2(0)'(0) 2(0) 2 (0)2(0) 2 c(0) 1(0) 1i - i - i = 0L.i + i .R = ei .R - u - i .R = 0=> 1(0) 2(0)'(0) 2(0)2(0) 1(0)-1,79 - i - i = 00,25.i + 50.i = - 40050.i - 40,03 - 25.i = 0 =>1(0) 2(0)'(0) 2(0)2(0) 1(0)i + i = -1,790,25.i + 50.i = - 40050.i - 25.i = 40,03=>1(0)2(0)'(0)i = -1,7272 (A)i = - 0,0628 (A)i = -1578,44 (A/s)Đạo hàm các vế của các phương trình trong hệ phương trình ( I )' ' '(t) 1(t) 2(t)'' ' '(t) 2(t) 2 (t)' '2(t) 2 1(t) 1(t) 1i - i - i = 0Li + i .R = e1i .R - i - i .R = 0C =>' ' '(t) 1(t) 2(t)'' ' '(t) 2(t) (t)' '2(t) 1(t) 1(t)i - i - i = 00,25i + 50.i = ei .50- 2500.i - i .25= 024LKii1i2R2R1Ce(t)=>' ' '(0) 1(0) 2(0)'' ' '(0) 2(0) (0)' '2(0) 1(0) 1(0)i - i - i = 00,25.i + i .50 = ei .50 - 2500.i - i .25 = 0 =>' '1(0) 2(0)'' ' '(0) 2(0) (0)' '2(0) 1(0)-1587,44 - i - i = 00,25.i + i .50 = ei .50 - 2500.1,7272 - i .25 = 0=>' '1(0) 2(0)'' ' '(0) 2(0) (0)' '2(0) 1(0)i + i = 1587,440,25.i + i .50 = ei .50 - i .25 = - 4318 =>'1(0)'2(0)i = -1000,72 (A/s)i = -586,72 (A/s)Ta có:2(t) 2td(t) 2xl(t)i = i + i2xli = 1,8sin(3,14t - 178,8°) (A)-50t2td(t)i = 2.A.e .cos(64,55t + ψ) (A)2(0) 2td(0) 2xl(0)i = i + i=>- 0,0628 = 2.A.cos(ψ) - 0,0377=> A.cos(ψ) = - 0,01255(1)Ta có:' ' '2(t) 2td(t) 2xl(t)i = i + i'2xl(t)i = 314.1,8cos(3,14t - 178,8°) (A/s)[ ]' -50t2td(t)i = 2.A.e -50.cos(64,55t + ψ) - 64,55.sin(64,55t + ψ) (A/s)' ' '2(0) 2td(0) 2xl(0)i = i + i=>[ ]-586,72 = 2A -50.cosψ - 64,55.sinψ +314.1,8.cos(-178,8°)=>21,72 = 129,1.A.sinψ + 100.A.cosψ(2)Từ (1)(2) ta có=>A.cosψ= - 0,54129,1.A.sinψ - 100.A.cosψ = 21,72=>A.cosψ= - 0,01255A.sinψ = 0,178 =>tgψ= - 14,18A.sinψ = 0,17825