Bài 1 trang 89 - SGK Hình học 12.
Viết phương trình tham số của đường thẳng \[d\] trong các trường hợp sau:
- \[d\] đi qua điểm \[M[5 ; 4 ; 1]\] có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}[2 ; -3 ; 1]\] ;
- \[d\] đi qua điểm \[A[2 ; -1 ; 3]\] và vuông góc với mặt phẳng \[[α]\] có phương trình:
\[x + y - z + 5 = 0\] ;
- \[d\] đi qua điểm \[B[2 ; 0 ; -3]\] và song song với đường thẳng \[∆\] có phương trình:
\[\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\] ;
- \[d\] đi qua hai điểm \[ P[1 ; 2 ; 3]\] và \[ Q[5 ; 4 ; 4]\].
Giải:
- Phương trình đường thẳng \[d\] có dạng: \[\left\{\begin{matrix} x =5+2t\\ y=4-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\], với \[t ∈ \mathbb{R}\].
- Đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[[α]: x + y - z + 5 = 0\] nên có vectơ chỉ phương
\[\overrightarrow{u}[1 ; 1 ; -1]\] vì \[\overrightarrow{u}\] là vectơ pháp tuyến của \[[α]\].
Do vậy phương trình tham số của \[d\] có dạng:
\[\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t &,t\in R .\\ z=3-t& \end{matrix}\right.\]
- Vectơ \[\overrightarrow{u}[2 ; 3 ; 4]\] là vectơ chỉ phương của \[∆\]. Vì \[d // ∆\] nên \[\overrightarrow{u}\] cùng là vectơ chỉ phương của \[d\]. Phương trình tham số của \[d\] có dạng:
\[\left\{\begin{matrix} x=2+2s & \\ y=3s &,s\in R. \\ z=-3 + 4s & \end{matrix}\right.\]
- Đường thẳng \[d\] đi qua hai điểm \[P[1 ; 2 ; 3]\] và \[Q[5 ; 4 ; 4]\] có vectơ chỉ phương
\[\overrightarrow{PQ}[4 ; 2 ; 1]\] nên phương trình tham số có dạng:
\[\left\{\begin{matrix}x= 1+4s & \\ y =2+2s&,s\in R. \\ z=3+s& \end{matrix}\right.\]
Bài 2 trang 89 - SGK Hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
\[d\]: \[\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\]
lần lượt trên các mặt phẳng sau:
- \[[Oxy]\] ;
- \[[Oyz]\].
Giải:
- Xét mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[d\] và \[[P] ⊥ [Oxy]\], khi đó \[∆ = [P] ∩ [Oxy]\] chính là hình chiếu vuông góc của \[d\] lên mặt phẳng \[[Oxy]\].
Phương trình mặt phẳng \[[Oxy]\] có dạng: \[z = 0\] ; vectơ \[\overrightarrow{k}\][0 ; 0 ;1] là vectơ pháp tuyến của \[[Oxy]\], khi đó \[\overrightarrow{k}\] và \[\overrightarrow{u}[ 1 ; 2 ; 3]\] là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \[[P]\].
\[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = [2 ; -1 ; 0]\] là vectơ pháp tuyến của \[[P]\].
Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng:
\[2[x - 2] - [y + 3] +0.[z - 1] = 0\]
hay \[2x - y - 7 = 0\].
Đường thẳng hình chiếu \[∆\] thỏa mãn hệ:
\[\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\]
Điểm \[M_0[ 4 ; 1 ; 0] ∈ ∆\] ; vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{v}\] của \[∆\] vuông góc với \[\overrightarrow{k}\] và vuông góc với \[\overrightarrow{n}\], vậy có thể lấy \[\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= [1 ; 2 ; 0]\].
Phương trình tham số của hình chiếu \[∆\] có dạng:
\[\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\].
- Tương tự phần a], mặt phẳng \[[Oxy]\] có phương trình \[x = 0\].
lấy \[M_1[ 2 ; 3 ; -1] ∈ d\] và \[M_2[ 0 ; -7 ; -5] ∈ d\], hình chiếu vuông góc của
\[M_1\] trên \[[Oxy]\] là \[M_1\]\[[0 ; -3 ; 1]\], hình chiếu vuông góc của \[M_2\] trên \[[Oyz]\] là chính nó.
Đườn thẳng \[∆\] qua \[M'_1, MM_2\] chính là hình chiếu vuông góc của \[d\] lên \[[Oyz]\].
Ta có: \[\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}[0 ; -4 ; -6]\] // \[\overrightarrow{v} [0 ; 2 ; 3]\].
Phương trình \[M'_1M_2\] có dạng:
\[\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\].
Bài 3 trang 90 - SGK Hình học 12.
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
- d: \[\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\] và
d': \[\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\] ;
- d: \[\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\] và
d': \[\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\]
Giải:
- Đường thẳng \[d\] đi qua \[M_1[ -3 ; -2 ; 6]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{1}}[2 ; 3 ; 4]\].
Đường thẳng \[d'\] đi qua \[M_2[ 5 ; -1 ; 20]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{2}}[1 ; -4 ; 1]\].
Ta có \[\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ] = [19 ; 2 ; -11]\] ; \[\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [8 ; 1 ; 14] \]
và \[\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [19.8 + 2 - 11.4] = 0\]
nên \[d\] và \[d'\] cắt nhau.
Nhận xét : Ta nhận thấy \[\overrightarrow{u_{1}}\], \[\overrightarrow{u_{2}}\] không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:\[\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & [1]\\ -2+3t=-1-4t' & [2] \\ 6+4t=20+t'& [3] \end{matrix}\right.\]
Từ [1] với [3], trừ vế với vế ta có \[2t = 6 => t = -3\], thay vào [1] có \[t' = -2\], từ đó \[d\] và \[d'\] có điểm chung duy nhất \[M[3 ; 7 ; 18]\]. Do đó d và d' cắt nhau.
- Ta có : \[\overrightarrow{u_{1}}[1 ; 1 ; -1]\] là vectơ chỉ phương của d và \[\overrightarrow{u_{2}}[2 ; 2 ; -2]\] là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy \[\overrightarrow{u_{1}}\] và \[\overrightarrow{u_{2}}\] cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \[M[1 ; 2 ; 3] ∈d\] ta thấy \[M \notin d'\] nên \[d\] và \[d'\] song song.
Bài 4 trang 90 - SGK Hình học 12
Tìm \[a\] để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
d: \[\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\] d': \[\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\]
Giải:
Xét hệ \[\left\{\begin{matrix} 1+at=1-s &[1]\\ t = 2+2s & [2]\\ -1+2t=3-s & [3] \end{matrix}\right.\]
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.
Nhân hai vế của phương trình [3] với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình [2], ta có \[t = 2\]; \[s = 0\]. Thay vào phương trình [1] ta có \[1 + 2a = 1 => a =0\].