Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :
a] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\] ;
b] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\] ;
c] \[y = x + {1 \over x}\]
d] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left[ {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right]^{2}}\];
e] \[y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\]
Giải:
a] Tập xác định: \[D = \mathbb R\]
\[\eqalign{& y' = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - 36;y' = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 2\left[ {y = - 54} \right] \hfill \cr
x = - 3\left[ {y = 71} \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực trị tại \[x = -3\] và \[y\]CĐ \[= 71\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\] và \[y\]CT \[= -54\]
b] Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left[ {{x^2} + 1} \right]\];
\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\left[ {y = - 3} \right]\]
Bảng biến thiên:
Hàm số có điểm cực tiểu tại \[x = 0\] và \[y\]CT \[= -3\]
c] Tập xác định: \[D = \mathbb R\]\ { 0 }
\[\eqalign{& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};y' = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1\left[ {y = 2} \right] \hfill \cr
x = - 1\left[ {y = - 2} \right] \hfill \cr} \right. \cr}\]
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại \[x = -1\], \[y\]CĐ \[= -2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\], \[y\]CT \[= 2\]
d] Tập xác định \[D = \mathbb R\]
\[ y' = 3{{\rm{x}}^2}{\left[ {1 - x} \right]^2} - 2{{\rm{x}}^3}\left[ {1 - x} \right] \]
\[= {x^2}\left[ {1 - x} \right]\left[ {3 - 5{\rm{x}}} \right]\]
\[\eqalign{& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1\left[ {y = 0} \right] \hfill \cr x = {3 \over 5}\left[ {y = {{108} \over {3125}}} \right] \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \[x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\], \[y\]CT =\[ 0\]
e] Vì \[x^2\] –\[ x + 1 > 0, ∀ ∈ \mathbb R\] nên tập xác định : \[D = \mathbb R\]
\[y' = {{2{\rm{x}} - 1} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} }};y = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left[ {y = {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]\]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\]
Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\] ; \[b] y = sin2x – x\];
c]\[y = sinx + cosx\]; d]\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\].
Giải:
a] \[y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x[{x^2} - {\rm{ }}1]\] ;
\[y' = 0\] \[⇔ 4x[\]\[x^2\]\[ - 1] = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\].
\[ y'' = 12x^2-4\].
\[y''[0] = -4 < 0\] nên hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\],
\[y\]cđ =\[ y[0] = 1\].
\[y''[\pm 1] = 8 > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm1\],
\[y\]ct = \[y[\pm1]\] = 0.
b] \[y' = 2cos2x - 1\] ;
\[y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi\]
\[\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\]
\[y'' = -4sin2x\] .
\[y''\left [ \frac{\pi }{6} +k\pi \right ]=-4sin\left [ \frac{\pi }{3} +k2\pi \right ]=-2\sqrt{3}0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \[x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\],
\[y\]ct = \[sin[-\frac{\pi }{3}+ k2π] + \frac{\pi }{6} - kπ\] =\[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ\] , \[k ∈\mathbb Z\].
c] \[y = sinx + cosx \]= \[\sqrt{2}sin\left [x+\frac{\pi }{4} \right ]\];
\[ y' \]=\[\sqrt{2}cos\left [x+\frac{\pi }{4} \right ]\] ;
\[y'=0\Leftrightarrow cos\left [x+\frac{\pi }{4} \right ]=0\Leftrightarrow\]\[x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\]
\[y''=-\sqrt{2}sin\left [ x+\frac{\pi }{4} \right ].\]
\[y''\left [ \frac{\pi }{4} +k\pi \right ]=-\sqrt{2}sin\left [ \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right ]\]
\[=-\sqrt{2}sin\left [ \frac{\pi }{2} +k\pi \right ]\]
\[=\left\{ \matrix{- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\]
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \[x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\],
đạt cực tiểu tại các điểm \[x=\frac{\pi }{4}+[2k+1]\pi [k\in \mathbb{Z}].\]
d] \[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}[{x^2} - {\rm{ }}1][5{x^2} + {\rm{ }}2]\]; \[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1\].
\[y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\].
\[y''[1] = 14 > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\],
\[y\]ct =\[ y[1] = -1\].
\[y''[-1] = -14 < 0\] hàm số đạt cực đại tại \[x = -1\],
\[y\]cđ = \[y[-1] = 3\].
Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số \[y=\sqrt{\left | x \right |}\] không có đạo hàm tại \[x = 0\] nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Giải:
Đặt \[y=f[x]=\sqrt{\left | x \right |}\]. Giả sử \[x > 0\], ta có :
\[\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .\]
Do đó hàm số không có đạo hàm tại \[x = 0\] . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 0\] vì \[f[x]=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f[0],\forall x\in\mathbb R\].
Giaibaitap.me
Page 2
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 3
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 4
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 5
Bài 1 trang 30 sách sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a] \[y=\frac{x}{2-x}\].
b] \[y=\frac{-x+7}{x+1}\].
c] \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\].
d] \[y=\frac{7}{x}-1\].
Giải
a] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x \over {2 - x}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {x \over {2 - x}} = - \infty \] nên đường thẳng \[x = 2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {2 - x}} = - 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x \over {2 - x}} = - 1\] nên đường thẳng \[y = -1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty\] nên \[x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1\] nên đường thẳng \[y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{2}{5}} \right]}^ + }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{2}{5}} \right]}^ - }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = + \infty\] nên đường thẳng \[x=\frac{2}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5};\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5}\] nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \[y=\frac{2}{5}\] làm tiệm cận ngang.
d] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = - 1\] nên đường thẳng \[y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = - \infty\] nên đường thẳng \[x=0\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài 2 trang 30 sách sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a] \[y=\frac{2-x}{9-x^2}\]
b] \[y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\]
c] \[y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\]
d] \[y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\]
Giải:
a]
\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow [-3]^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow [-3]^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\] nên đường thẳng \[x=-3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\] nên đường thẳng \[x=3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\] nên đường thẳng: \[y = 0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b]
\[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{3}{5}} \right]}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{3}{5}} \right]}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}\]
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \[x=-1;x=\frac{3}{5}\].
Vì: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\]
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \[y=-\frac{1}{5}\].
c]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[ - 1]}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[ - 1]}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\] nên đường thẳng \[x=-1\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2[1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}]}{x[1+\frac{1}{x}]}=-\infty\] và \[\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\] nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d]
Hàm số xác định khi: \[\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\][ hoặc \[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\] ] nên đường thẳng \[x = 1\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}[1+\frac{1}{\sqrt{x}}]}{\sqrt{x}[1-\frac{1}{\sqrt{x}}]}=1\] nên đường thẳng \[y = 1\] là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giaibaitap.me
Page 6
Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\] ; b] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\];
c] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x\] ; d] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\] ;
Giải:
Câu a:
Xét hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = 3- 3x^2\] .
Ta có: \[y' = 0 ⇔ x = ± 1\] .
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-1;1]\], nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right].\]
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\], giá trị cực đại
\[y\]CĐ=\[y[1]=4\], đạt cực tiểu tại \[x=-1\] và
\[y\]CT=\[y[-1]=0\].
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị cắt trục \[Ox\] tại các điểm \[[2;0]\] và \[[-1;0]\], cắt \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\].
Đồ thị:
Ta có: \[y''=6x\]; \[y''=0 ⇔ x=0\]. Với \[x=0\] ta có \[y=2\]. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \[I[0;2]\] làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \[x=-2\] suy ra \[y=4\].
Câu b:
Xét hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = 3x^2+ 8x + 4\].
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\]
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và \[\left[ { - \frac{2}{3}; + \infty } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - 2; - \frac{2}{3}} \right].\]
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-2\], giá trị cực đại \[y\]cđ = \[y[-2] = 0\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-\frac{2}{3}\], giá trị cực tiểu \[y_{ct}=y\left [ -\frac{2}{3} \right ]=-\frac{32}{27}.\]
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;0]\], cắt trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \[{x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\] hoặc \[x=-2\] nên tọa độ các giao điểm là \[[0;0]\] và \[[-2;0]\].
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \[y''=6x+8;\]\[y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\]
Câu c:
Xét hàm số \[\small y = x^3 + x^2+ 9x\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x\].
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\] và không có cực trị.
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\].
Bảng biến thiên :
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục \[Ox\] tại điểm \[[0;0]\], cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;0]\].
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\] \[x=-\frac{1}{3}.\] Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \[I\left [ -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ].\]
Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \[x_1\] và \[x_2\] sao cho \[\left| {{x_1} - \left[ { - \frac{1}{3}} \right]} \right| = \left| {{x_2} - \left[ { - \frac{1}{3}} \right]} \right|\], khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \[[-1;-9]\] và \[\left [ \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ].\]
Câu d:
Xét hàm số \[y=-2x^3+5\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = -6x^2≤ 0, ∀x\].
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb R\].
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: \[y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\]. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \[I[0;5]\] làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;5]\], đồ thị cắt trục \[Ox\] tại điểm \[\left[ {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right].\]
Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a] \[y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\]; b] \[y= {x^4} - 2{x^2} + 2\];
c] \[y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\]; d] \[y = - 2{x^2} - {x^4} + 3\].
Giải:
a] Tập xác định: \[\mathbb R\] ;
Sự biến thiên:
\[y' =-4x^3+ 16x = -4x[x^2- 4]\];
\[ y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2\] .
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;-2]\] và \[[0;2]\]; nghịch biến trên khoảng \[[-2;0]\] và \[2;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \[x=-2\] và \[x=2\]; \[y_{CĐ}=y[\pm 2]=15\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=-1\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - \infty \]
Bảng biến thiên :
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;-1]\]
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.
Đồ thị
b] Tập xác định: \[\mathbb R\];
Sự biến thiên:
\[y' =4x^3- 4x = 4x[x^2- 1]\];
\[y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1\] .
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1;0]\] và \[[1;+\infty]\]; nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;-1]\] và \[[0;1]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=2\].
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \[x=-1\] và \[x=1\]; \[y_{CT}=y[\pm 1]=1\].
-Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \]
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\]
Đồ thị
c] Tập xác định: \[\mathbb R\];
Sự biến thiên:
\[y' =2x^3+ 2x = 2x[x^2+1]\];
\[y' = 0 ⇔ x = 0\].
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;0]\]; đồng biến trên khoảng \[[0;+\infty]\].
-Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}={-3\over 2}\]
-Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \]
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \[Ox\] tại hai điểm \[[-1;0]\] và \[[1;0]\]; giao \[Oy\] tại \[[0;{-3\over 2}]\].
Đồ thị như hình bên.
d] Tập xác định: \[\mathbb R\];
Sự biến thiên:
\[y' = -4x - 4x^3= -4x[1 + x^2]\];
\[y' = 0 ⇔ x = 0\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;0]\]; nghịch biến trên khoảng: \[[0;+\infty]\].
- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=3\].
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = -\infty \]
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \[Ox\] tại hai điểm \[[1;0]\] và \[[-1;0]\]; giao \[Oy\] tại điểm \[[0;3]\].
Đồ thị như hình bên.
Bài 3 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a] \[{{x + 3} \over {x - 1}}\] ,
b] \[{{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\] ,
c] \[{{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\]
Giải:
a] Tập xác định : \[\mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\];
* Sự biến thiên:
\[y' = {{ - 4} \over {{{[x - 1]}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\] ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[-\infty;1]\] và \[[1;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\]
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\]
Do đó, tiệm cận đứng là: \[x = 1\]; tiệm cận ngang là: \[y = 1\].
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \[I[1;1]\] làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\[[0;-3]\], trục hoành tại \[[-3;0]\]
b] Tập xác định : \[\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \];
* Sự biến thiên:
\[y' = {6 \over {{{\left[ {2{\rm{x}} - 4} \right]}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;2]\] và \[[2;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\]
Do đó, tiệm cận đứng là: \[x = 2\]; tiệm cận ngang là:\[ y = -1\].
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \[I[2;-1]\] lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \[\left[ {0; - {1 \over 4}} \right]\], trục hoành tại: \[\left[ {{1 \over 2};0} \right]\]
c] Tập xác định : \[R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\];
Sự biến thiên:
\[y' = {{ - 5} \over {{{\left[ {2{\rm{x}} + 1} \right]}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[-\infty;{-1\over 2}]\] và \[[{-1\over 2};+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\]
Do đó, tiệm cận đứng là: \[x = - {1 \over 2}\]; tiệm cận ngang là: \[y = - {1 \over 2}\].
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \[I[ - {1 \over 2}; - {1 \over 2}]\] làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao \[Ox\] tại: \[[2;0]\], \[Oy\] tại: \[[0;2]\]
Giaibaitap.me
Page 7
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 8
Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a] \[{x^3}-3{x^2} + 5 = 0\];
b] \[- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\] ;
c] \[2{x^2}-{x^4} = - 1\].
Giải:
a] Xét hàm số \[y ={x^3}-3{x^2} + 5\] .
Tập xác định : \[\mathbb R\].
* Sự biến thiên:
\[y'{\rm{ }} = 3{x^{2}} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}3x\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right]\]; \[y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;0]\] và \[[2;+\infty]\]; nghịch biến trên khoảng \[[0;2]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=5\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2\]; \[y_{CT}=1\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;5]\]
Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số \[y ={x^3}-3{x^2} + 5\] và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
b] Xét hàm số \[y =- 2{x^3} + 3{x^2}\].
Tập xác định : \[\mathbb R\].
Sự biến thiên:
\[y'= - 6{x^{2 + }}6x = -6x[x - 1]; y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;0]\] và \[[1;+\infty]\]; nghịch biến trên khoảng \[[0;1]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=0\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1\]; \[y_{CT}=-1\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số \[y =- 2{x^3} + 3{x^2}\] với đường thẳng \[y=2\]. Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
c] Xét hàm số \[y = f[x] =2{x^2}-{x^4}\]
Tập xác định : \[\mathbb R\].
Sự biến thiên:
\[y' = 4x -4{x^{3}} = 4x[1- {x^2}]\]; \[y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;-1]\] và \[[0;1]\], nghịch biến trên khoảng \[[-1;0]\] và \[[1;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \[x=-1\] và \[x=1\]; \[y_{CĐ}=1\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=0\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số \[y = f[x] =2{x^2}-{x^4}\] và đường thẳng \[y = -1\], từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 trang 44 sách sgk giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số
\[y = -x^3+ 3x + 1\].
b] Dựa vào đồ thị \[[C]\], biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \[m\].
\[x^3- 3x + m = 0\].
Giải:
a] Xét hàm số \[y = -x^3+ 3x + 1\].
Tập xác định : \[\mathbb R\].
* Sự biến thiên:
\[y' = -3x^2+ 3 = -3[x^2-1]\]; \[y' = 0 ⇔ x = -1,x = 1\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1;1]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;-1]\] và \[[1;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\]; \[y_{CĐ}=3\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\]; \[y_{CT}=-1\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[I[0;1]\] và nhận \[I\] làm tâm đối xứng.
b] \[x^3- 3x + m = 0\] \[⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1\] [1]. Số nghiệm của [1] chính là số giao điểm của đồ thị hàm số [C] với đường thẳng [d] : \[y = m + 1\].
Từ đồ thị ta thấy :
+] \[m + 1 < -1 ⇔ m < -2 \]: [d] cắt [C] tại 1 điểm, [1] có 1 nghiệm.
+] \[m + 1 = -1 ⇔ m = -2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm và tiếp xúc với [C] tại 1 điểm, [1] có 2 nghiệm.
+] \[-1 3 ⇔ m > 2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm, [1] có 1 nghiệm.
Bài 6 trang 44 sách sgk giải tích 12
Cho hàm số \[y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\] .
a] Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \[m\], hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b] Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \[A[-1 ; \sqrt2]\].
c] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \[m = 2\].
Giải:
a] \[y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\].
Tập xác định: \[\mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\] ;
\[y' = {{{m^2} + 2} \over {{{[2x + m]}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\]
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b] Tiệm cận đứng \[∆\] : \[x = - {m \over 2}\].
\[A[-1 ; \sqrt2] ∈ ∆\] \[⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\].
c] \[m = 2\] thì hàm số đã cho có phương trình là:
\[y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\].
Tập xác đinh: \[D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \]
* Sự biến thiên:
\[y' = {6 \over {{{[2x + 2]}^2}}} > 0\forall x \in D\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;-1]\] và \[[-1;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\eqalign{& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \]
Tiệm cận đứng là \[x=-1\], tiệm cận ngang là: \[y=1\]
- Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao \[Ox\] tại điểm \[[{1\over 2};0]\], giao \[Oy\] tại điểm \[[0;{-1\over 2}]\].
Đồ thị hàm số nhận điểm \[I[-1;1]\] làm tâm đối xứng.
Giaibaitap.me
Page 9
Bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\[y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\]
\[y = {{x - 5} \over {1 - x}}\]
Giải
*Xét hàm số: \[y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{& y = - 3{x^2} + 4x-1{\rm{ }} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {1 \over 3},x = 1 \cr} \]
\[y’ > 0\] với \[x\in[{1\over3};1]\]
\[y’ < 0\] với \[x \in [ - \infty ,{1 \over 3}] \cup [1, + \infty ]\]
Vậy hàm số đồng biến trong \[[{1 \over 3},1]\] và nghịch biến trong \[[ - \infty ,{1 \over 3}] \cup [1, + \infty ]\]
b] Xét hàm số: \[y = {{x - 5} \over {1 - x}}\]
Tập xác định: \[D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \]
\[y' = {{ - 4} \over {{{[1 - x]}^2}}} < 0,\forall x \in D\]
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \[[-∞,1]\] và \[[1, +∞]\].
Bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \[y= {x^4}-2{x^2} + 2\]
Giải
Xét hàm số: \[y= {x^4}-2{x^2} + 2\]
Có đạo hàm là: \[y’ = 4x^3– 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1\]
Đạo hàm cấp hai: \[y’’ = 12x^2 – 4\]
\[y’’[0] = -4 < 0 ⇒\] điểm cực đại \[x_{CĐ}=0\]; \[y_{CĐ}=2\]
\[y’’[-1] = 8 > 0, y’’[1] = 8 > 0\]
\[⇒ \] các điểm cực tiểu \[x_{CT}=1\] và \[x_{CT}=-1\]; \[y_{CT}= y_[ \pm 1]=1\].
Bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các đường tiệm cận của hàm số :
\[y = {{2x + 3} \over {2 - x}}\]
Giải
- Cách tìm tiệm cận ngang:
Đường thẳng \[y=y_0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=f[x]\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn
\[\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = {y_0} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = {y_0} \cr} \]
- Cách tìm tiệm cận đứng:
Đường thẳng \[x=x_0\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=f[x]\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn
\[\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = + \infty \cr} \]
Áp dụng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty \] \[⇒ x = 2\] là đường tiệm cận đứng.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2 + {3 \over x}} \over {{2 \over x} - 1}} = - 2\] \[⇒\] Đồ thị có đường tiệm cận ngang \[ y = -2\]
Bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Giải
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm \[y’\]
+ Tại các điểm đó đạo hàm \[y’\] bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm \[y’\] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận [nếu có]
- Lập bảng biến thiên [Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên]
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \[T\] thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \[Ox\]
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Giaibaitap.me
Page 10
Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = 2x^2 + 2mx + m -1\] có đồ thị là [Cm], \[m\] là tham số
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \[m = 1\]
b] Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \[[-1, +∞]\]
- Có cực trị trên khoảng \[[-1, +∞]\]
c] Chứng minh rằng [Cm] luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \[m\].
Giải
\[y = 2x^2 + 2mx + m -1\] [Cm]. Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a] \[m = 1 ⇒ y = 2x^2+ 2x\]
Tập xác định \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y' = 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - 1} \over 2} \]
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[{-1\over2};+\infty]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty; {-1\over2}]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x={-1\over2}\]; \[y_{CT}={-3\over 2}\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
*Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \[Ox\] tại hai điểm \[[-1;0]\] và \[[0;0]\]
b] Tổng quát \[y = 2x^2+ 2mx + m -1\] có tập xác định \[D = \mathbb R\]
\[y' = 4x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = {{ - m} \over 2}\]
Suy ra \[y’ >\] 0 với \[x > {{ - m} \over 2};y' < 0\] với \[x < {{ - m} \over 2}\] , tức là hàm số nghịch biến trên \[[ - \infty ,{{ - m} \over 2}]\] và đồng biến trên \[[{{ - m} \over 2}, + \infty ]\]
i] Để hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1, +∞]\] thì phải có điều kiện \[[ - 1,{\rm{ }} + \infty ] \in [{{ - m} \over 2}, + \infty ]\]
\[ \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\]
ii] Hàm số đạt cực trị tại \[x = {{ - m} \over 2}\] .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \[[-1, +∞]\], ta phải có:
\[\eqalign{& {{ - m} \over 2} \in [ - 1, + \infty ] \cr
& \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \]
c] [Cm] luôn cắt \[Ox\] tại hai điểm phân biệt \[x = {{ - m} \over 2}\]
\[⇔\] phương trình \[2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\] có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
\[Δ’ = m^2– 2m + 2 = [m-1]^2+ 1 > 0 ∀m\]
Vậy [Cm] luôn cắt \[O x\] tại hai điểm phân biệt.
Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[[C]\] của hàm số
\[f[x] = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\]
b] Giải bất phương trình \[f’[x-1]>0\]
c] Vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[[C]\]tại điểm có hoành độ \[x_0\], biết rằng \[f’’[x_0] = -6\]
Giải
a] Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y' = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 3 \]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-1;3]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty; -1]\] và \[[3;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=3\]; \[y_{CĐ}=29\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\]; \[y_{CT}=-3\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = + \infty\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = - \infty \]
-Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\]
Đồ thị hàm số nhận \[I[1;13]\] làm tâm đối xứng.
b] \[y=f[x] = f[x] = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\]
\[f’[x] = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0\]. Do đó:
\[f’[x-1]=-3[x-1]^2+6[x-1]+9\]
= \[-3x^2+ 12x = -3x[x-4] > 0 ⇔ 0 < x < 4\]
c] \[f’’[x] = -6x+6\]
\[f’’[x_0]= -6 ⇔ -6x_0+ 6 = -6 ⇔ x_0= 2\]
Do đó: \[f’[2] = 9, f[2] = 24\]. Phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[x_0= 2\] là:
\[y=f’[2][x-2] + f[2]\] hay \[y = 9x+6\].
Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số:
\[y = x^3+ 3x^2+ 1\]
b] Dựa vào đồ thị \[[C]\], biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m
\[{x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\]
c] Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \[[C]\]
Giải
a] \[y = x^3+ 3x^2+ 1\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y’= 3x^2+ 6x = 3x[x+ 2]\]
\[y’=0 ⇔ x = 0, x = -2\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;-2]\] và \[[0;+\infty]\], nghịch biến trên khoảng \[[-2;0]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-2\]; \[y_{CĐ}=5\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=1\].
- Giới hạn:
\[\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \]
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \[Oy\] tại \[[0;1]\]
Đồ thị hàm số nhận \[I[-1;3]\] làm tâm đối xứng.
b] Số nghiệm của phương trình \[{x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\] chính là số giao điểm của \[[C]\] và đường thẳng \[[d]\]: \[y = {m \over 2}\]
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \[{m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \[{m \over 2} = 1 ⇔ m = 2\]: [d] tiếp xúc với [C] tại 1 điểm và cắt [C] tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm
- Với \[1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2 10\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
c] Điểm cực đại \[[-2, 5]\], điểm cực tiểu \[[0, 1]\].
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: \[{{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y = - 2x + 1\]
Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Cho hàm số:
\[f[x]= x^3– 3mx^2+ 3[2m-1]x + 1\] [ \[m\] là tham số]
a] Xác định \[m\] để hàm số đồng biến trên một tập xác định
b] Với giá trị nào của tham số \[m\], hàm số có một cực đại và một cực tiểu
c] Xác định \[m\] để \[f’’[x]>6x\]
Giải
a] \[y=f[x]= x^3– 3mx^2+ 3[2m-1]x + 1\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[y’= 3x^2-6mx + 3[2m-1] = 3[x^2– 2mx + 2m – 1]\]
Hàm số đồng biến trên \[D =\mathbb R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R\]
\[⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R\]
\[⇔ Δ’ = m^2– 2m + 1 = [m-1]^2\le 0 ⇔ m =1\]
b] Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
\[⇔\] phương trình \[y’= 0\] có hai nghiệm phân biệt
\[⇔ [m-1]^2> 0 ⇔ m≠1\]
c] \[f’’[x] = 6x – 6m > 6x\]
\[⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0\]
Giaibaitap.me
Page 11
Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số
\[f[x] = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\]
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[[C]\] tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[f’’[x] = 0\]
c] Biện luận theo tham số \[m\] số nghiệm của phương trình: \[x^4- 6x^2+ 3 = m\]
Giải
a] Xét hàm số y = \[f[x] = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\] \[[C]\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y’ = 2x^3- 6x = 2x[x^2– 3]\]
\[y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±\sqrt3\]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;-\sqrt3]\] và \[[0;\sqrt3]\], đồng biến trên khoảng \[[-\sqrt 3;0]\] và \[[\sqrt3;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}={3\over 2}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \[x=-\sqrt3\] và \[x=\sqrt3\]; \[y_{CT}=y_[\pm\sqrt3]=-3\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \]
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.
b]
\[y’’ = 6x^2– 6x\]
\[y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6x = 0 ⇔ x = ± 1\]
\[y’[-1] = 4, y’[1] = -4, y[± 1] = -1\]
Tiếp tuyến của \[[C]\] tại điểm \[[-1, -1]\] là : \[y = 4[x+1] – 1= 4x+3\]
Tiếp tuyến của \[[C]\] tại điểm \[[1, -1]\] là: \[y = -4[x-1] – 1 = -4x + 3\]
c] Ta có: \[{x^4} - 6{x^2} + 3 = m \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\] [1]
Số nghiệm của [1] là số giao điểm của \[[C]\] và đường thẳng [d] : \[y = {m \over 2}\]
Từ đồ thị ta thấy:
\[m < -6\]: [ 1] vô nghiệm
\[m = -6\] : [1] có 2 nghiệm
\[-6 < m < 3\]: [1] có 4 nghiệm
\[m = 3\]: [ 1] có 3 nghiệm
\[m > 3\]: [1] có 2 nghiệm
Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Cho hàm số:
\[y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\] [ \[m\] là tham số] có đồ thị [Cm]
a] Biện luận theo m số cực trị của hàm số
b] Với giá trị nào của m thì [Cm] cắt trục hoành?
c] Xác định m để [Cm] có cực đại, cực tiểu
Giải
a] \[y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\][Cm].
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[y' = -4x^3+ 4mx = -4x [x^2- m]\]
+] Với \[m ≤ 0\] thì \[y’\] có một nghiệm \[x = 0\] và đổi dấu \[+\] sang \[–\] khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là \[x = 0\]
+] Với \[m>0\]
Hàm số có 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 cực đại tại \[x = ± \sqrt m\] và có một cực tiểu tại \[x = 0\]
b] Phương trình \[-x^4+ 2mx^2- 2m + 1=0\] luôn có nghiệm \[x = ± 1\] với mọi m nên [Cm] luôn cắt trục hoành.
c] Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:
với \[m > 0\] thì đồ thị [Cm] có cực đại và cực tiểu.
Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số
\[y = {{x + 3} \over {x + 1}}\]
b] Chứng minh rằng với mọi giá trị của \[m\], đường thẳng \[y = 2x + m\] luôn cắt \[[C]\] tại hai điểm phân biệt \[M\] và \[N\]
c] Xác định m sao cho độ dài \[MN\] là nhỏ nhất
d] Tiếp tuyến tại một điểm \[S\] bất kì của \[[C]\] luôn cắt hai tiệm cận của \[[C]\] tại \[P\] và \[Q\]. Chứng minh rằng \[S\] là trung điểm của \[PQ\].
Giải
a] \[y = {{x + 3} \over {x + 1}}\]
Tập xác định : \[D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \]
* Sự biến thiên:
\[y' = {{ - 2} \over {{{[x + 1]}^2}}} < 0,\forall x \in D\]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[-\infty;-1]\] và \[[-1;+\infty]\]
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1 \cr} \]
Tiệm cận đứng: \[x = -1\]
Tiệm cận ngang: \[y = 1\]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \[Ox\] tại \[[-3;0]\], giao \[Oy\] tại \[[0;3]\]
Đồ thị hàm số nhận điểm \[I[-1;1]\] làm tâm đối xứng.
b] Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của \[[C]\] và đường thẳng [d]: \[y = 2x + m\] [1]
\[\eqalign{ & {{x + 3} \over {x + 1}} = 2x + m \Leftrightarrow x + 3 = [2x + m][x + 1] \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + [m + 1]x + m - 3 = 0,x \ne - 1 \cr} \]
\[Δ = [m+1]^2– 4.2[m-3] = m^2– 6m + 25 = [m-3]^2+ 16> 0\], nên [1] luôn có hai nghiệm phân biệt khác \[-1\].
Vậy [d] luôn cắt [C] tại hai điểm phân biệt \[M, N\] [hoành độ của \[M, N\] chính là nghiệm của [1]].
c] Theo định lí Vi-et ta có:
\[\left\{ \matrix{ {x_M} + {x_N} = - {{m + 1} \over 2} \hfill \cr
{x_M}.{x_N} = {{m - 3} \over 2} \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{ & M{N^2} = {\rm{ }}{\left[ {{x_M}-{x_N}} \right]^2} + {\rm{ }}{[{y_M} - {\rm{ }}{y_N}]^2} \cr & = {\left[ {{x_M}-{x_N}} \right]^2} + {\left[ {[2{x_M} + m] - [2{x_N} + m]} \right]^2} \cr & = 5{\left[ {{x_M}-{x_N}} \right]^2} = 5\left[ {{{\left[ {{x_M}+{x_N}} \right]}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right] \cr & = 5\left[ {{{[ - {{m + 1} \over 2}]}^2} - 4.{{m - 3} \over 2}} \right] = {5 \over 4}[{m^2} - 6m + 25] \cr
& = {5 \over 4}\left[ {{{[m - 3]}^2} + 16} \right] \ge {5 \over 4}.16 = 20 \cr} \]
\[MN = 2\sqrt5 ⇔ m = 3\]
Vậy độ dài \[MN\] nhỏ nhất bằng \[2\sqrt5\] khi \[m=3\]
d] Giả sử \[S[x_0;y_0]\] là điểm bất kì thuộc [C]
Phương trình tiếp tuyến \[Δ\] của [C] tại \[S\] là:
\[\eqalign{ & y - y = y'[{x_0}][x - {x_0}] \cr
& \Leftrightarrow y = {{ - 2} \over {{{[{x_0} + 1]}^2}}}[x - {x_0}] + {{{x_0} + 3} \over {{x_0} + 1}} \cr} \]
\[Δ\] cắt tiệm cận ngang tại \[P[2x_0+ 1, 1]\], \[Δ\] cắt tiệm cận đứng tại \[Q[ - 1,{y_0} + {2 \over {{x_0} + 1}}]\]
Rõ ràng: \[{x_P} + {x_Q} = 2{x_0},{y_P} + {y_Q} = 2{y_0}\]. Do đó, \[S\] là trung điểm của \[PQ\].
Bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Cho hàm số: \[f[x] = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\]
a] Giải phương trình \[f’[sin x] = 0\]
b] Giải phương trình \[f’’[cos x] = 0\]
c] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[f’’[x] = 0\].
Giải
\[f[x] = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\]
\[f’[x] = x^2– x – 4\]
\[f’’[x] = 2x – 1\]
a]
\[\eqalign{ & f'[s{\rm{inx}}] = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}} - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = }}{{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}[1] \cr
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} \]
Suy ra [1] vô nghiệm.
b]
\[\eqalign{ & f''[cosx] = 0 \Leftrightarrow 2cosx - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in\mathbb Z \cr} \]
c] Nghiệm của phương trình \[f’’[x] = 0\] là \[x = {1 \over 2}\]
Ta có:
\[\eqalign{ & f'[{1 \over 2}] = {1 \over 4} - {1 \over 2} - 4 = {{ - 17} \over 4} \cr
& f[{1 \over 2}] = {1 \over 3}.{1 \over 8} - {1 \over 2}.{1 \over 4} - 4.{1 \over 2} + 6 = {{47} \over {12}} \cr} \]
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:
\[y = {{ - 17} \over 4}[x - {1 \over 2}] + {{47} \over {12}} \Leftrightarrow y = - {{17} \over 4}x + {{145} \over {24}}\].
Giaibaitap.me
Page 12
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 13
Bài 1 trang 55 sgk giải tích 12
Tính:
a] \[{9^{{2 \over 5}}}{.27^{{2 \over 5}}}\];
b] \[{144^{{3 \over 4}}}:{9^{{3 \over 4}}}\];
c] \[{\left[ {{1 \over {16}}} \right]^{ - 0,75}} + {\left[ {0,25} \right]^{{{ - 5} \over 2}}}\];
d] \[{\left[ {0,04} \right]^{ - 1,5}} - {\left[ {0,125} \right]^{{{ - 2} \over 3}}}\];
Giải
Có thể sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện các phép tính. Sau đây là cách tính bằng cách sử dụng tính chất của lũy thừa:
a] \[{9^{{2 \over 5}}}{.27^{{2 \over 5}}} = {\left[ {9.27} \right]^{{2 \over 5}}} = {\left[ {{3^2}{{.3}^3}} \right]^{{2 \over 5}}} = \left[ {{3^{5.{2 \over 5}}}} \right] = {3^2} = 9\].
b]
\[\eqalign{& {144^{{3 \over 4}}}:{9^{{3 \over 4}}} = \left[ {144:9}\right]^{3 \over 4} = {\left[ {{{\left[ {{{12} \over 3}} \right]}^2}} \right]^{{3 \over 4}}} \cr
& = \left[ {{4^{2.{3 \over 4}}}} \right] = {4^{{3 \over 2}}} = {2^3} = 8 \cr} \]
c]
\[\eqalign{& {\left[ {{1 \over {16}}} \right]^{ - 0,75}} + {\left[ {0,25} \right]^{{{ - 5} \over 2}}} = {16^{0,75}} + {\left[ {{1 \over 4}} \right]^{{{ - 5} \over 2}}} \cr & = {\left[ {{2^4}} \right]^{0,75}} + {4^{2,5}} = {2^{4.0,75}} + {2^{2.2,5}} \cr
& = {2^3} + {2^5} = 40 \cr} \]
d]
\[\eqalign{& {\left[ {0,04} \right]^{ - 1,5}} - {\left[ {0,125} \right]^{{{ - 2} \over 3}}} \cr & = {\left[ {{4 \over {100}}} \right]^{ - 1,5}} - {\left[ {{{125} \over {1000}}} \right]^{{{ - 2} \over 3}}} \cr & = {\left[ {{{100} \over 4}} \right]^{1,5}} - {8^{{2 \over 3}}} \cr & = {\left[ {{5^2}} \right]^{{3 \over 2}}} - {\left[ {{2^3}} \right]^{{2 \over 3}}} \cr
& = {5^3} - {2^2} = 125 - 4 = 121 \cr} \]
Bài 2 trang 55 sgk giải tích 12
Cho \[a, b\] là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a] \[a^{\frac{1}{3}}\]. \[\sqrt{a}\];
b] \[b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\];
c] \[a^{\frac{4}{3}}\] : \[\sqrt[3]{a}\];
d] \[\sqrt[3]{b}\] : \[b^{\frac{1}{6}}\] ;
Giải
a]\[a^{\frac{1}{3}}\]. \[\sqrt{a}\] = \[a^{\frac{1}{3}}. a^{\frac{1}{2}}\] = \[a^{\frac{5}{6}}\].
b] \[b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\] = \[b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. b^{\frac{1}{6}}\] = \[b^{\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}}\] = b.
c] \[a^{\frac{4}{3}}\] : \[\sqrt[3]{a}\]= \[a^{\frac{4}{3}}\]: \[a^{\frac{1}{3}}\] = a.
d] \[\sqrt[3]{b}\] : \[b^{\frac{1}{6}}\] = \[b^{\frac{2}{6}}\] : \[b^{\frac{1}{6}}\] = \[b^{\frac{1}{6}}\].
Bài 3 trang 56 sgk giải tích 12
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a] \[1^{3,75}\] ; \[2^{-1}\] ; \[[\frac{1}{2}]^{-3}\]
b] \[98^{0}\] ; \[\left [ \frac{3}{7} \right ]^{-1}\] ; \[32^{\frac{1}{5}}\].
Giải
Các em học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các lũy thừa rồi sắp thứ tự cho đúng. Tuy nhiên để rèn luyện các tính chất của lũy thừa các em nên giải bài toán như sau:
a] \[1^{3,75}\] = 1 = \[2^{0}\] ; \[\left [ \frac{1}{2} \right ]^{-3}\] = \[2^{3}\].
Mặt khác trong hai lũy thừa cungc cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn là lũy thừa lớn hơn. Do đó theo thứ tự tăng dần ta được:
\[2^{-1}\] \[\left [ 0,2 \right ]^{0,3}\].
Giaibaitap.me
Page 17
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 18
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 19
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 20
Bài 1 trang 84 sgk giải tích 12
Giải các phương trình mũ:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x - 2}} = 1\];
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}\]= 25;
c] \[2^{x^{2}-3x+2}\] = 4;
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 - 2x}} = 2\].
Giải:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x - 2}} = 1 ={\left[ {0,3} \right]^0} \Leftrightarrow 3x - 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\].
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = - 2\].
c] \[2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} - 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\].
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 - 2x}} = 2 ⇔ \left [ \frac{1}{2} \right ]^{x+7+1-2x}= 2\] \[⇔ 2^{x - 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x - 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\].
Bài 2 trang 84 sgk giải tích 12
Giải các phương trình mũ:
a] \[{3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\];
b] \[{2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\];
c] \[{64^x}-{8^x}-56 =0\];
d] \[{3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\].
Giải:
a] Đặt \[t ={3^{2x-1}} > 0\] thì phương trình đã cho trở thành \[t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\].
Do đó phương trình đã cho tương đương với
\[{3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\].
b] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\], phương trình đã cho trở thành \[4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\].
Phương trình đã cho tương đương với
\[{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\].
c] Đặt \[t = 8^x> 0\]. Phương trình đã cho trở thành
\[{t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7\text{ [loại]}\].
Vậy phương trình đã cho tương đương với \[8^x= 8 ⇔ x = 1\].
d] Chia hai vế phương trình cho \[9^x> 0\] ta được phương trình tương đương
\[3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\] - 2.\[\frac{6^{x}}{9^{x}}\] = 1 ⇔ 3. \[\left [ \frac{4}{9} \right ]^{x}\] - 2.\[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x} - 1 = 0\].
Đặt \[t = \left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}\] > 0, phương trình trên trở thành
\[3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\]; \[t = -\frac{1}{3}\][ loại].
Vậy phương trình tương đương với \[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}= 1 ⇔ x = 0\].
Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình logarit
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\]
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\]
Giải
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\] [1]
TXD: \[D = \left[ {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right]\]
Khi đó: [1] \[⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\] [loại]
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
TXD: \[D = [{{11} \over 2}, + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [2] \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \]
Ta thấy \[x = 7\] thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 7\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\] [3]
TXD: \[[5, +∞]\]
Khi đó:
[3]\[ \Leftrightarrow {\log _2}[x - 5][x + 2]=3\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x - 5} \right][x + 2] = 8 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Loại \[x = -3\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 6\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\] [4]
TXD: \[D = [3 + \sqrt 2 , + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [4] \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Loại \[x = 2\]
Vậy phương trình [4] có nghiệm là \[x = 5\].
Bài 4 trang 85 sgk giải tích 12
Giải các phương trình lôgarit:
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\]
Giải
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\]
\[\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 8\]
Giaibaitap.me
Page 21
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 22
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 23
Bài 5 trang 90 SGK Giải tích 12
Biết \[{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\].
Hãy tính: \[{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\]
Giải
\[{{{\left[ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}} \right]}^2} = {[{2^x}]^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {[{2^{ - x}}]^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\]
Do đó \[|{2^x} + {2^{ - x}}| = 5\]
Mà \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\]
\[⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\].
Bài 6 trang 90 SGK Giải tích 12
Cho \[{\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\] . Hãy tính \[log_ax\] với:
a] \[x = {a^3}{b^2}\sqrt c \]
b] \[x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\]
Giải
Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:
a]
\[\eqalign{ & lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
& = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \]
b]
\[\eqalign{ & {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr
& = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \].
Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Giải
a]
\[\eqalign{ & {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {[{3 \over 5}]^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Đặt \[t = 5^x\] [\[t > 0\]] \[⇔ x = log_5 t\].
Phương trình đã cho trở thành:
\[t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \]
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 0, x = 1\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
Chia phương trình cho \[16^x\] và đặt \[t = {[{3 \over 4}]^x}[t > 0] \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\] ta được phương trình:
\[4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ [t+1][4t-3] = 0\]
Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \[t = {3 \over 4}\] .
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \[x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
Điều kiện: \[x > 1\]
\[\eqalign{ & lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}x[{\log _7}[x - 1] - 1] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _7}x = 0 \hfill \cr {\log _7}[x - 1] = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr [x - 1] = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\]
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \[x = 8\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 8\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
Điều kiện : \[x > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{ & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
& \Leftrightarrow x = 27 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 27\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Ta có:
\[\eqalign{ & \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0,x \ne 1 \hfill \cr {x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 4\]
Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các bất phương trình
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
d] \[{\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\]
Giải
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
Ta có:
\[⇔ {2^{2x - 3}}[{2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\]
\[⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\]
\[⇔ x ≥ 4,5\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[[4,5; +∞]\].
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
Đặt \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho trở thành:
\[\eqalign{ & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Do \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
Ta có:
\[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1 \]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < {\log _3}3\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr lo{g_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr {x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} < 2 \hfill \cr {x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ |x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|