Giải phương trình bậc 2 số phức bằng máy tính 580
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$
II) VÍ DỤ MINH HỌA Lời giải
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} – z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3 Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP $ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác VD2. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 ) Lời giải: Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3 Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = – 1 + i$ và ${z_2} = – 1 – i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${\left( { – 1 + i} \right)^4} = – 4$ , ${\left( { – 1 – i} \right)^4} = – 4$ Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {\left( { – 1 + i} \right)^{2016}} + {\left( { – 1 – i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( { – 1 + i} \right)}^4}} \right]^{504}} + {\left[ {{{\left( { – 1 – i} \right)}^4}} \right]^{504}}$ $ = {\left( { – 4} \right)^{504}} + {\left( { – 4} \right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$ $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác VD3. (Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 ) Lời giải Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} – t – 12 = 0$ Vậy $\left[ \begin{array}{l} t = 4\\ t = – 3 \end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l} {z^2} = 4\\ {z^2} = – 3 \end{array} \right.$ Với ${{\rm{z}}^2} = 4 \Rightarrow z = \pm 2$ Với ${z^2} = – 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 3 i$ với ${i^2} = – 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = – 3 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$ Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = \pm 1\,,\,z = \pm \sqrt 3 i$ Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP VD4: (Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 ) Lời giải: Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC Vậy z=-i là nghiệm Tiếp tục kiểm tra $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất. Vậy $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D VD5: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ) Lời giải: Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức ): $\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$ Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} – 2{\rm{z}} + 4 = 0$ có $ – \frac{b}{a} = 2$ và $\frac{c}{a} = 4$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C VD 6: (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 ) Lời giải: Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $\Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $\Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có 1 nghiệm duy nhất nếu $\Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $\left[ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.$ Vậy ${z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{4} + i\sin \frac{{ – \pi }}{4}} \right)$ $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ – \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ – \pi }}{4}} \right)$ Tính $\cos 10.\frac{{ – \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ – \pi }}{4}$ Vậy $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}.i = {2^5}.i$ Tương tự $z_2^5 = {2^5}\left( {\cos 5.\frac{\pi }{6} + i\sin 5.\frac{\pi }{6}} \right) = {2^5}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $z_3^{10} = {2^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ – 2\pi }}{3} + i\sin 10.\frac{{ – 2\pi }}{3}} \right) = {2^{10}}\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$ Tổng hợp $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = \frac{{{2^5}i{{.2}^5}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)}}{{{2^{10}}\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$ Vậy z=1 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$ Bài 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$ Bài 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{\rm{z}}^4} – 3{{\rm{z}}^2} – 2 = 0$ . Tính tổng sau Bài 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là : Bài 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + \frac{1}{{{z^{2009}}}}$
|