I. Nhân hai số nguyên
1.Nhân hai số nguyên khác dấu
Để nhân hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu - trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại
Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thêm dấu - trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có kết quả cần tìm.
Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.
Chú ý:
Cho hai số nguyên dương \[a\] và \[b\], ta có:
\[\left[ { + a} \right].\left[ { - b} \right] = - a.b\]
\[\left[ { - a} \right].\left[ { + b} \right] = - a.b\]
Ví dụ:
a] \[[ - 20].5 = - \left[ {20.5} \right] = - 100.\]
b] \[15.\left[ { - 10} \right] = - \left[ {15.10} \right] = - 150.\]
c] \[20.\left[ { + 50} \right] + 4.\left[ { - {\rm{ }}40} \right] = 1000 - [4.40] = 1000 - 160 = 840. \]
2.Nhân hai số nguyên cùng dấu
Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:
Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu - trước mỗi số
Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.
Nhận xét:
- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.
- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.
Chú ý:
Cho hai số nguyên dương \[a\] và \[b\], ta có:
\[\left[ { - a} \right].\left[ { - b} \right] = [ + a].[ + a] = a.b\]
\[\left[ { - a} \right].\left[ { + b} \right] = - a.b\]
Ví dụ:
a] \[[ - 4].[ - 15] = 4.15 = 60\]
b] \[\left[ { + 2} \right].[ + 5] = 2.5 = 10\].
II. Tính chất của phép nhân các số nguyên
Phép nhân các số nguyên có các tính chất:
+] Giao hoán: \[a.b = b.a\]
+] Kết hợp: \[a\left[ {bc} \right] = \left[ {ab} \right]c\]
+] Phân phối đối với phép cộng: \[a\left[ {b + c} \right] = ab + ac\]
+] Phân phối đối với phép trừ: \[a\left[ {b - c} \right] = ab - ac\]
Nhận xét:
Trong một tích nhiều thừa số ta có thể:
- Đổi chỗ hai thừa số tùy ý.
- Dùng dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý:
Chú ý:
+] \[a.1 = 1.a = a\]
+] \[a.0 = 0.a = 0\]
+] Cho hai số nguyên \[x,\,\,y\]:
Nếu \[x.y = 0\] thì \[x = 0\] hoặc \[y = 0\].
Ví dụ 1:
a] \[\left[ { - 3} \right].5 = 5.\left[ { - 3} \right] = - 15\]
b] \[\left[ {\left[ { - 2} \right].7} \right].\left[ { - 3} \right] = \left[ { - 2} \right].\left[ {7.\left[ { - 3} \right]} \right] = \left[ { - 2} \right].\left[ { - 21} \right] = 42\]
c] \[\left[ { - 5} \right].12 + \left[ { - 5} \right].88 = \left[ { - 5} \right].\left[ {12 + 88} \right] = \left[ { - 5} \right].100 = - 500\].
d] \[\left[ { - 9} \right].36 - [ - 9].26 = \left[ { - 9} \right].\left[ {36 - 26} \right] = \left[ { - 9} \right].10 = - 90\]
Ví dụ 2:
Nếu \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 5} \right] = 0\] thì \[x - 1 = 0\] hoặc \[x + 5 = 0\].
Suy ra \[x = 1\] hoặc \[x = - 5\].
III. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên
1.Phép chia hết
Cho \[a,b \in \mathbb{Z}\] và \[b \ne 0\]. Nếu có số nguyên \[q\] sao cho \[a = bq\] thì:
Ta nói \[a\] chia hết cho \[b\], kí hiệu là \[a \vdots b\].
Ta gọi \[q\] là thương của phép chia \[a\] cho \[b\], kí hiệu \[a:b = q\].
Ví dụ:
\[[ - 15] = 3.[ - 5]\] nên ta nói:
+] \[ - 15\] chia hết cho \[[ - 5]\]
+] \[ - 15:[ - 5] = 3\]
+] \[3\] là thương của phép chia \[ - 15\] cho \[ - 5\].
2.Phép chia hai số nguyên khác dấu
Để chia hai số nguyên khác dấu ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu - trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại
Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thêm dấu - trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.
Ví dụ:
- a] \[[ - 27]:3 = - \left[ {27:3} \right] = - 9\].
- b] \[36:\left[ { - 9} \right] = - \left[ {36:9} \right] = - 4\]
3. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu
Để chia hai số nguyên âm ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu - trước mỗi số.
Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.
Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.
Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.
Chú ý:
Cách nhận biết dấu của thương:
\[\begin{array}{l}\left[ + \right]:\left[ + \right] = \left[ + \right]\\\left[ - \right]:\left[ - \right] = \left[ + \right]\\\left[ - \right]:\left[ + \right] = \left[ - \right]\\\left[ + \right]:\left[ - \right] = \left[ - \right]\end{array}\]
Ví dụ:
- a] \[[ - 36]:[ - 4] = 36:4 = 9\]
- b] \[\left[ { - 35} \right]:[ - 7] = 35:7 = 5\].
IV. Bội và ước của một số nguyên
Cho \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Nếu \[a \vdots b\] thì ta nói \[a\] là bội của \[b\] và \[b\] là ước của \[a\].
Nhận xét:
- Nếu \[a\] là bội của \[b\] thì \[ - a\] cũng là bội của \[b\].
- Nếu \[b\] là ước của \[a\] thì \[ - b\] cũng là ước của \[a\].
Chú ý: Khi \[c\] vừa là ước của \[a\], vừa là ước của \[b\] thì \[c\] được gọi là ước chung của \[a\] và \[b\].
Kí hiệu ước chung của hai số nguyên \[a,\,b\] là ƯC[a, b].
Ví dụ 1:
a] \[5\] là một ước của \[ - 30\] vì \[\left[ { - 30} \right] \vdots 5\].
b] \[ - 42\] là một bội của \[ - 7\] vì \[\left[ { - 42} \right] \vdots \left[ { - 7} \right]\].
Ví dụ 2:
a] Các ước của 4 là: \[1;\, - 1;\,2;\, - 2;\,4;\, - 4\].
b] Các bội của 8 là: \[0;\,8;\, - 8;\,16;\, - 16;...\]
Ví dụ 3:
Ta thấy \[1;\, - 1;\,2;\, - 2\] vừa là ước của \[6\], vừa là ước của \[4\] nên chúng gọi là ước chung của \[6\] và \[4\].
Khi đó ta viết: ƯC[6; 4]={1;-1;2;-2}.