Bước 2: Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng [[P] và [Q]].
Trên đây là phương pháp chung để giải quyết bài toán này. Ngoài ra, nếu bài toán có sự đặc biệt nào đó ta có thể tính dựa vào các kết quả dưới đây:
Phương pháp: Giả sử ta cần tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng [P]. Ta có thể tiến hành như sau:
Bước 1: Lấy một mặt phẳng [Q] đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng [P].
Tức là mặt phẳng [Q] chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [P] hoặc mặt phẳng [P] chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [Q].
Bước 3: Từ điểm M kẻ MH vuông góc với giao tuyến ∆, với H ∈ Δ. Khi đó \[MH \bot \left[ P \right]\] và do đó đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P].
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể dựa vào các kết quả của hình học phẳng và thường gắn liền với đường cao trong tam giác: Tam giác vuông; hệ thức lượng trong tam giác.
Lưu ý:
Cách 1: Tìm một mặt phẳng [Q] chứa M và vuông góc với [P] . Xác định $m = \left[ P \right] \cap \left[ Q \right]$.
Cách 2: Dựng $MH//\left[ d \right] \bot \left[ \alpha \right]$
- Nếu $MA//\left[ \alpha \right] \Rightarrow d\left[ {M\,,\,\left[ \alpha \right]} \right] = d\left[ {A\,,\,\left[ \alpha \right]} \right]$.
- Nếu $MA \cap \left[ \alpha \right] = I$$ \Rightarrow \frac{{d\left[ {M\,,\,\left[ \alpha \right]} \right]}}{{d\left[ {A\,,\,\left[ \alpha \right]} \right]}} = \frac{{IM}}{{IA}}$
Ví dụ vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA = a\sqrt 3 $, $AB = a\sqrt 3 $. Khoảng cách từ A đến $\left[ {SBC} \right]$ bằng: A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$. C. $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Chọn D
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}$$ \Rightarrow AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 a}}{2}$.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left[ {ABCD} \right]$, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Khoảng cách từ Ađến $\left[ {SCD} \right]$ bằng: A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$. B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$. C. $\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.D. $\frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}$.
Chọn C
$ \Rightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.
Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng $a\sqrt 3 $. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: A. $\frac{{a\sqrt 5 }}{2}$. B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$. C. $a\sqrt {\frac{3}{{10}}} $.D. $a\sqrt {\frac{2}{5}} $.
Chọn C
$ \Rightarrow OH = \frac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{3}{9}{a^2}} }} = \frac{{3a}}{{\sqrt {30} }} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} a$.
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ Ađến $\left[ {BCD} \right]$bằng: A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn B
$d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right] = AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc $\widehat {BAD} = {60^{\rm{o}}}.$Đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left[ {ABCD} \right]$ và $SO = \frac{{3a}}{4}.$ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left[ {SBC} \right]$ là: A. $\frac{a}{3}.$ B. $\frac{{3a}}{4}.$ C. $\frac{{3a}}{8}.$D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$
Suy ra: $OH \bot \left[ {SBC} \right] \Rightarrow d\left[ {O,\left[ {SBC} \right]} \right] = OH.$
Câu 6: Cho hai tam giác ABC và $ABD$ nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc ${60^{\rm{o}}},$ $\Delta ABC$ cân ở$C,$ $\Delta ABD$ cân ở $D.$ Đường cao $DK$ của $\Delta ABD$ bằng$12cm.$ Khoảng cách từ D đến $\left[ {ABC} \right]$ bằng A. $3\sqrt 3 $ cm B. $6\sqrt 3 $ cm C. 6 cmD. $6\sqrt 2 $cm
Chọn B
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách từ tâm của hình lập phương đến mặt phẳng $[BDA']$ bằng A. $a\sqrt 2 $. B. $a\sqrt 3 $. C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.
Chọn D
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách từ A đến $[BDA']$ bằng A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Chọn B
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách từ A đến $[B'CD']$ bằng A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. C. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Chọn C
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với $AB = a.$ Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc ${45^ \circ }.$ Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy $[ABC]$. A. $\frac{a}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.D. $\frac{{3a}}{2}$.
Do đó: $SH = HI = \frac{a}{2}$.Chọn A
Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d, với $d < b\sqrt 3 .$ Hãy tìm khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới. A. $d\left[ {S,[ABC]} \right] = \sqrt {{b^2} - \frac{1}{2}{d^2}} $. B. $d\left[ {S,[ABC]} \right] = \sqrt {{b^2} - {d^2}} $. C. $d\left[ {S,[ABC]} \right] = \sqrt {{b^2} - \frac{1}{3}{d^2}} $.D. $d\left[ {S,[ABC]} \right] = \sqrt {{b^2} + {d^2}} $.
$AH = \frac{2}{3}AI = \frac{{d\sqrt 3 }}{3}$$ \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{d^2}}}{3}} $. Chọn ${\bf{C}}$.
Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao $SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$ Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng A. $a\sqrt 6 $. B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$. C. $a\sqrt 3 $.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left[ {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right]}^2}}} + \frac{1}{{{{\left[ {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right]}^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}$ $ \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.
Câu 13: Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của $AD.$ Khoảng cách từ ${A_1}$ đến mặt phẳng $\left[ {{C_1}{D_1}M} \right]$ bằng bao nhiêu? A. $\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$ B. $\frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}$ C. $\frac{1}{2}a$D. a
Chọn A
Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng $\left[ {ABC} \right]$ bằng: A. 4a. B. 3a. C. a.D. 2a.
Chọn C
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $a\sqrt 2 $. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên: A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$. C. $\frac{{2a\sqrt 5 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt {10} }}{5}$.
Chọn B
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}$$ \Rightarrow OH = \frac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}$.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy $\left[ {ABCD} \right]$ với $SA = a\sqrt 6 $. Khoảng cách từ A và $B$đến mặt phẳng $\left[ {SCD} \right]$ lần lượt là: A. $a\sqrt 2 $; $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ B. $a\sqrt 2 $; $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ C. $a\sqrt 3 $; $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$D. $a\sqrt 3 $; $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Chọn A
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có ba kích thước AB = a, AD = b, AA1 = c. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? A. khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1 bằng b. B. khoảng cách từ A đến mặt phẳng [¬B1BD] bằng $\frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$. C. khoảng cách từ A đến mặt phẳng [¬B1BD] bằng $\frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.D. $B{D_1} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
Chọn C
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc $\widehat {BAD} = {120^ \circ },$ đường cao $SO = a.$ Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng $[SBC]$. A. $\frac{{a\sqrt {67} }}{{19}}$. B. $\frac{{a\sqrt {47} }}{{19}}$. C. $\frac{{a\sqrt {37} }}{{19}}$.D. $\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}$.
Chọn ${\bf{D}}$.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a;AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ là điểm H thuộc cạnh AB sao cho $AH = 2HB.$ Góc giữa mặt phẳng $\left[ {SCD} \right]$ và mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ bằng ${60^ \circ }.$ Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng $\left[ {SBC} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}$. B. $\frac{{3a\sqrt {39} }}{{13}}$. C. $\frac{{6a\sqrt {39} }}{{13}}$.D. $\frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}$.
Chọn C.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; $\widehat {ABC} = {120^ \circ }$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ là trọng tâm G của tam giác $ABD,$$\widehat {ASC} = {90^ \circ }.$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left[ {SBD} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{6}$. B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Chọn D.
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,{\rm{ }}DC.$ Góc giữa mặt phẳng $\left[ {SBM} \right]$ và mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ bằng ${45^ \circ }.$ Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng $\left[ {SBM} \right]$ bằng A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$. C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn D
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ là trung điểm H của cạnh $AD,$ góc giữa hai mặt phẳng $\left[ {SAC} \right]{\rm{ v\`a }}\left[ {ABCD} \right]$ bằng ${60^ \circ }.$ Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $\left[ {SBC} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt {11} }}{{33}}$. B. $\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}$. C. $\frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}$.D. $\frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}$.
Chọn C
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABD.$ Cạnh bên $SD$ tạo với mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ một góc bằng ${60^ \circ }.$ Khoảng cách từ A tới mặt phẳng $\left[ {SBC} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{3a\sqrt {285} }}{{19}}$. B. $\frac{{a\sqrt {285} }}{{19}}$. C. $\frac{{a\sqrt {285} }}{{18}}$.D. $\frac{{5a\sqrt {285} }}{{18}}$.
Chọn B
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với $AB = 2a\sqrt 3 ;BC = 2a$. Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn $DI{\rm{ v\`a }}SB$ hợp với mặt phẳng đáy $\left[ {ABCD} \right]$ một góc ${60^ \circ }.$ Khoảng cách từ D đến $\left[ {SBC} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$. B. $\frac{{2a\sqrt {15} }}{5}$. C. $\frac{{4a\sqrt {15} }}{5}$.D. $\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}$.
Chọn C.
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB = a,{\rm{ }}AC = 2a,{\rm{ }}SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right],{\rm{ }}SC$ tạo với mặt phẳng $\left[ {SAB} \right]$ một góc ${30^ \circ }.$ Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho $BM = 3MA.$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left[ {SCM} \right]$ là A. $\frac{{\sqrt {34} a}}{{51}}$. B. $\frac{{2\sqrt {34} a}}{{51}}$. C. $\frac{{3\sqrt {34} a}}{{51}}$.D. $\frac{{4\sqrt {34} a}}{{51}}$.
Chọn $B$.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi $M,{\rm{ }}N{\rm{ v\`a }}P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD{\rm{ v\`a }}DC.$ Gọi H là giao điểm của $CN{\rm{ v\`a }}DM,$ biết $SH$ vuông góc $\left[ {ABCD} \right],{\rm{ }}SH = a\sqrt 3 $. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $\left[ {SBP} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$. B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Mà $HE = \frac{{SH.HF}}{{SF}} = \frac{{SH.HF}}{{\sqrt {S{H^2} + H{F^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo $AC,{\rm{ }}BD$ vuông góc với nhau, $AD = 2a\sqrt 2 ;BC = a\sqrt 2 $. Hai mặt phẳng $\left[ {SAC} \right]{\rm{ v\`a }}\left[ {SBD} \right]$ cùng vuông góc với mặt đáy $\left[ {ABCD} \right].$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left[ {SCD} \right]{\rm{ v\`a }}\left[ {ABCD} \right]$ bằng ${60^ \circ }.$ Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng $\left[ {SCD} \right]$ là A. $\frac{{a\sqrt {15} }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt {15} }}{{20}}$. C. $\frac{{3a\sqrt {15} }}{{20}}$.D. $\frac{{9a\sqrt {15} }}{{20}}$.
$\begin{array}{l}\frac{{d[O,[SCD]]}}{{d[M,[SCD]]}} = \frac{{OE}}{{ME}} = \frac{9}{4} \Rightarrow d\left[ {M,[SCD]} \right]\\ = \frac{9}{4}d\left[ {O,[SCD]} \right] = \frac{9}{4}OH\\OS = OK.\tan {60^0} = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\end{array}$$ \Rightarrow OH = \frac{{OK.OS}}{{\sqrt {O{K^2} + O{S^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5} \Rightarrow d\left[ {M,[SCD]} \right] = \frac{{9a\sqrt {15} }}{{20}}$
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác vuông tại $S,$ hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ là điểm H thuộc cạnh $AD$ sao cho $HA = 3HD.$ Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng $SA = 2\sqrt 3 a$ và đường thẳng $SC$ tạo với mặt đáy một góc ${30^ \circ }.$ Khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left[ {SBC} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{2\sqrt {66} a}}{{11}}$. B. $\frac{{\sqrt {11} a}}{{66}}$. C. $\frac{{2\sqrt {66} a}}{{11}}$.D. $\frac{{\sqrt {66} a}}{{11}}$.
$HK = \frac{{SH.EH}}{{\sqrt {S{H^2} + E{H^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {66} }}{{11}} \Rightarrow d\left[ {M,[SBC]} \right] = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, $AB = a;BC = a\sqrt 3 $, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn $AI.$ Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $\left[ {SAB} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$. C. $\frac{{3a\sqrt 3 }}{4}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$HE = \frac{{HK.SH}}{{\sqrt {H{K^2} + S{H^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{{16}} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}$ $ \Rightarrow d\left[ {C,[SAB]} \right] = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu vuông góc của S trên $\left[ {ABCD} \right]$ là trung điểm của $AO,$ góc giữa $\left[ {SCD} \right]{\rm{ v\`a }}\left[ {ABCD} \right]$ là ${60^ \circ }.$ Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác $SAB$ đến mặt phẳng $\left[ {SCD} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$. B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$. C. $\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn D
$ = \frac{8}{9}d\left[ {H,\left[ {SCD} \right]} \right] = \frac{8}{9}HL = \frac{8}{9}.\frac{{SH.HI}}{{SI}} = \frac{8}{9}\frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{4}a.\frac{{3a}}{4}}}{{\frac{{3a}}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a$
Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại $A,{\rm{ }}AB = AC = a,$$\widehat {BAC} = {120^ \circ }$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left[ {ABC} \right]$ trùng với trọng tâm G của tam giác $ABC.$ Cạnh bên $SC$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha $ sao cho $\tan \alpha = \frac{3}{{\sqrt 7 }}$. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $\left[ {SAB} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{{a\sqrt {13} }}{{13}}$. B. $\frac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}$. C. $\frac{{5a\sqrt {13} }}{{13}}$.D. $\frac{{3a}}{{13}}$.
Chọn B
$\begin{array}{l}d\left[ {C,\left[ {SAB} \right]} \right] = 3d\left[ {G,\left[ {SAB} \right]} \right] = 3GI = 3.\frac{{SG.GZ}}{{SZ}}\\ = 3\frac{{SG.GZ}}{{\sqrt {S{G^2} + G{Z^2}} }} = 3.\frac{{a.\frac{{\sqrt 3 }}{6}a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{6}a} \right]}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}a\end{array}$
Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${60^ \circ }.$ Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,{\rm{ }}BC.$ Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $\left[ {SMN} \right]$ tính theo a bằng A. $\frac{a}{7}$. B. $\frac{{7a}}{3}$. C. $\frac{{3a}}{7}$.D. $\frac{a}{3}$.
Chọn A
Trong $\Delta SGE$ vuông tại Hsuy ra $GF = \frac{{GE.SG}}{{\sqrt {G{E^2} + S{G^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}.a}}{{\sqrt {{{\left[ {\frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}} \right]}^2} + {a^2}} }} = \frac{a}{7}$
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của $CI,$ góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng ${60^ \circ }.$ Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng $\left[ {SBC} \right]$ là A. $\frac{{a\sqrt {21} }}{{4\sqrt {29} }}$. B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {29} }}$. C. $\frac{{4a\sqrt {21} }}{{\sqrt {29} }}$.D. $\frac{{a\sqrt {21} }}{{2\sqrt {29} }}$.
Chọn A
Trong $\Delta SHE$ vuông tại Hsuy ra $HF = \frac{{HE.SH}}{{\sqrt {H{E^2} + S{H^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{8}.\frac{{a\sqrt {21} }}{4}}}{{\sqrt {{{\left[ {\frac{{a\sqrt 3 }}{8}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{{a\sqrt {21} }}{4}} \right]}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{4\sqrt {29} }}.$