Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng

1. Định nghĩa 1 (Khái niệm và phân loại):

Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

  • Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm 1 biến số thì phương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường.

Ví dụ: là những phương trình vi phân thường.

  • Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z và các biến số của nó cùng với các đạo hàm riêng của z được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Ví dụ: là những phương trình đạo hàm riêng

Ghi chú: Trong học phần Giải tích 2, ta chỉ xét phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân (ptvp)), còn với phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng (ptđhr)) sẽ được nghiên cứu ở những học phần sau. Nhiều chuyên ngành chỉ học ptvp mà không học ptđhr.

Quy ước: từ đây khi nói ptvp ta ngầm hiểu đó là ptvp thường.

2. Định nghĩa 2 (phân nhóm ptvp):

Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ptvp được gọi là cấp của ptvp đó.

Ví dụ: có mặt đạo hàm cấp 2 nên được gọi là ptvp cấp 2.

được xếp vào nhóm ptvp cấp 1.

Tổng quát: ptvp cấp n là phương trình có dạng

3. Định nghĩa 3: (Nghiệm của ptvp):

Nghiệm hay tích phân của ptvp là mọi hàm số y = f (x) mà khi thay vào pt sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức.

Ví dụ 1: Phương trình: nhận các hàm số và tổng quát là hàm số có dạng: là nghiệm của pt, với mọi hằng số C1 và C2.

Ví dụ 2: Phương trình: nhận hàm số làm nghiệm.

Phương trình vi phân xuất hiện từ nhu cầu thực tế trong việc nghiên cứu các bài toán cơ học. Đối với Vật lý ta dễ dàng tìm được các hình ảnh của phương trình này qua các ví dụ thực tế:

Ví dụ: Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó. Hãy tìm quy luật phân rã của radium, nếu biết khối lượng ban đầu của nó và thời gian T cần thiết để phân rã hết 1 nửa khối lượng radium ban đầu. Hỏi sau 100 năm sẽ phân rã hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T = 1600 năm?

Ta ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t, R0 là khối lượng radium ban đầu, (tức là tại thời điểm t = 0 ). Khi đó, tốc độ phân rã theo thời gian là Tốc độ này là 1 đại lượng âm vì R giảm dần theo thời gian.

Gọi k là hệ số tỉ lệ, theo điều kiện bài toán thì

Như vậy việc tìm quy luật phân rã của radium trở về việc giải phương trình vi phân. Việc giải phương trình này sẽ được chúng ta đề cập lại ở phần sau. Tuy nhiên, điều này cũng làm rõ cơ sở lý thuyết cho vấn đề này khi ta phải công nhận kết quả về tốc độ phân rã của các chất phóng xạ khi học ở phổ thông. Việc giải phương trình vi phân trên sẽ đưa tới kết quả mà ta đã phải công nhận:

Ví dụ: Xét bài toán về dòng điện với cuộn tự cảm. Giả sử I, U, R lần lượt là cường độ dòng điện, hiệu điện thế và điện trở tại thời điểm t, L là hệ số tự cảm. Khi đó, ta có:

Hay

Việc giải phương trình vi phân trên, sẽ giúp chúng ta đi đến kết quả quan trọng, đó là nội dung định luật Ohm.