Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1.Định nghĩa
Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K x1,x2 K,x1< x2 thì f[x1] < f[x2].
Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên Kx1,x2 K,x1< x2thì f[x1] > f[x2].
2.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f đồng biến trên K thì f'[x] 0 với mọi x K.
- Nếu f nghịch biến trên K thì f'[x] 0 với mọi x K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f'[x] > 0 với mọi x K thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'[x] < 0 với mọi x K thì f nghịch biến trên K.
- Nếu f'[x] = 0 với mọix K thì f là hàm hằng trên K.
Định lý mở rộng
- Nếu f'[x] 0 với mọi x K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'[x] 0 với mọi x K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
i] Tìm tập xác định
ii] Tính đạo hàm f'[x]. Tìm các điểm xi[i= 1 , 2 ,..., n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
iii] Sắp xếp các điểmxitheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
iv] Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.